资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A．化为 B．化为
C．化为 D．化为
3．与相似，且面积比，则与的相似比为（ ）
A． B． C． D．
4．在中，是边上的点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．关于抛物线y＝x2+6x﹣8，下列选项结论正确的是（ ）
A．开口向下 B．抛物线过点(0，8)
C．抛物线与x轴有两个交点 D．对称轴是直线x＝3
6．如图，已知在△ABC中，DE∥BC，，DE＝2，则BC的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，将沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心.如果半径为4，那么的弦长度为
A． B． C． D．
8．若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
9．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是 （ ）
A．开口向下 B．对称轴是x=﹣1 C．与x轴有两个交点 D．顶点坐标是（1，2）
10．已知矩形ABCD，下列结论错误的是（ ）
A．AB＝DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．∠A+∠C＝180°
11．一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同，搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．一个不透明的袋子中有3个白球，4个黄球和5个红球，这些球除颜色不同外，其他完全相同．从袋子中随机摸出一个球，则它是黄球的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，内接于， 则的半径为__________．
14．如图，已知点A是双曲线y＝在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰直角△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝（k＜0）上运动，则k的值是_____．
15．抛物线的对称轴为__________．
16．已知关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋4x＋m2＋m＝0的一个根为0，则m的值是_________．
17．圆的半径为1，AB是圆中的一条弦，AB=，则弦AB所对的圆周角的度数为____．
18．已知：如图，在平行四边形中，对角线、相较于点，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件________________（只添加一个即可），使平行四边形成为矩形．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，AB是的弦，D为半径OA上的一点，过D作交弦AB于点E，交于点F，且求证：BC是的切线．
20．（8分）（1）；
（2）已知一个几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积．
21．（8分）如图，双曲线（）与直线交于点和，连接和．
（1）求双曲线和直线的函数关系式．
（2）观察图像直接写出：当时，的取值范围．
（3）求的面积．
22．（10分）一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：
售价x（元/千克）
…
50
60
70
80
…
销售量y（千克）
…
100
90
80
70
…
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？
23．（10分）如图，是△ABC的外接圆，AB是的直径，CD是△ABC的高．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）若AD=2，CD=4，求BD的长．
24．（10分）综合与探究：
如图所示，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点．
（1）求，的值及反比例函数的函数表达式；
（2）若点在线段上，且，请求出此时点的坐标；
（3）小颖在探索中发现：在轴正半轴上存在点，使得是以为顶角的等腰三角形.请你直接写出点的坐标.
25．（12分）装潢公司要给边长为6米的正方形墙面ABCD进行装潢，设计图案如图所示（四周是四个全等的矩形，用材料甲进行装潢；中心区是正方形MNPQ，用材料乙进行装潢）．
两种装潢材料的成本如下表：
材料
甲
乙
价格（元/米2）
50
40
设矩形的较短边AH的长为x米，装潢材料的总费用为y元．
（1）MQ的长为 米（用含x的代数式表示）；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）当中心区的边长不小于2米时，预备资金1760元购买材料一定够用吗？请说明理由．
26．如图，是的角平分线，延长至点使得．求证：．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】根据中心对称图形的定义：旋转180度之后与自身重合称为中心对称，轴对称是折叠后能够与自身完全重合称为轴对称，根据定义去解题.
【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
D、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．
【点睛】
本题考查的是中心对称图形和轴对称图形的定义.
2、C
【分析】根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方分别进行配方，即可求出答案．
【详解】A、由原方程，得，
等式的两边同时加上一次项系数2的一半的平方1，得；
故本选项正确；
B、由原方程，得，
等式的两边同时加上一次项系数−7的一半的平方，得，，
故本选项正确；
C、由原方程，得，
等式的两边同时加上一次项系数8的一半的平方16，得（x＋4）2＝7；
故本选项错误；
D、由原方程，得3x2−4x＝2，
化二次项系数为1，得x2−x＝
等式的两边同时加上一次项系数−的一半的平方，得；
故本选项正确．
故选：C．
【点睛】
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
3、B
【分析】根据面积比为相似比的平方即可得出答案．
【详解】与相似，且面积比
与的相似比为
与的相似比为
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，比较简单，熟练掌握性质定理是解题的关键．
4、C
【分析】先利用比例性质得到AD：AB=3：4，再证明△ADE∽△ABC，然后利用相似比可计算出AC的长．
【详解】解：解：∵AD=9，BD=3，
∴AD：AB=9：12=3：4，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=，
∵AE=6，
∴AC=8，
故选C.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．
5、C
【分析】根据△的符号，可判断图像与x轴的交点情况，根据二次项系数可判断开口方向，令函数式中x＝0，可求图像与y轴的交点坐标，利用配方法可求图像的顶点坐标．
【详解】解：A、抛物线y＝x2+6x﹣8中a＝1＞0，则抛物线开口方向向上，故本选项不符合题意．
B、x＝0时，y＝﹣8，抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣8），故本选项不符合题意．
C、△＝62﹣4×1×(-8)＞0，抛物线与x轴有两个交点，本选项符合题意．
D、抛物线y＝x2+6x﹣8＝（x+3）2﹣17，则该抛物线的对称轴是直线x＝﹣3，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的开口，与y轴x轴的交点，对称轴等基本性质，掌握二次函数的基本性质是解题的关键.
6、D
【分析】由DE∥BC可证△ADE∽△ABC,得到，即可求BC的长．
【详解】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵,DE=2，
∴BC＝1．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质,解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定和性质.
7、D
【分析】如果过O作OC⊥AB于D，交折叠前的AB弧于C，根据折叠后劣弧恰好经过圆心O，根据垂径定理及勾股定理即可求出AD的长，进而求出AB的长．
【详解】解：如图，过O作OC⊥AB于D，交折叠前的AB弧于C，
根据折叠后劣弧恰好经过圆心O，那么可得出的是OD=CD=2，
直角三角形OAD中，OA=4，OD=2，
∴AD=
∴AB=2AD= ,
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂径定理和勾股定理的综合运用，利用好条件：劣弧折叠后恰好经过圆心O是解题的关键．
8、B
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式列出不等式求解即可．
【详解】由题意得：
解得：且
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式是解题关键．对于一般形式有：（1）当时，方程有两个不相等的实数根；（2）当时，方程有两个相等的实数根；（3）当时，方程没有实数根．
9、D
【解析】试题解析：二次函数y=（x-1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．
故选D．
10、C
【分析】由矩形的性质得出AB＝DC，AC＝BD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，则∠A+∠C＝180°，只有AB＝BC时，AC⊥BD，即可得出结果．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，AC＝BD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴∠A+∠C＝180°，
只有AB＝BC时，AC⊥BD，
∴A、B、D不符合题意，只有C符合题意，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了矩形的性质的运用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
11、A
【分析】根据概率公式解答即可.
【详解】袋子里装有2个红球、3个黄球和5个白球共10个球，从中摸出一个球是白球的概率为：．
故选A.
【点睛】
本题考查了随机事件概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
12、B
【分析】利用概率公式直接计算即可.
【详解】解：根据题意可得：袋子中有有3个白球，4个黄球和5个红球，共12个，
从袋子中随机摸出一个球，它是黄色球的概率．
故选B．
【点睛】
本题考查概率的计算，掌握公式正确计算是本题的解题关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、2
【分析】连接OA、OB，求出∠AOB=得到△ABC是等边三角形，即可得到半径OA=AB=2.
【详解】连接OA、OB，
∵，
∴∠AOB=，
∵OA=OB，
∴△ABC是等边三角形，
∴OA=AB=2，
故答案为：2.
【点睛】
此题考查圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.
14、-1．
【分析】连结OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，设A点坐标为（a，），利用反比例函数的性质得到点A与点B关于原点对称，则OA＝OB，再根据等腰直角三角形的性质得OC＝OA，OC⊥OA，然后利用等角的余角相等可得到∠DCO＝∠AOE，则根据“AAS”可判断△COD≌△OAE，所以OD＝AE＝，CD＝OE＝a，于是C点坐标为（，﹣a），最后根据反比例函数图象上点的坐标特征确定C点所在的函数图象解析式．
【详解】解：连结OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，
设A点坐标为（a，），
∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y＝的交点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴OA＝OB
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴OC＝OA，OC⊥OA，
∴∠DOC+∠AOE＝90°，
∵∠DOC+∠DCO＝90°，
∴∠DCO＝∠AOE，
在△COD和△OAE中，
，
∴△COD≌△OAE，
∴OD＝AE，CD＝OE，
∴点C的坐标为（，﹣a），
×（﹣a）＝﹣1，
∴k＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】
本题是一道综合性较强的题目，用到的知识点有，反比例函数的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等，充分考查了学生综合分析问题的能力.此类题目往往需要借助辅助线，使题目更容易理解.
15、
【分析】根据抛物线的解析式利用二次函数的性质，即可找出抛物线的对称轴，此题得解．
【详解】解：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线x=
故答案为：.
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确抛物线的对称轴是直线x= ．
16、1
【解析】先把x=1代入方程得到m2+m=1，然后解关于m的方程，再利用一元二次方程的定义确定满足条件的m的值．
【详解】把x=1代入方程（m+1）x2+4x+m2+m=1得m2+m=1，解得m1=1，m2=-1，
而m+1≠1，
所以m=1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
17、60°或120°
【解析】试题解析：如图，作OH⊥AB于H，连接OA、OB，∠C和∠C′为AB所对的圆周角，
∵OH⊥AB，
∴AH=BH=AB=，
在Rt△OAH中，∵cos∠OAH=，
∴∠OAH=30°，
∴∠AOB=180°-60°=120°，
∴∠C=∠AOB=60°，
∴∠C′=180°-∠C=120°，
即弦AB所对的圆周角为60°或120°．
点睛：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
18、或（等，答案不唯一）
【分析】矩形是特殊的平行四边形，矩形有而平行四边形不具有的性质是：矩形的对角线相等，矩形的四个内角是直角；可针对这些特点来添加条件．
【详解】解：若使▱ABCD变为矩形，可添加的条件是：
AC＝BD；（对角线相等的平行四边形是矩形）
∠ABC＝90°等．（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
故答案为：AC＝BD或（∠ABC＝90°等）
【点睛】
此题主要考查的是矩形的判定方法，熟练掌握矩形和平行四边形的联系和区别是解答此题的关键．
三、解答题（共78分）
19、见解析
【解析】试题分析：连接OB，要证明BC是⊙O的切线，即要证明OB⊥BC，即要证明∠OBA+∠EBC=90°，由OA=OB，CE=CB可得：∠OBA=∠OAB，∠CBE=∠CEB，所以即要证明∠OAB+∠CEB=90°，又因为∠CEB=∠AED，所以即要证明∠OAB+∠AED=90°，由CD⊥OA不难证明.
试题解析：
证明：连接OB，
∵OB=OA，CE=CB，
∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC，
又∵CD⊥OA，
∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°，
∴∠OBA+∠ABC=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线.
点睛：本题主要掌握圆的切线的证明方法，一般我们将圆心与切点连接起来，证明半径与切线的夹角为90°.
20、（1）； （2）几何体的体积是1.
【分析】（1）化简各项的三角函数，再把各项相加；
（2）原几何体是正方体截掉一个底面边长为1，高为4的长方体，由此可求几何体的体积．
【详解】（1）原式=
=
=
（2）由三视图知，原几何体是正方体截掉一个底面边长为1，高为4的长方体．
∴=1
∴几何体的体积是1．
【点睛】
本题考查了三角函数的混合运算以及几何体的体积问题，掌握特殊三角函数的值以及几何体的体积计算方法是解题的关键．
21、（1），；（2）或；（3）
【分析】（1）把点A坐标代入可求出双曲线的关系式，进而可得点B坐标，再利用待定系数法即可求出直线的解析式；
（2）找出图象上双曲线比直线高的部分对应的x的取值范围即可；
（3）过点作轴平行线交轴于点，过点作轴平行线交轴于点，所作两直线相交于，如图，利用代入数据计算即可．
【详解】解（1）∵点在双曲线上上，
∴，
∴，
∵点也在双曲线，
∴，
∵点和点在直线上，
∴，解得：，
∴直线关系式为；
（2）当时，的取值范围是：或；
（3）过点作轴平行线，交轴于点，过点作轴平行线，交轴于点，所作
两直线相交于，如图，则点E（4，4），
∴．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、函数图象上点的坐标特征和三角形的面积等知识，属于常考题型，熟练掌握一次函数与反比例函数的基本知识是解题的关键．
22、（1）y＝﹣x+150（0＜x≤90）；（2）70
【分析】（1）根据图表中的各数可得出y与x成一次函数关系，从而结合图表的数可得出y与x的关系式．
（2）根据想获得4000元的利润，列出方程求解即可．
【详解】（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），根据题意得
，解得．
故y与x的函数关系式为y＝﹣x+150（0＜x≤90）；
（2）根据题意得
（﹣x+150）（x﹣20）＝4000，
解得x1＝70，x2＝100＞90（不合题意，舍去）．
答：该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，一次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，利用待定系数法求出一次函数的解析式与列出方程．
23、（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）由垂直的定义，得到，由同角的余角相等，得到，即可得到结论成立；
（2）由（1）可知，得到，即可求出BD.
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵,,
∴．
（2）解：由（1）得，
∴，
即，
∴．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题.
24、（1），，；（2）点的坐标为；（3）
【分析】（1）利用点在直线上，将点的坐标代入直线解析式中求解即可求出a，b，最后用待定系数法求出反比例函数解析式；
（2）设点，用三角形的面积公式得到求解即可得出结论；
（3）设出点M坐标，表示出MA2=（m-1）2+9，AB2=32，根据等腰三角形的性质建立方程求解即可得出结论．
【详解】解：（1）∵直线与反比例函数的图象交与，两点
∴，.
∴，.
∴，.
∵点在反比例函数上，
∴.
∴反比例函数的函数表达式为.
（2）设点，
∵，∴.
∴.
∵，∴.
∴，
∵
∴.
解得：，
∴.
∴点的坐标为.
（3）设出点M坐标为（m,0），
∴MA2=（m-1）2+9，AB2=（1+3）2+（3+1）2=32，
∵是以为顶角的等腰三角形
∴AM=AB,
故（m-1）2+9=32
解得m=或m=（舍去）
∴
【点睛】
此题主要考查反比例函数与一次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法求解析式、三角形的面积公式及等腰三角形的性质.
25、（1）（6﹣1x）；（1）y＝﹣40x1+140x+2；（3）预备资金4元购买材料一定够用，理由见解析
【分析】（1）根据大正方形的边长减去两个小长方形的宽即可求解；
（1）根据总费用等于两种材料的费用之和即可求解；
（3）利用二次函数的性质和最值解答即可．
【详解】解：（1）∵AH=GQ=x，AD=6，
∴MQ=6-1x；
故答案为：6-1x；
（1）根据题意，得AH＝x，AE＝6﹣x， S甲＝4S长方形AENH＝4x（6﹣x）＝14x﹣4x1，
S乙＝S正方形MNQP＝（6﹣1x）1＝36﹣14x+4x1．
∴ y＝50（14x﹣4x1）+40（36﹣14x+4x1）＝﹣40x1+140x+2．
答：y关于x的函数解析式为y＝﹣40x1+140x+2．
（3）预备资金4元购买材料一定够用．理由如下：
∵y＝﹣40x1+140x+2＝﹣40（x－3）1+1800，
由﹣40＜0，可知抛物线开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大．
由x－3=0可知，抛物线的对称轴为直线x=3．
∴ 当x＜3时，y随x的增大而增大．
∵ 中心区的边长不小于1米，即6﹣1x≥1，解得x≤1，又x＞0，∴0＜x≤1．
当x=1时，y＝﹣40（x－3）1+1800=﹣40（1－3）1+1800=4，
∴ 当0＜x≤1时，y≤4．
∴ 预备资金4元购买材料一定够用．
答：预备资金4元购买材料一定够用．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用以及配方法求最值和正方形的性质等知识，正确得出各部分的边长是解题关键．
26、证明见解析．
【分析】先根据角平分线的定义可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定即可得证．
【详解】是的角平分线
又
．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
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