四川省仁寿第一中学南校区2021届高三数学下学期第二次模拟试题-文.doc

四川省仁寿第一中学南校区2021届高三数学下学期第二次模拟试题 文

四川省仁寿第一中学南校区2021届高三数学下学期第二次模拟试题 文

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10

四川省仁寿第一中学南校区2021届高三数学下学期第二次模拟试题 文
一、选择题：
1．已知全集U＝{x∈N|0≤x≤5}，∁UA＝{1，2，5}，则集合A等于（　D　）
A．{0，1，2} B．{2，3，4} C．{3，4} D．{0，3，4}
2．已知复数z满足（2+i）z＝|4﹣3i|（i为虚数单位），则z＝（　B　）
A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i
3.已知等差数列的前项和为，则“的最大值是”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解答】选B
4．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙．研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v（单位：m/s）与其耗氧量Q之间的关系为v＝a+log2（其中a是实数）．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位，若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，其耗氧量至少需要（　C　）个单位．
A．70 B．60 C．80 D．75
5．已知数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，前n项和为Sn，满足，则S9＝（　C　）
A．35 B．40 C．45 D．50
6．某四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是边长为2的正方形，正
视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（A）
A． B．8 C． D．4
7．已知在边长为3的等边△ABC中，＝+，则在上的投影为（　　）
A． B． C． D．
8．已知椭圆与直线交于A，B两点，焦点F（0，﹣c），其中c为半焦距，若△ABF是直角三角形，则该椭圆的离心率为（　A　）
A． B． C． D．
9． 下列只有一个是函数（a≠0）的导函数的图象，
则f（﹣1）＝（　A　）

A． B． C． D．或
10．关于函数有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（，）单调递增
③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是（　C　）
A． ①②④ B．②④ C．①④ D．①③
11．设a＝3π，b＝π3，c＝33，则（　　）
A．b＞a＞c B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a
解：考查幂函数y＝x3在（0，+∞）是单调增函数，且π＞3，∴π3＞33，∴b＞c；
由y＝3x在R上递增，可得3π＞33，由a＝3π，b＝π3，可得lna＝πln3，
lnb＝3lnπ，考虑f（x）＝的导数f′（x）＝，
由x＞e可得f′（x）＜0，即f（x）递减，可得f（3）＞f（π），即有＞，
即为πln3＞3lnπ，即有3π＞π3，则a＞b＞c，故选：C．
12．已知F1，F2分别为双曲线的左焦点和右焦点，过F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，△AF1F2的内切圆半径为r1，△BF1F2的内切圆半径为r2，若r1＝2r2，则直线l的斜率为（　　）
A．1 B． C．2 D．
解：记△AF1F2的内切圆圆心为C，边AF1、AF2、F1F2上的切点分别为M、N、E，
易见C、E横坐标相等，则|AM|＝|AN|，|F1M|＝|F1E|，|F2N|＝|F2E|，
由|AF1|﹣|AF2|＝2a，即|AM|+|MF1|﹣（|AN|+|NF2|）
＝2a，得|MF1|﹣|NF2|＝2a，即|F1E|﹣|F2E|＝2a，
记C的横坐标为x0，则E（x0，0），
于是x0+c﹣（c﹣x0）＝2a，得x0＝a，
同样内心D的横坐标也为a，则有CD⊥x轴，
设直线的倾斜角为θ，则∠OF2D＝，∠CF2O＝90°﹣，
在△CEF2中，tan∠CF2O＝tan（90°﹣）＝，
在△DEF2中，tan∠DF2O＝tan＝，
由r1＝2r2，可得2tan＝tan（90°﹣）＝cot，解得tan＝，
则直线的斜率为tanθ＝＝＝2，故选：D．
二、填空题:本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应位置上.
13．若x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最大值为　2　．
14．已知是定义域为的奇函数，满足.若,则
= -2
15 .已知，则 .
16．设直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是，AB＝AC＝AA1，∠BAC＝120°，则此直三棱柱的高是　　　　　．
三、解答题: 本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（12分） 设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知acosB＝bcosA+c，
（1）证明：△ABC是直角三角形．
（2）若D是AC边上一点，且CD＝3，BD＝5，BC＝6，求△ABD的面积．
解（1）由正弦定理acosB＝bcosA+c化为：
sinAcosB＝sinBcosA+sinC，
∴sinAcosB﹣sinBcosA＝sinC，∴sin（A﹣B）＝sinC，
∵A﹣B∈（﹣π，π），C∈（0，π），
∴A﹣B＝C或A﹣B＝π﹣C（舍）
∴A＝B+C，∴．即△ABC是直角三角形．
（2）在△BCD中，CD＝3，BD＝5，BC＝6，由余弦定理得．
∴．
∴，∴AD＝AC﹣CD＝，又 ．
∴．
18.（12分）某工厂A，B两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下通过日常监控得知，A，B生产线生产的产品为合格品的概率分别为p和2p﹣1（0.5≤p≤1）．
（1）从A，B生产线上各抽检一件产品，若使得至少有一件合格的概率不低于99.5%，求p的最小值p0．
（2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．
已知A，B生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元，若从两条生产线上各随机抽检1000件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线的挽回损失较多？
解：（1）P＝1﹣（1﹣p）（1﹣（2p﹣1））＝1﹣2（1﹣p）2．
令1﹣2（1﹣p）2≥0.995，解得p≥0.95．故p的最小值p0＝0.95．
（2）由（1）可知A，B生产线上的产品合格率分别为0.95，0.9．
即A，B生产线的不合格产品率分别为0.05和0.1．
故从A生产线抽检的1000件产品中不合格产品大约为1000×0.05＝50件，故挽回损失50×5＝250元，
从B生产线上抽检1000件产品．不合格产品大约为1000×0.1＝100，可挽回损失100×3＝300元，
∴从B生产线挽回的损失较多．
19. （12分） 如图所示，△ABC是等边三角形，DE∥AC，DF∥BC，面ACDE⊥面ABC，
AC＝CD＝AD＝DE＝2DF＝2．
（1）求证：EF⊥BC；（2）求四面体FABC的体积.
（1）证明：因为DE∥AC，DF∥BC，所以△ABC是等边三角形，
所以∠EDF＝∠ACB＝60°，又AC＝DE＝BC＝2DF＝2，
在△EDF中，由余弦定理可得，，
所以EF2+DF2＝DE2，故EF⊥DF，所以EF⊥BC；
（2）答案：1
20．（12分) 已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过C的焦点F的直线l1与抛物线交于A、B两点，当l1⊥x轴时，|AB|＝4．
（1）求抛物线C的方程；
（2）如图，过点F的另一条直线l与C交于M、N两点，设l1，l2的斜率分别为k1，k2，若k1+k2＝0（k1＞0），且3S△AMF＝S△BMN，求直线l1的方程．
解：（1）根据题意可得F（，0），当l1⊥x轴时，直线l1的方程为x＝﹣，
联立，解得y＝±p，所以A（，p），B（，﹣p），
所以|AB|＝2p＝4，解得p＝2，进而可得抛物线的方程为y2＝4x．
（2）由（1）可知F（1，0），设直线l1的方程为y＝k1（x﹣1），
联立，得k12x2﹣（2k12+4）x+k12＝0，
所以△＝（2k12+4）2﹣4k12＝16k12+16＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
所以x1+x2＝，x1x2＝1，①
因为k1+k2＝0，所以k1＝﹣k2，因为直线l2与抛物线交于点M，N，
所以A与N关于x轴对称，M与B关于x轴对称，
因为3S△AMF＝S△BMN，S△AMF＝S△BNF，所以3S△AMF＝S△AMF+S△BFM，
所以2S△AMF＝S△BFM，所以2|AF|＝|BF|，
由抛物线定义可得|AF|＝x1+1，|BF|＝x2+1，所以2x1+2＝x2+1，即x2＝2x1+1，
代入①得（2x1+1）x1＝1，解得x1＝或﹣1（舍去），
所以x2＝2x1+1＝2×+1＝2，
所以x1+x2＝＝2，解得k12＝8，即k1＝2，
所以直线l1的方程为y＝2（x﹣1）．
21．已知函数f（x）＝alnx+x（a∈R）．
（1）若a＝﹣1，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数，且g（x）≥0在x∈（1，+∞）时恒成立，求实数a的最小值．
解：（1）a＝﹣1时，f（x）＝﹣lnx+x，函数f（x）的定义域是（0，+∞），
则＝
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故f（x）的单调减区间为（0，1），f（x）的单调增区间为（1，+∞）；
（2）由g（x）≥0，可得e﹣x﹣（﹣x）≥xa﹣alnx，即①，
令h（t）＝et﹣t，由h'（t）＝et﹣1得，当t＜0时，h（t）递减，当t＞0时，h（t）递增，
所以①即为h（﹣x）≥h（alnx），由于求实数a的最小值，考虑化为a＜0，
所以﹣x≤alnx，即，令，则l′（x）＝﹣，
令l′（x）＞0，解得：0＜x＜e，令l′（x）＜0，解得：x＞e，
故l（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，
故可得l（x）的最大值为﹣e，所以a的最小值为﹣e．
22.（10分） 在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为x+y﹣4＝0，曲线C的参数方程为（t为参数）．以O点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；
（2）设射线θ＝α（ρ≥0，0≤α＜2π）与直线l和曲线C分别交于点M，N，求的最小值．
解：（1）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，
可得直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣4＝0，即有ρ＝；
曲线C的参数方程为（t为参数），
可得sin2t+cos2t＝+x2＝1，则ρ2cos2θ+ρ2sin2θ＝1，
即为ρ2＝＝；
（2）设M（ρ1，α），N（ρ2，α），其中0≤α＜或＜α＜2π，
则＝+
＝+＝1+＝1+sin（2α+），
由sin（2α+）＝﹣1即α＝或时，取得最小值1﹣．

23． （10分）已知函数f（x）＝|x|．
（1）求不等式3f（x﹣1）﹣f（x+1）＞2的解集；
（2）若不等式f（x﹣a）+f（x+2）≤f（x+3）的解集包含[﹣2，﹣1]，求a的取值范围．
解：（1）∵f（x）＝|x|，∴3f（x﹣1）﹣f（x+1）＞2，即3|x﹣1|﹣|x+1|＞2，
所以，①，或②，或③．
解①得x≤﹣1，解②得﹣1＜x＜0，解③得x＞3，综合可得 x＜0或x＞3，
所以原不等式的解集为（﹣∞，0）∪（3，+∞）．
（2）f（x﹣a）+f（x+2）≤f（x+3）即|x﹣a|+|x+2|≤|x+3|．
因为不等式f（x﹣a）+f（x+2）≤f（x+3）的解集包含[﹣2，﹣1]，
所以，|x﹣a|+|x+2|≤|x+3|对于x∈[﹣2，﹣1]恒成立．
因为x∈[﹣2，﹣1]，所以，x+2≥0，x+3≥0，
所以|x﹣a|+|x+2|≤|x+3|等价于|x﹣a|+x+2≤x+3，
即|x﹣a|≤1恒成立，
所以a﹣1≤x≤a+1在[﹣2，﹣1]上恒成立，
所以，，解得﹣2≤a≤﹣1，
即实数a的取值范围为[﹣2，﹣1]．