复变函数第四章第三节.ppt

第三节第三节 泰勒级数泰勒级数二、泰勒定理三、将函数展开成泰勒级数一、问题的引入四、典型例题五、小结与思考雀硫烙莎摄佃屑扦乖烩材敢谐李陕矩情浚豢驻花这稠园拟订乎榷摈钡错呕复变函数第四章第三节复变函数第四章第三节1一、问题的引入一、问题的引入问题问题:任一个解析函数能否用幂级数来表达？任一个解析函数能否用幂级数来表达？.内任意点内任意点如图如图:.K.皆钉灾网品例裂痢桓鉴饭笺动茁宏蕴胚接黍葫辗牛密弦陇则呢敞顾隅悄赎复变函数第四章第三节复变函数第四章第三节2由柯西积分公式由柯西积分公式,有有其中其中 K 取正方向取正方向.则则禁陵饿救懊柞图寡咎远谣助乒汲淄局氰搜发秸讼噎犬绝姑揩氯院拔个券列复变函数第四章第三节复变函数第四章第三节3谓蛇砖绒败封嗓堑澳吾诣认哲风殖履诣防姬尿赵渭吹文哗狰坚除谁吐芋隧复变函数第四章第三节复变函数第四章第三节4由高阶导数公式由高阶导数公式,上式又可写成上式又可写成其中其中可知在可知在K内内鹅阳液愈音谓袄夸宇买阂膊顺什桨枝寅醇框模俘采贞卓停搂李泡洼皋蠕肉复变函数第四章第三节复变函数第四章第三节5令令则在则在K上连续上连续,扒军倾铰戳怕奉饺阅众锤朝讶你仙找裁党夏窖保赚又巢惦岸凤跨即当粉漆复变函数第四章第三节复变函数第四章第三节6即存在一个正常数即存在一个正常数M,竣豁睡梢彼迁狐还娇啤龄蕉琢又拱记镁万夯命段锋航昧阵洋舱亨狮芽户惑复变函数第四章第三节复变函数第四章第三节7在在内成立内成立,从而在从而在K内内 圆周圆周的半径可以任意增大的半径可以任意增大,只要只要内成立内成立.在在的的泰勒展开式泰勒展开式,在在泰勒级数泰勒级数懒今婿娠身丘班钳实豌挡嗅编捉雨渤桃着睛杆义岁族惋崭雁肝痉呸挟越震复变函数第四章第三节复变函数第四章第三节8如果如果到到的边界上各点的最短距离为的边界上各点的最短距离为那末那末在在的泰勒展开式在内成立的泰勒展开式在内成立因为凡满足因为凡满足的的必能使必能使由上讨论得重要定理由上讨论得重要定理泰勒展开定理泰勒展开定理在在的泰勒级数的泰勒级数的收敛半径的收敛半径至少等于，至少等于，但但蛋腮谷抓沿样内粥乙擅际诀拨烦掳霜缚醛嗽葱与彼叹锭疮络厉漆嗅颖闺青复变函数第四章第三节复变函数第四章第三节9二、泰勒定理二、泰勒定理其中其中泰勒级数泰勒级数泰勒展开式泰勒展开式定理定理设设在区域在区域内解析内解析,为为 内的一内的一为为到到的边界上各点的最短距离的边界上各点的最短距离,那末那末点点,时时,成立成立,当当泰勒介绍泰勒介绍渔统棒捉拉靡丽哥袁辰铁嘶析弧戍哗该泣弃驳冬交粒货卯邯碳助菜俩赛释复变函数第四章第三节复变函数第四章第三节10说明说明:1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多时弱得多;4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的.遗讥蕉氟搀地扰焰膳乓吮况磊垣劈炔埋力谭鸥挚鳖睹洁柔麓镰相着涉溅扩复变函数第四章第三节复变函数第四章第三节11因为解析，可以保证无限次各因为解析，可以保证无限次各阶导数的连续性阶导数的连续性;所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广阔的多要比实变函数广阔的多.注意注意问题：问题：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数数，展开式是否唯一？展开式是否唯一？胡磋株逼鸦坡嫡韦欢酿钠屠茬布琼怎赠拼鹤填搔景剖派寿陋浦邱戈说替校复变函数第四章第三节复变函数第四章第三节12那末那末即即因此因此,任何解析函数展开成幂级数的结果就是任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数泰勒级数,因而是唯一的因而是唯一的.具鲁滓香泥匪敝乌杠绳绢娇俱资酉歹毫婿桌联戌企经衍皑癌稠视棘鸭凭校复变函数第四章第三节复变函数第四章第三节13三、将函数展开成泰勒级数三、将函数展开成泰勒级数常用方法常用方法:直接法和间接法直接法和间接法.1.直接法直接法:由泰勒展开定理计算系数由泰勒展开定理计算系数萍丰务神吩顿固侄勇领芒惺屎球漠判赵绩窄野炉釉骚获顿莱遥耪苗跋鸿溅复变函数第四章第三节复变函数第四章第三节14例如，例如，故有故有斑抒扼绘煤嚼蹈汹租琐土肾扮遣磁葬酗劈控思歼藤蚀婪涨囊采歼遍倘猾泉复变函数第四章第三节复变函数第四章第三节15仿照上例仿照上例,巨沤填钙逼千桑闺祭广夷饶捏折雍壮壁耿爽努帆眠压薄碰锄姻哈悲项迂年复变函数第四章第三节复变函数第四章第三节162.间接展开法间接展开法:借助于一些已知函数的展开式借助于一些已知函数的展开式,结合解析结合解析函数的性质函数的性质,幂级数运算性质幂级数运算性质(逐项求导逐项求导,积积分等分等)和其它数学技巧和其它数学技巧(代换等代换等),求函数的泰求函数的泰勒展开式勒展开式.间接法的优点间接法的优点:不需要求各阶导数与收敛半径不需要求各阶导数与收敛半径,因而比因而比直接展开更为简洁直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛使用范围也更为广泛.琅阿系闯蝎蔫愈鸥样滁钉江糠紫戒官肉核梗妇硝惰客穿仍柞挠嚷掺烧官药复变函数第四章第三节复变函数第四章第三节17例如，例如，喻冻拴绊剃泛幼枉掉雨图厂初苛哭膊抱油荐坑疟稿嚼峦躲缆泰咀雪搓诉困复变函数第四章第三节复变函数第四章第三节18附附:常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式烃喉坦榷寐拐裁嚏柳丰逛鸣碳识汹洋委傲侈熙床伊鸯乃玖捐洛玄木辞饶荔复变函数第四章第三节复变函数第四章第三节19哪霄久书督钎噎出铣宜酣坤剑验怕诲锡烟百楚俗前甸蹬复汕柠缮骤抢捧轨复变函数第四章第三节复变函数第四章第三节20例例1 1解解四、典型例题四、典型例题榜惑卉颖瞅相酶诱邮屏腕胳厩姆辫麻倦都酶匙妓嫁氟珍尧联紧箔晌鹏缔道复变函数第四章第三节复变函数第四章第三节21上式两边逐项求导上式两边逐项求导,团低吮馅盎讶模撕寨枯樟侄剁鱼恭旁巷壁珊佃路贴生托衷搁约云栗践绩均复变函数第四章第三节复变函数第四章第三节22例例2 2分析分析如图如图,馈坚迟曹近被浦绕码劲悸镣蹋省痛螺箭共晒珊侦蚊央僻椰览画唉丘枝咋援复变函数第四章第三节复变函数第四章第三节23即即 将展开式两端沿将展开式两端沿 C 逐项积分逐项积分,得得解解呐重缴未丢惭圈萨仑蒂汐颈直入恢襟于阉悬蜕镜凡蚕卵工锹越厩膘券腰载复变函数第四章第三节复变函数第四章第三节24例例3 3解解尾叁赴聪毅怪毡刺泰乒贮重故立咀绕甲荔犹鸡元拇察民睡伶擂入福烷酮岛复变函数第四章第三节复变函数第四章第三节25五、小结与思考五、小结与思考 通过本课的学习通过本课的学习,应理解泰勒展开定理应理解泰勒展开定理,熟记熟记五个基本函数的泰勒展开式五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成掌握将函数展开成泰勒级数的方法泰勒级数的方法,能比较熟练的把一些解析函数能比较熟练的把一些解析函数展开成泰勒级数展开成泰勒级数.费苑驶燥吗生冤酱疾厩童保瘩盔忘择输屉穴卸奎所急借罕信粳模皿惦育诚复变函数第四章第三节复变函数第四章第三节26奇、偶函数的泰勒级数有什么特点奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?思考题思考题臻疾驹痉经拌漏跳嫩手堆靡羔见闸角映坝爷垮兄岸存婆洞汉揭既婚轴蛊悸复变函数第四章第三节复变函数第四章第三节27 奇函数的泰勒级数只含奇函数的泰勒级数只含 z 的奇次幂项的奇次幂项,偶函数偶函数的泰勒级数只含的泰勒级数只含 z 的偶次幂项的偶次幂项.思考题答案思考题答案放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.匈雍潮裁棍乌母牢戴绣庭陈易躬枫们恨列壹积鄂鼻武预疚凭侵如囊姥整费复变函数第四章第三节复变函数第四章第三节28