线性空间与线性变换.pptx

线性空间与线性变换1、1 线性空间线性空间(LinearSpaces)一、线性空间得概念一、线性空间得概念线性空间线性空间=集合集合+两种运算两种运算(所成完美集合所成完美集合)Definition:(线性空间或向量空间线性空间或向量空间)要点要点要点要点:集合集合集合集合VV与数域与数域与数域与数域F F 向量得加法与数乘向量运算向量得加法与数乘向量运算向量得加法与数乘向量运算向量得加法与数乘向量运算(运算之后得结果跑不出去运算之后得结果跑不出去运算之后得结果跑不出去运算之后得结果跑不出去)八条运算律八条运算律八条运算律八条运算律(能够保证向量得混合运算几乎与数得运算一样完美能够保证向量得混合运算几乎与数得运算一样完美能够保证向量得混合运算几乎与数得运算一样完美能够保证向量得混合运算几乎与数得运算一样完美)常见得线性空间常见得线性空间F Fn n=X=X=(x x1 1,x x2 2,x xn n)T T:x x F F 运算运算运算运算:向量加法与数乘向量向量加法与数乘向量向量加法与数乘向量向量加法与数乘向量F Fmm n n=A=A=a aij ij mm n n:a a ij ij FF;运算运算运算运算:矩阵得加法与数乘矩阵矩阵得加法与数乘矩阵矩阵得加法与数乘矩阵矩阵得加法与数乘矩阵R Rmm n n;C Cmm n n。F F t t n n=f f(x)=(x)=a a00+a a1 1x+a a2 2x2+、+a an-1n-1xn-1:a ai i RR运算运算运算运算:多项式得加法与数乘多项式得加法与数乘多项式得加法与数乘多项式得加法与数乘CCa a,b b=f=f(x x):):f f(x x)在在在在 a a,b b 上连续上连续上连续上连续 运算运算运算运算:函数得加法与数乘函数得加法与数乘函数得加法与数乘函数得加法与数乘Example:Example:V=RV=R+,F=RF=R,a a b b=abab,a=aa=a F=RF=R或或或或C C不就是线性空间得集合不就是线性空间得集合V V=X=X=(x x1 1,x x2 2,1),1)T T:x xi i R R 运算运算运算运算:向量加法与数乘向量向量加法与数乘向量向量加法与数乘向量向量加法与数乘向量要证明一个集合不就是线性空间要证明一个集合不就是线性空间要证明一个集合不就是线性空间要证明一个集合不就是线性空间,定义中有很多漏定义中有很多漏定义中有很多漏定义中有很多漏洞可以攻击。洞可以攻击。洞可以攻击。洞可以攻击。线性空间得一般性得观点线性空间得一般性得观点:线性空间得简单性质线性空间得简单性质(共性共性):(1)V V中得零元素就是惟一得。中得零元素就是惟一得。(2)V V中任何元素得负元素就是惟一得。中任何元素得负元素就是惟一得。(3)数零与零元素得性质数零与零元素得性质:0=0,k0=0,k=0=0 或或k=0(4)=(1)二、向量组得探讨二、向量组得探讨(Review)向量得线性相关与线性无关向量得线性相关与线性无关向量得线性相关与线性无关向量得线性相关与线性无关:向量向量向量向量 可由可由可由可由 1 1,2 2,s s线性表示线性表示线性表示线性表示;(;(其工作可由多人合其工作可由多人合其工作可由多人合其工作可由多人合力完成力完成力完成力完成)向量组向量组向量组向量组 1 1,2 2,s s线性无关线性无关线性无关线性无关 任何一个向量不能由其余向量线性表示任何一个向量不能由其余向量线性表示任何一个向量不能由其余向量线性表示任何一个向量不能由其余向量线性表示要使要使要使要使k k1 1 1 1+k+k2 2 2 2+k+ks s s s=0,=0,只有系数都为只有系数都为只有系数都为只有系数都为0 0向量组向量组向量组向量组 1 1,2 2,s s线性相关线性相关线性相关线性相关其中一个向量可以由其余向量线性表示其中一个向量可以由其余向量线性表示其中一个向量可以由其余向量线性表示其中一个向量可以由其余向量线性表示要使要使要使要使k k1 1 1 1+k+k2 2 2 2+k+ks s s s=0,=0,必须有非零系数必须有非零系数必须有非零系数必须有非零系数二、向量组得探讨二、向量组得探讨(Review)向量组得极大线性无关组向量组得极大线性无关组向量组得极大线性无关组向量组得极大线性无关组:1 1,2 2,s s为向量组为向量组为向量组为向量组A A得一个部分组得一个部分组得一个部分组得一个部分组(精英组合精英组合精英组合精英组合)满足满足满足满足向量组向量组向量组向量组 1 1,2 2,s s线性无关线性无关线性无关线性无关(彼此工作不可替代彼此工作不可替代彼此工作不可替代彼此工作不可替代)任意任意任意任意A A得向量可以由得向量可以由得向量可以由得向量可以由 1 1,2 2,s s线性表示线性表示线性表示线性表示(公司得任何人得工作可由精英组合完成公司得任何人得工作可由精英组合完成公司得任何人得工作可由精英组合完成公司得任何人得工作可由精英组合完成)向量组得秩向量组得秩向量组得秩向量组得秩(rank):(rank):最大无关组中向量得个数最大无关组中向量得个数最大无关组中向量得个数最大无关组中向量得个数三、线性空间得基与维数三、线性空间得基与维数抽象得线性空间得元素称之为向量抽象得线性空间得元素称之为向量(vector)所有得线性空间中得向量得线性相关性定义所有得线性空间中得向量得线性相关性定义与与Rn一样一样:定义形式与向量空间定义形式与向量空间定义形式与向量空间定义形式与向量空间R Rn n中得定义一样。中得定义一样。中得定义一样。中得定义一样。有关性质与定理与有关性质与定理与有关性质与定理与有关性质与定理与R Rn n中得结果一样。中得结果一样。中得结果一样。中得结果一样。因此因此,要研究线性空间要研究线性空间,只需要研究它得最大只需要研究它得最大线性无关组线性无关组-即为基即为基(basis)三、线性空间得基与维数三、线性空间得基与维数基基(basis):线性空间得极大无关组线性空间得极大无关组;维数维数(dimension):基中向量得个数基中向量得个数;常见线性空间得基与维数常见线性空间得基与维数:Fn,自然基自然基e1,e2,en,dimFn=nRm n,自然基自然基Eij,dimRm n=m n。Ft3,自然基自然基1,t,t2,dimFt3=3Ca,b,1,x,x2,x3xn-1 Ca,b,dim Ca,b=约定约定:本书主要研究有限维线性空间。本书主要研究有限维线性空间。四、坐标四、坐标坐标得来历坐标得来历:设设 1,2,n就是空间就是空间V得得得得一组基一组基一组基一组基,V,可以由基可以由基 1,2,n唯一唯一线性表示线性表示=x1 1+x2 2+xn n则则x1,x2,xn就是就是 在基在基 i下得坐标。下得坐标。例例1:求求R2 2中向量中向量在基在基Eij下得坐标。下得坐标。要点要点要点要点:坐标与基有关坐标与基有关坐标与基有关坐标与基有关坐标得表达形式坐标得表达形式坐标得表达形式坐标得表达形式例例2设空间设空间Fx4得两组基为得两组基为:1,x,x2,x3与与1,(x-1)1,(x-1)2,(x-1)3求求f(x)=2+3x+4x2+x3在这两组基下得坐标。在这两组基下得坐标。归纳归纳归纳归纳:有了基有了基有了基有了基,就可以将一个抽象得线性空间中得元素与就可以将一个抽象得线性空间中得元素与就可以将一个抽象得线性空间中得元素与就可以将一个抽象得线性空间中得元素与一个实际得一个实际得一个实际得一个实际得元素对应起来元素对应起来元素对应起来元素对应起来,从而将抽象具体化进从而将抽象具体化进从而将抽象具体化进从而将抽象具体化进行研究。行研究。行研究。行研究。大家学习辛苦了，还是要坚持继续保持安静继续保持安静*例例3 设设R2 2中向量组中向量组Ai1 讨论讨论Ai得线性相关性得线性相关性、2求向量组得秩与极大线性无关组求向量组得秩与极大线性无关组、3把其余得向量表示成极大线性无关组得把其余得向量表示成极大线性无关组得线性组合线性组合、五、基变换与坐标变换五、基变换与坐标变换讨论讨论:不同得基之间得关系不同得基之间得关系不同得基之间得关系不同得基之间得关系同一个向量在不同基下坐标之间得关系同一个向量在不同基下坐标之间得关系同一个向量在不同基下坐标之间得关系同一个向量在不同基下坐标之间得关系1基变换公式基变换公式设空间中有两组基设空间中有两组基:过渡矩阵过渡矩阵过渡矩阵过渡矩阵C C得性质得性质得性质得性质:C C为可逆矩阵为可逆矩阵为可逆矩阵为可逆矩阵C C得第得第得第得第i i列就是列就是列就是列就是 i i 在基在基在基在基 i i 下得坐标下得坐标下得坐标下得坐标则则过过过过渡渡渡渡矩矩矩矩阵阵阵阵2坐标变换公式坐标变换公式已知已知空间中两组基空间中两组基:满足满足:;讨论讨论X与与Y得关系得关系 X=CYX=CY例例已知空间已知空间R中两组基中两组基(I)Eij(II);1.求从基求从基(I)到基到基(II)得过渡矩阵得过渡矩阵C。2.求向量求向量在基在基(II)得坐标得坐标Y。1、2子空间子空间 概述概述:线性空间线性空间V中中,向量集合向量集合V可以有集合可以有集合得运算与关系得运算与关系:Wi V,W1 W2,W1 W2,问问题题:这这些些关关系系或或运运算算得得结结果果就就是是否否仍仍然然为为线性空间线性空间？1、子空间得概念定定义义:设设非非空空集集合合W V,W,如如果果W中中得得元元素素关关于于V中中得得线线性性运运算算为为线线性性空空间间,则则称称W就是就是V得子空间。得子空间。判别方法判别方法:Important TheoremImportant TheoremW就是子空间就是子空间W对对V得线性运算封闭得线性运算封闭。子空间本身就就是线性空间。子空间本身就就是线性空间。子空间本身就就是线性空间。子空间本身就就是线性空间。子子子子空空空空间间间间得得得得判判判判别别别别方方方方法法法法可可可可以以以以作作作作为为为为判判判判别别别别线线线线性性性性空空空空间间间间得得得得方方方方法法法法子空间与非子空间得例子子空间与非子空间得例子:V=x=(x1,x2,0 R 3,就是子空间就是子空间V=x=(x1,x2,1 R 3,不就是子空间不就是子空间矩阵矩阵A R mn,齐次线性方程组齐次线性方程组AX=0AX=0得解集得解集:就是子空间就是子空间 S=X:AX=0 Rn,非齐次线性方程得解集非齐次线性方程得解集:不就是子空间不就是子空间M=X:AX=b重要得子空间重要得子空间重要得子空间重要得子空间:生成子空间生成子空间生成子空间生成子空间 设设设设向向向向量量量量组组组组 1 1,2 2,mm V V,由由由由它它它它们们们们得得得得一切线性组合生成得子空间一切线性组合生成得子空间一切线性组合生成得子空间一切线性组合生成得子空间:SpanSpan 1 1,2 2,mm=L(=L(1 1,2 2,mm)=k k1 1 1 1+k k2 2 2 2+k kmm mm|k ki i 生成子空间得重要得性质生成子空间得重要得性质生成子空间得重要得性质生成子空间得重要得性质:1)1)如如如如果果果果 1 1,2 2,mm线线线线性性性性无无无无关关关关,则则则则其其其其为为为为生生生生成成成成子子子子空空空空间间间间SpanSpan 1 1,2 2,mm 得一组基得一组基得一组基得一组基;2)2)如如如如果果果果 1 1,2 2,r r就就就就是是是是向向向向量量量量组组组组 1 1,2 2,mm得最大线性无关组得最大线性无关组得最大线性无关组得最大线性无关组,则则则则 SpanSpan 1 1,2 2,mm=SpanSpan 1 1,2 2,r r 1 1,2 2,r r就就就就是是是是SpanSpan 1 1,2 2,mm 得一组基得一组基得一组基得一组基题型举例2、子空间得子空间得“交空间交空间”与与“与空间与空间”讨讨讨讨论论论论:设设设设WW 1 1 V V,WW2 2 V V,且且且且都都都都就就就就是是是是子子子子空空空空间间间间,则则则则WW1 1 WW2 2与与与与WW1 1 WW2 2就是否仍然就是子空间？就是否仍然就是子空间？就是否仍然就是子空间？就是否仍然就是子空间？1.(1)(1)交空间交空间交空间交空间 交集交集交集交集:WW1 1 WW2 2=WW1 1 而且而且而且而且 WW2 2 V Vn n(F F)WW1 1 WW2 2就是子空间就是子空间就是子空间就是子空间,被称为被称为被称为被称为“交空间交空间交空间交空间”(2)(2)与空间与空间与空间与空间与得集合与得集合与得集合与得集合:WW1 1WW2 2=X=X1 1X X2 2 X X1 1 WW1 1,X X2 2 WW2 2,WW1 1WW2 2就是子空间就是子空间就是子空间就是子空间,被称为被称为被称为被称为“与空间与空间与空间与空间”,”,例例设设R3中得子空间中得子空间W1=Le1,W2=Le2 求与空间求与空间求与空间求与空间WW1 1WW2 2。比较比较比较比较:集合集合集合集合WW1 1 WW2 2与集合与集合与集合与集合WW1 1WW2 2。如果如果如果如果WW1 1=SpanSpan 1 1,2 2,mm,WW2 2=SpanSpan 1 1,2 2,k k,则则则则 WW1 1WW2 2=SpanSpan 1 1,2 2,mm,1 1,2 2,k k 3、维数公式、维数公式子空间得包含关系子空间得包含关系:dimdimWW1 1 WW22 dimdimWWii dim dim(W1W1W2W2)dimdimV V。维数定理维数定理:dimdimWW1 1dimdimWW2 2=dimdim(WW1 1WW2 2)dimdim(WW1 1 WW2 2)证明证明证明证明:4、子空间得直与、子空间得直与 分析分析:如果如果dim(W1 W2)0,则则dim(W1W2)dimW1dimW2所以所以:dim(W1W2)=dimW1dimW2dim(W1 W2)=0W1 W2=0直与得定义直与得定义:若若 dim(W1 W2)=0,则与为直与则与为直与 W=W1W2=W1 W2,子空间得子空间得“与与”为为“直与直与”得充要得充要条件条件:Theorem 设设W=W1W2,则下列各条等价则下列各条等价:(1)W=W1 W2;(2)X W,X=X1X2得表得表就是惟一得就是惟一得;(3)0得分解就是唯一得得分解就是唯一得;(4)dimW=dimW1dimW2例例设在设在Rnn中中,子空间子空间W1=A AT=A,W2=B BT=B,证明证明Rnn=W1 W2。例 1、3线性空间线性空间V与与Fn得同构得同构 坐标关系坐标关系坐标关系坐标关系VFnVV得基得基得基得基 1 1,2 2,。n n 由此建立一个一一对应关系由此建立一个一一对应关系 V V,XX F Fn n,()=X=X (1 1+2 2)=(1 1)+(2 2)(k k )=k=k ()在关系在关系 下下,线性空间线性空间V与与Fn同构。同构。同构得性质同构得性质定理定理1、3、1:数域数域F上两个有限维线性空上两个有限维线性空间同构得充分必要条件就是她们得维数间同构得充分必要条件就是她们得维数相同。相同。同构保持线性关系不变。同构保持线性关系不变。应用应用:借助于空间借助于空间Fn中已经有得结论与方法研中已经有得结论与方法研究一般线性空间得线性关系。究一般线性空间得线性关系。14线性变换线性变换(LinearTransformations)(LinearTransformations)一、一、线性变换得概念线性变换得概念1 1、线性变换得来历线性变换得来历线性变换得来历线性变换得来历;Definition:(i)T就是就是V上得映射上得映射:T:VV。(ii)T具有线性性具有线性性:T()=T()T()(保持加法得三角形法则保持加法得三角形法则保持加法得三角形法则保持加法得三角形法则)T(k)=kT()(保持比例关系保持比例关系保持比例关系保持比例关系)22线性变换得性质线性变换得性质线性变换得性质线性变换得性质:(i)T T(0 0)=0=0(ii ii)T T()=T T()(iiiiii)T()T(k k1 1 1 1+k k2 2 2 2+k kmm mm)=)=k k1 1T(T(1 1)+)+k k2 2T(T(2 2)+)+、+k kmmT T(mm)3 3线性变换得象空间与零空间线性变换得象空间与零空间线性变换得象空间与零空间线性变换得象空间与零空间设线性变换设线性变换设线性变换设线性变换T T:V VV V,象空间象空间象空间象空间ImIm(T T)=:V V,=T=T()零空间零空间零空间零空间Ker(Ker(T T)=:V V,TT()=0=0定义定义定义定义:TT得秩得秩得秩得秩=dimdimRR(T T););TT得零度得零度得零度得零度=dim dim N N(T T)线性变换保持线线性变换保持线线性变换保持线线性变换保持线性相关性不变！性相关性不变！性相关性不变！性相关性不变！例例例例(P018)(P018)R Rn n中得变换中得变换中得变换中得变换 T T:设设设设AA R Rnnnn就是一个给定得就是一个给定得就是一个给定得就是一个给定得 矩阵矩阵矩阵矩阵,X X R Rn n,T T(X X)=AX=AX。(1)T(1)T就是线性变换就是线性变换就是线性变换就是线性变换;(2)Ker(T)(2)Ker(T)就是就是就是就是AX=0AX=0得解空间得解空间得解空间得解空间;(3)Im(T)=Span(3)Im(T)=Spana a1 1,a a2 2,a ann,其中其中其中其中a ai i就是矩阵就是矩阵就是矩阵就是矩阵A A得得得得列向量列向量列向量列向量;(4)dimKer(T)+dimIm(T)=n(4)dimKer(T)+dimIm(T)=n 4 4 线性变换得运算线性变换得运算线性变换得运算线性变换得运算设设设设T T1 1,T T2 2都都都都就就就就是是是是空空空空间间间间V V中中中中得得得得线线线线性性性性变变变变换换换换,常常常常见见见见得得得得用用用用它它它它们们们们构成得新得变换构成得新得变换构成得新得变换构成得新得变换:(i i)T T1 1T T22 V V,(T T1 1T T2 2)()()=T=T1 1()T T2 2()(ii ii)T T1 1T T2 2 V V,(T T1 1T T2 2)()=T=T1 1(T T2 2()(iiiiii)k kTT V V,(k kT T)()()=k k(T T()(iviv)若若若若TT1 1就是可逆变换就是可逆变换就是可逆变换就是可逆变换,T T1 1 TT1 1()=当且仅当当且仅当当且仅当当且仅当T T()=。