历年（2019-2021）全国中考数学真题专项（与二次函数相关的压轴题）汇编 （附答案）.pdf

历年（2019-2021）全国中考数学真题专项（与二次函数相关的压轴题）汇编一、选填题1.（2021湖北黄石市中考真题）二次函数y=+c（。、b、。是常数，且QW0）的自变量X与函数值的部分对应值如下表:0；m+n；关于1的方程3a x?+6x+c=0的负实数根在一2和0之间；（，一1,%）和鸟（+1,%）在该二次函数的图象上，则当实数时，弘为其中正确的结论是（）A.B.C.D.2.（2021黑龙江大庆市中考真题）已知函数y=+则下列说法不正确的个数是（）若该函数图像与1轴只有一个交点，则。=1;方程以2一（4+1）X+1=。至少有一个整数根若,则y=a%2 一（q+i）x+i的函数值都是负数 a不存在实数a,使得qY-g+1）X+1 k o对任意实数%都成立3.（2021湖北随州市中考真题）如图，已知抛物线了=2+6%+。的对称轴在轴右侧，抛物线与1轴交于点/（2,0）和点3,与V轴的负半轴交于点。，且05=20。，则下列结论：4於0；C26 4a c=l；0=-；当160时一，在工轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点，4N（点M在点N左边），使得NNLBM.其中正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.（2021内蒙古呼和浩特市中考真题）已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于两点（m,o）,（,0）,且过4（0,6）,6（3两点（乩a是实数），若0（加2,则仍的取值范围是（）41 19 81 49A.0 cib B.0 a b C.0 cib D.0 a b =-/+2%+3的图象在轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示.当直线歹=x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，6的值为（）C.2或一313 6D.一或一347.（2021辽宁本溪市中考真题）如图，在矩形中，BC=1,N4Q3=60。，动点尸沿折线力。3运动到点8,同时动点。沿折线。8-6。运动到点。，点尸,。在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长 度，点尸，0在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度.设运动时间为，秒，D80的面积为S,则下列图象能大致反映S与1之间函数关系的是（）8.（2021内蒙古通辽市中考真题）如图，在矩形N3CQ中，AB=4,B C=3,动点P,。同时从点/出发，点。沿4一8一。的路径运动，点。沿4-。一。的路径运动，点P,。的运动速度相同，当点。到 达点。时一，点。也随之停止运动，连接设点尸的运动路程为x,PQ?为y,则y关于的函数图象大致是（）9.（2021山东威海市中考真题）如图，在菱形/BCD中，AB=2c m,/D=60。，点、P,。同时从点/出发，点尸以l c“/s的速度沿Z-C-Q的方向运动，点。以2C777/S的速度沿4-3-C-。的方向运动，当 其中一点到达。点时，两点停止运动.设运动时间为X（S）,口力。0的面积为（CT；?）,则下列图象中能大 致反映歹与x之间函数关系的是（）D10.（2021黑龙江齐齐哈尔市中考真题）如图，抛物线的解析式为y=%2,点4的坐标为（1,1）,连接过4作I OA,分别交歹轴、抛物线于点4、用：过用作用4 _L A向,分别交y轴、抛物线于点p2、4；过4作4打上发劣，分别交歹轴、抛物线于点A、星：按照如此规律进行下去，则点（，为正11.(2021广西来宾市中考真题)如图，已知点/(3,0),5(1,0),两点。(3,9),。(2,4)在抛物线=/上，向左或向右平移抛物线后，C,。的对应点分别为C,DC,当四边形力的周长最小时，抛物 线的解析式为.二、解答题1.(2021湖北恩施土家族苗族自治州中考真题)如图，在平面直角坐标系中，四边形48。为正方形，点A,8在轴上，抛物线=%2+b%+c经过点3,。(4,5)两点，且与直线QC交于另一点.(2)尸为抛物线对称轴上一点，。为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q,F,E,8为顶点的四边形是以3E为边的菱形.若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由；(3)尸为歹轴上一点，过点尸作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接ME,B P.探究E M+MP+PB 是否存在最小值.若存在，请求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由.2.(2021湖北十堰市中考真题)已知抛物线=+八一5与轴交于点力(_1,0)和a-5,0),与y轴交于点。，顶点为P,点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连/N交抛物线于连/。、CM.(1)求抛物线的解析式；(2)如图1,当t a n/4c M=2时，求M点的横坐标；(3)如图2,过点尸作x轴的平行线/,过“作于。，若MD=JiMN，求N点的坐标.3.(2021湖北黄冈市中考真题)已知抛物线=。X2+日3与轴相交于4-1,0),3(3,0)两点，与歹轴交于点。，点N(,0)是轴上的动点.(1)求抛物线的解析式；(2)如图1,若 3,过点N作x轴的垂线交抛物线于点P,交直线8。于点G.过点。作于点。，当“为何值时，口夕。626NG；(3)如图2,将直线绕点8顺时针旋转，3使它恰好经过线段OC的中点，然后将它向上平移一个单位长度，得到直线.t a n/5。4二；2当点N关于直线。片的对称点N】落在抛物线上时，求点N的坐标.一 1,3 一4.（2021四川泸州市中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=+万+4与两坐标轴分别相交于/,B,。三点（1）求证：N/CB=90。（2）点。是第一象限内该抛物线上的动点，过点。作x 轴的垂线交于点,交工轴于点?求。E+8月的最大值；点G是/。的中点，若以点C,D,E为 顶点的三角形与U/OG相似，求点。的坐标.5.（2021江苏连云港市中考真题）如图，抛物线=a2+（m2+3卜一（6m+9）与轴交于点4、B,与V轴交于点C,已知3（3,0）.（1）求用的值和直线对应的函数表达式；（2）。为抛物线上一点，若S尸8c=8叱，请直接写出点。的坐标；（3）。为抛物线上一点，若乙4。0=45。，求点。的坐标.6.（2020四川中考真题）如图1,抛物线y=a f-2-3a（存0）与x轴交于点Z,B.与歹轴交于点C.连 接ZC,B C.已知ZU3C的面积为2.（1）求抛物线的解析式；（2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依 次交于P，0两点.过P，。向轴作垂线，垂足分别为G,H.若四边形PG”。为正方形，求正方形的边 长；（3）如图2,平行于y轴的直线交抛物线于点，交x轴于点N（2,0）.点。是抛物线上4,之间 的一动点，且点。不与4 M重合，连接DB交MN于点、E.连接/。并延长交于点?在点。运动过 程中，3NE+NF是否为定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.7.（2021辽宁中考真题）如图，已知点/（8,0）,点3（-5,-4）,直线y=2x+掰过点3交 轴于点C,交,11X轴于点。，抛物线V=+1%+c经过点/、。、D,连接AC.（1）求抛物线的表达式；（2）判断口 43。的形状，并说明理由；（3）E为直线4。上方的抛物线上一点，且t a n/EC4=!,求点E的坐标；2（4）N为线段上的动点，动点。从点8出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段运动到点N,再以每秒V5个单位长度的速度沿线段NC运动到点。，又以每秒1个单位长度的速度沿线段CO向点。运动,备用图8.（2021上海中考真题）已知抛物线=62+&0）过点尸（3,0）,0（1,4）.（1）求抛物线的解析式；（2）点/在直线。0上且在第一象限内，过/作力3_Lx轴于8,以48为斜边 在其左侧作等腰直角N8C.若4与。重合，求C到抛物线对称轴的距离；若。落在抛物线上，求C 的坐标.9.（2021内蒙古呼伦贝尔市中考真题）如图，直线歹=%+2与抛物线=。%2+6；+6（。0）相交于点和点5（4”），抛物线与轴的交点分别为，K（点”在点K的左侧）.点厂在线段48上运 动（不与点4、3重合），过点厂作直线77cl _1_%轴于点尸，交抛物线于点C.图1图2图3（1）求抛物线的解析式；（2）如图1,连接4C,是否存在点E使口E4C是直角三角形？若存在，求出 点尸的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2,过点。作于点E,当a CEb的周长最大时，点厂作任意直线/，把CM沿直线/翻折180。，翻折后点。的对应点记为点。,求出当/的周长最 大时，点尸的坐标，并直接写出翻折过程中线段KQ的最大值和最小值.10.（2021湖南湘西土家族苗族自治州中考真题）如图，已知抛物线=0?+瓜+4经过4T0）,8（4,0）两点，交）轴于点（1）求抛物线的解析式；（2）连接求直线的解析式；（3）请在抛物线的对称轴上找一点尸，使NP+PC的值最小，求点尸的坐标，并求出此时力P+PC的最小值；（4）点为1轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N,使得以A、。、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.11.（2021辽宁大连市中考真题）已知函数=一%+)x2-mx+m(x m),记该函数图像为G.,（1）当?=2时，已知M（4,）在该函数图像上，求的值；当时，求函数G的最大值；（2）当20时，作直线 加与x轴交于点P,与函数G交于点。，若NPO0=45。时，求机的值；（3）当加3时一，设图像与轴交于点4与歹轴交与点3,过3做A4交直线=加与点C,设点Z的横坐标为a,C点的纵坐标为c,若a=-3c,求冽的值.12.(2021贵州黔东南苗族侗族自治州中考真题)如图，抛物线厂办2 2x+c(a w 0)与x轴交于Z、3(3,0)两点，与歹轴交于点。(0,3),抛物线的顶点为。.(1)求抛物线的解析式；(2)点。在抛物线的对称轴上，点。在x轴上，若以点。、B、。为顶点，3c为边的四边形为平行四边形，请直接写出点尸、0的坐标；(3)已知点M是X轴上的动点，过点M作工的垂线交抛物线于点G,是否存在这样的点M,使得以点/、M、G为顶点的三角形与3。相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.13.(2021吉林中考真题)如图，在平面直角坐标系中，二次函数=/+b x+c的图象经过点力。,一(1)求此二次函数的解析式；(2)当2x =/+b x+c-的图象交点个数及对应的血的取值范围.I m 1 m14.（2021山东淄博市中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线丁=一一x2+-%（加0）与2 2 2%轴交于4（1,0）,3（加,0）两点，与轴交于点C,连接3C.（1）若00=204,求抛物线对应的函数表达式；（2）在（1）的条件下，点尸位于直线8。上方的抛物线上，当口尸3。面积最大时，求点。的坐标；（3）设直线y=+6与抛物线交于3,G两点，问是否存在点石.（在抛物线上）.点尸（在抛物线的对称轴上），使得以民G,，尸为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点，厂的坐标；若不存在，说明理由.15.（2021内蒙古鄂尔多斯市中考真题）如图，抛物线歹=/+2%-8与x轴交于4,g两点（点4在点3左侧），与y轴交于点C（1）求4 B,C三点的坐标；（2）连接NC,直线1=%（一42=履+6图像上的动点，已知该一次函数的图像经过点(-1,1).(1)点片旋转后，得到的点开的坐标为；(2)若点P的运动轨迹经过点旦(2,1),求原一次函数的表达式.(深入感悟)(3)如图2,设40,0),戊=45。，点。反比例函数丁=一(+26%+7图像上的动点,已知点8(2,0)、。(3,0),试探究6CP的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理 由.39.（2021湖南张家界市中考真题）如图，已知二次函数=0?+乐+。的图象经过点。（2,_3）且与轴 交于原点及点3（8,0）.（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点A的坐标及直线的表达式；（3）判断口46。的形状，试说明理由；（4）若点尸为口0上的动点，且口。的半径为2及，一动点从 点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB 匀速运动到点8后停止运动，求点石的运动时间看的最小值.40.（2021黑龙江鹤岗市中考真题）如图，在平面直角坐标系中，A4O3的边OA在x轴上，OA=AB,4且线段OA的长是方程4%5=0的根，过点3作轴，垂足为,t a n/84E=,动点“以 3每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿线段向点3运动，到达点3停止.过点作轴的垂线，垂足为。，以。为边作正方形加。CF,点C在线段OA上，设正方形加。C尸与A4 03重叠部分的面积 为S,点M的运动时间为（%0）秒.（1）求点3的坐标；（2）求S关于，的函数关系式，并写出自变量，的取值范围；（3）当点尸落在线段05上时，坐标平面内是否存在一点P,使以/、4 O、P为顶点的四边形是平行 四边形？若存在，直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.41.（2021湖南中考真题）已知函数 2 一 的图象如图所示，点/（西,凹）在第一象限内的函数图 象上.（1）若点8（%2，%）也在上述函数图象上，满足当为=乂=4时，求百,2的值；若 民|=|匹卜，设坟二必一 为，求坟的最小值；（2）过/点作歹轴的垂线4P,垂足为尸，点尸关于X轴的对 称点为尸，过/点作X轴的线/。，垂足为0,。关于直线4尸的对称点为。，直线是否与V轴交 于某定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.42.（2021黑龙江中考真题）如图，已知抛物线片加+法+5仅。0）与X轴交于点/（-5,0）,点5（1,0）,（点A在点3的左边），与 轴交于点C,点。为抛物线的顶点，连接8Q.直线丁=一，一3经过点a,2 2且与V轴交于点石（1）求抛物线的解析式；（2）点N是抛物线上的一点，当口8。是以QN为腰的等 腰三角形时，求点N的坐标；（3）点尸为线段力上的一点，点G为线段OA上的一点，连接尸G,并延 长bg与线段8。交于点（点”在第一象限）.当/FG=3/A4E且G=2EG时，求出点尸的坐标.备用题43.(2021江苏无锡市中考真题)在平面直角坐标系中，。为坐标原点，直线丁=-%+3与轴交于点3,与歹轴交于点C,二次函数=。/+2工+。的图象过8、。两点，且与轴交于另一点/,点为线段。8 上的一个动点，过点作直线/平行于歹轴交5。于点R交二次函数y=a%2+2%+c的图象于点区(1)求二次函数的表达式；(2)当以。、E、b为顶点的三角形与口相似时，求线段跖的长度;(3)已知点N是y轴上的点，若点N、/关于直线对称，求点N的坐标.44.(2021湖南娄底市中考真题)如图，在直角坐标系中，二次函数y=%2+法+。的图象与轴相交于点41,0)和点3(3,0),与y轴交于点C(1)求枚c的值；(2)点尸(加,)为抛物线上的动点，过。作x轴的垂线交直线/：歹=%于点。.当0%3时，求当。点到直线l：y=x的距离最大时m的值；是否存在加，使得以点。、。、。、。为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出 m的值.参考答案一、选填题1.（2021湖北黄石市中考真题）二次函数=2+乐+。（。、b、。是常数，且QW0）的自变量与函数值丁的部分对应值如下表：X1012ym22n3 20且当=时，对应的函数值歹0；2+一一；关于1的方程 2 3a%?+6x+c=0的负实数根在一2和。之间；（，一1,%）和鸟（%+1,%）在该二次函数的图象上，则当 实数时、弘为其中正确的结论是（）A.B.C.D.【答案】B【要点分析】将点（0,2）与点（1,2）代入解析式可得到。、6互为相反数，c=2,即可判断；3将x=-l与x=2代入解析式得到相和的表达式，再结合当了=时-，对应的函数值歹0,即可表示出 2m+n的取值范围；3根据点（1,2）与当了=时，对应的函数值y 为，求出 对应的/即可；当4与月在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当6的横坐标到对称轴的距离小于p2到 对称轴的距离时满足乂 y2,求出对应的t即可.c=2【答案详解】将点（0,2）与点（1,2）代入解析式得：,则。、6互为相反数，a bc VO，故错误；:。、力互为相反数，将x=-l与x=2代入解析式得：加=2。+2,贝U：加+=4。+4,3 8 20当=时，对应的函数值y 0,得：3a+80,即：a,?+=4a+4V-.故正确；2 3 33.函数过点（1,2）且当=时-，对应的函数值丁0,23方程+6%+c=0的正实数根在1和一之间，2抛物线过点（0,2）与点（1,2）,.结合抛物线的对称性可得抛物线的对称轴为直线=,2.结合抛物线的对称性可得关于x的方程a/+6%+c=o的负实数根在-!和0之间.故正确；23.函数过点（1,2）且当=时-，对应的函数值丁0,.可以判断抛物线开口向下，2：4在抛物线的右侧时，吕恒在抛物线的右侧，此时必外恒成立，1 3.月的横坐标大于等于对称轴对应的X,解得，之2时为；v当与鸟在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当4的横坐标到对称轴的距离小于g到对称轴的距离/-1-7 1 1时满足必为,即当J:时，-+满足M力,/+1-2 2I 21 2 1 1 3.当时，解得/Q,即6与g在抛物线的异侧时满足%.综上当时，%巴.故错误.故选：B.【名师点睛】本题主要考查二次函数的相关性质，解题的关键是能通过图表所给的点以及题目的信息来判断抛物线的开口方向以及对称轴，结合二次函数的图象的性质来解决对应的问题.2.（2021黑龙江大庆市中考真题）已知函数（4+1）%+1,则下列说法不正确的个数是（）若该函数图像与1轴只有一个交点，则。=1方程+1）x+1=o至少有一个整数根若1,则=加一（。+1卜+1的函数值都是负数 a不存在实数。，使得a/（a+i）x+iv o对任意实数1都成立A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【要点分析】对于：分情况讨论一次函数和二次函数即可求解；对于：分情况讨论4=0和W0时一方程的根即可；对于：已知条件中限定a M且或a 0,分情况讨论41或。0时的函数值即可；对于：分情况讨论。=0和。加时函数的最大值是否小于等于0即可.【答案详解】解：对于：当4=0时，函数变为丁=一x+1,与x只有一个交点,当 a RO 时，D=（a+1）2-4a=（“-I）?=0,a=,故图像与1轴只有一个交点时，。=1或。=0,错误；对于：当。=0时，方程变为+1=0,有一个整数根为=1,当好0时，方程办2一（。+1.+1=0因式分解得到：（a x l）（x 1）=0,其中有一个根为x=l,故此时方程至少有一个整数根，故正确；对于：由已知条件得到存0,且或。l时，一（。+1）X+1开口向上，对称轴为上=J _+_,自变量离对称轴越远，其对应1+1的函数值越大，a _1 1,22 2a.%=工户=1离对称轴的距离一样，将x=l代入得到歹=0,此时函数最大值小于0；a当a 0时，y 一（。+1）%+1开口向下，自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，X=J _+_时，函数取得最大值为=4-（+1）2=+2。-1=_（”厅,2 2a 4a 4a 4aVa 0,故错误；4a对于：a=0时，原不等式变形为：-X+1K0对任意实数1不一定成立，故a=0不符合；在0时，对于函数=a/一（4+1）%+,当a 0时开口向上，总有对应的函数值丁0,此时不存在。对a d（4+1）%+10对任意实数1都成立；当。0时开口向卜，此时函数的最大值为4”（+1）2,4a 4a 4aVa 0,即有一部分实数%,其对应的函数值歹0,4a此时不存在。对a/（a+l）x+l K0对任意实数1都成立；故正确；综上所述，正确，故选：C.【名师点睛】本题考查二次函数的图像及性质，二次函数与方程之间的关系，分类讨论的思想，本题难度 较大，熟练掌握二次函数的性质是解决本类题的关键.3.(2021湖北随州市中考真题)如图，已知抛物线y=+c的对称轴在歹轴右侧，抛物线与x轴Q-A交于点4(-2,0)和点3,与歹轴的负半轴交于点C,且03=2OC,则下列结论：0；C26-4a=1；(3)6/=-；当160,对称轴在歹轴右侧，所以60,图像与轴交点在x轴下方，所以c 0 所以不正确；C点N(2,0)和点3,与V轴的负半轴交于点C(0,c),且。5=2。设8(2c,0)代入y=a x2+6x+c,得：4 a c2-2bc+c=0c w O 2b-4 a c=1,所以正确；./(2,0卜，5(2c,0)设抛物线解析式为：7=。(+2)。+2。)过。(0,)/.c=4 a c.?=,所以正确；4如图：设交点为尸，对称轴与x轴交点为0,顶点为、/(2,0),5(2c,0)=2 2c,PQ=AB=l-c2+(2c)44c-h又对称轴x=-=C+1.尸(c+Lc 1)由顶点坐标公式可知。(c+1,-)2 4。a=-:.D(c+l,c-b2)由题意 c/1 或者 b 1 4由知60 61,所以不正确.综上所述：正确共2个故选B.【名师点睹】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用了数形结合的思想，二次函数(尔0),。的符号由抛物线的开门决定；6的符号由及对称轴的位置确定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定，此外还有注意利用特殊点1,-1及2对应函数值的正负来解决是解题的关键.,4.(2021内蒙古呼和浩特市中考真题)已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于两点(加,0),(,0),且过/(0/)，3(3,4)两点(6,。是实数)，若0加2,则外的取值范|韦|是()41 19 81 49A.0a b B.0a b C.0a b D.0a b 8 8 16 16【答案】C【要点分析】根据题意列出二次函数的解析式，求出二次函数的最值，利用基本不等式，求出的范围.【答案详解】由题意，二次函数与X轴交于两点(2,0),(,0),且二次项系数为1,则：y=x w)(.x-n)=x2-(m+n)x+mn:过/(0/),3(3,。)两点.二6=痴，a=9-3(m+n)+mna+b=2mn-3（h?+w）+9 0 w w 2 run -41 1、9二.，a+b （m+-3（m+/7）+9 （m+n-3Y+,2 2 2,9*/0mn2.0rn+n4 a+b 2v yfa b （a+b）lyfa b a+b-：.a b 2 2 16777+77二次函数的二次项系数为1,对称轴为X二-2二次函数图像开口朝上，且点（小0）,5（3。）在对称轴的右侧81又Q in n 0 0 a b 2 0,解得：2(2-m)-m 25+V1722 m 上时，AP=t,DQ=2t,过点尸作PE 1 B D，通过解直角三角形求出?表示出面积的函数表达式；当点P在上，点0在3C上时,B P=2-2（t-i）=4-2t,B Qt-i,过点尸作尸尸_LBC,通过解直角三角形求出尸石，表示出面积的函 数表达式，利用二次函数的性质即可得出结论.【答案详解】解：当点尸在40上，点0在上时，AP=b,。=2%,则尸。=1-过点尸作尸_L3。，V ZADB 60,.四=sin 600=且，=c o s60=-,PD 2 B D 28。=2 2小，必0的面积S=后+得（0/1）,为开|向上的二次函数;当，=1时，点尸与点。重合，点。与点8重合，此时尸8。的面积s=o；当点尸在 AD 上，点 0 在上时，B P=2-2（t-i）=4-2t,B Q=t-,过点尸作尸产_LBC,B QF C则竺=sin 60=,即 PF=B P=2C 5.P3。的面积S=,30 尸尸=2-（一+3/-2）,为开I I向下的二次函数；故选：D.【名师点睛】本题考查动态问题的函数图象，根据运动状态写出函数解析式，利用二次函数的性质进行判 断是解题的关键.8.（2021内蒙古通辽市中考真题）如图，在矩形NBCQ中，48=4、B C=3,动点尸，。同时从点力 出发，点尸沿月一与一。的路径运动，点。沿N 一。一 C的路径运动，点尸，0的运动速度相同，当点P到 达点。时，点0也随之停止运动，连接。.设点尸的运动路程为X，PQ2为八则y关丁）的函数图象 大致是l）3 4 7 x3 4 7 x【答案】c【要点分析】分0WE3,3立4,4G（x-1）-；x（4-2x）D（2-x）=-x2+Gx,故 B 选项不正确;：.PQx-2,作/G_LC。r G,：.AG=ACinZACD=x2=yj3,2i 伺.*.y=-x（x-2）Dx/3=-x-V3 故 c 不正确.故选：A-G Q P CD【名师点睛】本题考查了菱形性质，等边三角形性质，二次函数、一次函数图象与性侦，利用三角函数解 三角形等知以，根据题意分类讨论列出函数解析式是解题关键.10.（2021厘龙江齐齐哈尔市中考直题）如图，抛物级的解析式为），=小,点4的坐标为（L1），连接。4：过4作44，分别交y轴、抛物线于点4、4：过耳作AA-L，分别交y轴、抛物线于点P?、4；过4作4区，用4,分别交y轴、抛物线丁点名、鸟：按照如此规律进行下去，则点月（为正整数）的坐标是【答案】（。，川+小【要点分析】根据待定系数法分别求出宜线44、B R、a2p3的解析式，即可求得4、尸2、尸3的坐标，得出规律，从而求得点尸的坐标.【答案详解】解：.点4的坐标为(L1),.直线。4的解析式为y=X,.4月_1.04、o 4=2,4(o,2),左+6 二 j后二1设46的解析式为y:区+“，.,1I,解得c，4=2 屹=2y x+2所以直线4月的解析式为y=X+2；解 2，求得用(-2,4),y-x:B PJ/O4,设4舄的解析式为 y=x+%,2+%=4,.d=6,.2(0,6),V=x+62求得4(3,9),设42的解析式为y=x+4，y=x3+4=9,.也=12，.月(0,12).?(),川+)，故答案为：(0,/+).【名师点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，根据一次函数图像上点的坐标特征得出规律是解题的关键.11.(2021广西来宾市中考真题)如图，已知点幺(3,0),5(1,0),两点。(3,9),。(2,4)在抛物线v=%2 上，向左或向右平移抛物线后，C,。的对应点分别为C,DM当四边形48CQ的周长最小时，抛物 线的解析式为.【要点分析】先通过平移和轴对称得到当6、石、。三点共线时，5。+跖的值最小，再通过设直线5U 的解析式并将三点坐标代入，当a w 4时，求出。的值，最后将四边形周长与。=4时的周长进行比较，确 定的最终取值，即可得到平移后的抛物线的解析式.【答案详解】解：N(3,0),5(1,0),C(-3,9),D(2,4),.,.48=3 1=2,CD=(-3-2)2+(9-4)2=572 由平移的性质可知：CD,=CD=5枝,，四边形 H5CD的周长为 48+8。+。+。4=2+5。+5&+。4；要使其周长最小，则应使的值最小；设抛物线平移了。个单位，当。0时，抛物线向右平移，当。0时，抛物线向左平移；,.0(3+a,9),0(2+a,4),将。响左平移2个单位得到。(24),则由平移的性质可知：B D=AD：将。”(a,4)关于“轴的对称点记为点E,则(。,-4),由轴对称性质可知，B D=B E,:.B C+DA=B C+B E,当5、E、。三点共线时，5。+5的值最小，/、(3+a)左+6=9设直线的解析式为：1y二区+”左w O,)7 k+b=O(6,4),A(3,0),5(1,0),此时四边形/CCTT的周长为:AB+S C+C,D,+D,A=2+(9-0)+52+(6-3)2+(4-0)2=16+52；L _ _ L 252+5&+J阮。(-4,5),OD=14?+5?=V41,OM+/O+1的最小值为两+1,即EM+MP+PB的最小值为向+1,5设线段的解析式为歹=玄，代入点。的坐标得：k=，/.线段 OD 的解析式为 y=.【名师点睛】本题主要考杳二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合、菱 形的性质及轴对称的性质是解题的关键.2.(2021湖北十堰市中考真题)已知抛物线 二办2+版5与x轴交于点N(-1,0)和8(-5,0),与y轴 交于点C,顶点为尸，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连ZN交抛物线于跖 连NC、CM.(1)求抛物线的解析式；(2)如图1,当l a n N/!CW=2时，求”点的横坐标；(3)如图2,过点尸作x轴的平行线/,过河作MD J U,于。，芾MD二6MN，求N点的坐标.【答案】(1)y=x 6x 5；(2)；(3)N(3,2【要点分析】(1)将点/(TO),和点5(-5,0)代入解析式，即可求解；(2)由t a n AACM=2想到将AACM放到直角三角形中，即过点A作AE1 AC交CM的延长线于点E,即可知:_=2,再由/OC=/E4C=90。想到过点石作厂l x轴，即可得到A4OCsAF。，故点 ACE的坐标可求，结合点C坐标可求直线CE解析式，点M是直线CE与抛物线交点，联立解析式即可求解;(3)过点用作1的垂线交于点。，故设点用的横坐标为相，则点用的纵坐标可表示，且的长度也可表示，由“M7/N0可得A的/s A40N即可结合两点间距禽公式表示出最后由必=J?M即可求解【答案详解】解：(1)将点力(-1,0)和点3(-5,0)代入y=收2+以-5得q 6 5=025q 5b 5=0解得:a=-b=-6：.y=-x2-6x-5(2)点N作交CAf的延长线于点E,过上作序l x轴于E,如下图1 x 轴，AE L AC NE FA=ZE AC=90 NFAE+Z.OAC=90/C 又/./L ACO+ZOAC=90/.ZE AF=A ACO AOC E FA-E 4AO CO E FFAE AC AO CO 1,/t a n/.ACM=2 UP-=2-=-=-=ACE A E F AF 2当x=0 时，y=一5.C(0,5即 二 5尸=2,ZF=10即石(11,2).设直线CK的解析式为y=米+8体w 0),并将。、石两点代入得1 k+b 27 U 解得Vb 二-57 3k-311 y-x 5b=-5 11,点、河是直线CE与抛物线交点,3 y-x 5 63 6311 解得王二-一户2=0(不合题意，舍去)二点河的横坐标为y=-x2-6x-5 11 11(3)设过点“垂直丁”的宜线交x轴丁点H 对称轴交x轴于点0,河的横坐标为加 b则 OH=-m AH=-1-w：y=-x2-6x-5 对称轴 x=-=-3J la尸、。、N的横坐标为3,即。=3./0二。0。4=2.当 x 二3 时，=-(-3)2-(-3)x 6-5=4/.P(-3,4)二.,点 D 的纵坐标为 4 MD=4-fw2-Gin-5 j=m2+6m+9=(m+3)4 H HM汨二谈即一二m1+6m+5 QN:.QN=2m lG/.N(3,2m+10).河2=（？3了+一切267 5 2加一10=3（加+3）?（加+5+1 v MD=x/3AV MD2=3AV?，即（加+3户=3（加+3）（?+5）+1,加+3=0,加=一3不符合题意，舍去，当加+3w O 时，/.2m2+24m+69=0,解得十二一12上面,2【名师点睛】本题考察二次函数的综合运用、相似三角形、锐角三角函数的运用、交点坐标的求法和两点 间的距离公式，属于综合运用题，难度偏大.解题的关键是由锐角二角函数做出辅助线和设坐标的方程思 想.,3.(2021湖北黄冈市中考真题)已知抛物线;二双2+以3与X轴相交于/(1,0,3(3,0)两点，与y(1)求抛物线的解析式；(2)如图1,若 3,过点N作x轴的垂线交抛物线于点尸，交直线5C于点G.过点P作PDL B C于一点、D,当为何值时，口尸。Gg DBNG；(3)如图2,将直线5。绕点3顺时针旋转,3使它恰好经过线段。的中点，然后将它向上平移一个单位长度，得到直线。4.t a n/8OA=；2当点N关于直线OBX的对称点乂落在抛物线上时，求点N的坐标.【答案】y=x2-2x-3；(2)=行；(3)3；(25+10河,0)或(25 ：旧，0).【要点分析】(1)根据点43的坐标，利用待定系数法即可得；(2)先根据抛物线的解析式可得点C,P的坐标，再利用待定系数法可得直线3。的解析式，从而可得点G 的坐标，然后分别求出尸G,3G的长，最后根据全等三角形的性质可得PG=6G,由此建立方程求解即可 得；(3)先利用待定系数法求出直线8。的解析式，再根据平移的性质可得直线O4的解析式，从而可得 点的坐标，然后根据正切三角函数的定义即可得；先求出直线NN】的解析式，再与直线。片的解析式联立求出它们的交点坐标，从而可得点乂的坐标，然 后代入抛物线的解析式求解即可得.a b 3=0【答案详解】解：(1)将点8(3,0)代入歹二江+云_3得：L 仆八，9a+3b-3=0解得 C，则抛物线的解析式为2%3；b=-2(2)由题意得：点尸的坐标为3),对于二次函数2%3,当x=0时，歹=一3,即。(0,3),设直线6。的解析式为y=kx+c,3k c 0 k 将点8(3,0),。(0,-3)代入得：一，解得 一 c=-3 1c=-3则直线的解析式为歹=x 3,.GS,”3),.二 PG=一3(/2 3)=/+3，B G=3)2+(/?3)2=(3.口PZ)G=JB NGay PG=B G,即n2+3Tl=(3 /?)V2,解得=/或拉=3(与3不符，舍去)，故当=正时一，UPDG=nB NG；(3)如图，设线段。的中点为点。，过点6作x轴的垂线，交直线。用于点,则点。的坐标为。（0,；）,点石的横坐标为3,设直线的解析式为y=E0 x+Co,将点5（3,0）,。（0,_上）代入得：23ko%。3，解得”5k0=-231 3 1则直线3。的解析式为歹=由平移的性质得：直线的解析式为二;x,3 3 3 B F 1 当 =3 时，y=二，即（3,），：.OB=3,B E=-,ta n AB OB,=二一，故答案为：-2 2 2 OB 2 2由题意得：NNJOB ,则设直线的解析式为y=2x+C,将点N（.O）代入得：一2+q=0,解得cx-2H，则直线NN、的解析式为y=-2x+2n,y=-lx+2n1 y=x24 x=n52 y=n5联立，解得4 2即直线MM与宜线。片的交点坐标为（1,一）,s+n设点乂的坐标为乂（s,，则4=n5，+0 2-=n2 53s=n5、，/3 4、4，即N（g，二），t=-n52，解得3 4 3 3 4将点 N（y）代入y 2x 3 得：（不）2,x n 3=n,整理得：9/50-75=0，解得=25+l 0VH 或“=25 10而99则点N的坐标为（25+：屈,0）或（25-10713,0）【名师点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合、全等,角形的性质、正切三角函数等知以点，熟练 掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键.1 9 34.（2021四川泸州市中考真题）如图，在平面直角坐标系x Qy中，抛物线歹=一%+%+4与两坐标 分别相交于/,B,。三点(1)求证：ZACB=90(2)点Q是第一象限内该抛物线上的动点，过点。作x 轴的垂线交BC于点E,交x轴于点尸.求。石+5厂的最大值；点G是NC的中点，若以点C,D,E为 顶点的三角形与U月。G相似，求点。的坐标.【要点分析】(1)分别计算/,B,C三点的坐标，再利用勾股定理求得N反B C、/C的长，最后利用勾股定理逆定理解题；(2)先解出直线3C的解析式，设。(,Y+%+4),接着解出4 21,B F=8 x,DE=-f+2x,利用二次函数的配方法求最值；根据直角三角形斜边的中线性质，解 4NG的长，再证明NC4O=NOEC,再分两种情况讨论以点C,D,为顶点的三角形与U NOG相似，结 合相似三角形对应边成比例性质解题即可.【答案详解】解：(1)令k0,得y=4.C(0,4)i 3令歹二 得x2 4x+4=0 x2-6x-16=0(x-8)(x+2)=0.t 4(2,0),5(8,0)4 2AB=10,AC=J(0+2)2+(4-0)2=245,B C=7(8-0)2+(0-4)2=475-V102=(26了+(4右A；AB2=AC2+B C2.ZA