资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．方程 x2＝4的解是（ ）
A．x1＝x2＝2 B．x1＝x2＝－2 C．x1＝2，x2＝－2 D．x1＝4，x2＝－4
3．如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．一颗质地硬币已连续抛掷了5次，其中抛掷出正面的次数为1次，则第6次一定抛掷出为正面
B．某种彩票中奖的概率是2%，因此买100张该种彩票一定会中奖
C．天气预报说2020年元旦节紫云下雨的概率是50%，所以紫云2020年元旦节这天将有一半时间在下雨
D．某口袋中有红球3个，每次摸出一个球是红球的概率为100%
5．某中学篮球队12名队员的年龄情况如下：
年龄(单位：岁)
14
15
16
17
18
人数
1
5
3
2
1
则这个队队员年龄的众数和中位数分别是( )
A．15，16 B．15，15 C．15，15.5 D．16，15
6．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．已知∠A=30°，则∠C的大小是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．40°
7．如图，⊙中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，⊙O的弦AB⊥OC，且OD＝2DC，AB＝，则⊙O的半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．9
9．下列图形中是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是( )
A． B．3 C． D．2
11．如图，已知等边的边长为，以为直径的圆交于点，以为圆心，为半径作圆，是上一动点，是的中点，当最大时，的长为（ ）
A． B． C． D．
12．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，是的直径，弦则阴影部分图形的面积为_________．
14．使代数式有意义的实数x的取值范围为_____．
15．关于x的一元二次方程x2+mx+3=0的一个根是2，则m的值为________.
16．如图，在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，则△AEF与△ABC的面积之比为 ．
17．如图，在△ABC中，∠BAC=35°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转50°，得到△AB′C′，则∠B′AC的度数是 ．
18．如图，在⊙O中，分别将弧AB、弧CD沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，若⊙O的半径为4，则四边形ABCD的面积是__________________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，以为边在轴上方作正方形，点是轴上一动点，连接，过点作的垂线与轴交于点．
（1）求该抛物线的函数关系表达式；
（2）当点在线段（点不与重合）上运动至何处时，线段的长有最大值？并求出这个最大值；
（3）在第四象限的抛物线上任取一点，连接．请问：的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（8分）解答下列各题：
（1）计算：2cos31°﹣tan45°﹣；
（2）解方程：x2﹣11x+9＝1．
21．（8分）若一条圆弧所在圆半径为9，弧长为，求这条弧所对的圆心角．
22．（10分）如图，在中，， 垂足为平分，交于点，交于点.
(1)若，求的长；
(2)过点作的垂线，垂足为，连接，试判断四边形的形状，并说明原因.
23．（10分）某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温为20℃，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题：
（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的关系式；
（2）求出图中a的值；
（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想再8：10上课前能喝到不超过40℃的开水，问他需要在什么时间段内接水．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x+5与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于点C．
(1)求直线AC解析式；
(2)过点A作AD平行于x轴，交抛物线于点D，点F为抛物线上的一点(点F在AD上方)，作EF平行于y轴交AC于点E，当四边形AFDE的面积最大时？求点F的坐标，并求出最大面积；
(3)若动点P先从(2)中的点F出发沿适当的路径运动到抛物线对称轴上点M处，再沿垂直于y轴的方向运动到y轴上的点N处，然后沿适当的路径运动到点C停止，当动点P的运动路径最短时，求点N的坐标，并求最短路径长.
25．（12分）（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA=3，OB=4，OC=5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：
①旋转角的度数 ；线段OD的长为 ．
②求∠BDC的度数；
（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC=90°？请给出证明．
26．如图直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点，过作轴，交抛物线于点，连结．点为抛物线上上方的一个点，连结，作垂足为，交于点．
（1）求的长；
（2）当时，求点的坐标；
（3）当面积是四边形面积的2倍时，求点的坐标．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】首先列表，然后根据表格求得所有等可能的结果与两个骰子的点数相同的情况，再根据概率公式求解即可．
【详解】列表得：
（1，6）
（2，6）
（3，6）
（4，6）
（5，6）
（6，6）
（1，5）
（2，5）
（3，5）
（4，5）
（5，5）
（6，5）
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
（5，4）
（6，4）
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
（5，3）
（6，3）
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
（5，2）
（6，2）
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
（5，1）
（6，1）
∴一共有36种等可能的结果，两个骰子的点数相同的有6种情况，
∴两个骰子的点数相同的概率为：
故选：C
【点睛】
此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比
2、C
【解析】两边开方得到x=±1．
【详解】解：∵x1=4，
∴x=±1，
∴x1=1，x1=-1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如ax1+c=0（a≠0）的方程可变形为，当a、c异号时，可利用直接开平方法求解．
3、D
【分析】根据第三个图形是三角形的特点及折叠的性质即可判断.
【详解】∵第三个图形是三角形，
∴将第三个图形展开，可得，即可排除答案A，
∵再展开可知两个短边正对着，
∴选择答案D，排除B与C．
故选D．
【点晴】
此题主要考查矩形的折叠，解题的关键是熟知折叠的特点.
4、D
【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生．
【详解】解：A、一颗质地硬币已连续抛掷了5次，其中抛掷出正面的次数为1次，则第6次一定抛掷出为正面，是随机事件，错误；
B、某种彩票中奖的概率是2%，因此买100张该种彩票不一定会中奖，错误；
C、下雨的概率是50%，是说明天下雨的可能性是50%，而不是明天将有一半时间在下雨，错误；
D、正确．
故选：D．
【点睛】
正确理解概率的含义是解决本题的关键．注意随机事件的条件不同，发生的可能性也不等．
5、C
【分析】由题意直接根据众数和中位数的定义求解可得．
【详解】解：∵这组数据中15出现5次，次数最多，
∴众数为15岁，
中位数是第6、7个数据的平均数，
∴中位数为=15.5岁，
故选：C．
【点睛】
本题考查众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．
6、A
【解析】根据切线的性质由AB与⊙O相切得到OB⊥AB，则∠ABO=90°，利用∠A=30°得到∠AOB=60°，再根据三角形外角性质得∠AOB=∠C+∠OBC，由于∠C=∠OBC，所以∠C=∠AOB=30°．
【详解】解：连结OB，如图，
∵AB与⊙O相切，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，
∵∠A=30°，
∴∠AOB=60°，
∵∠AOB=∠C+∠OBC，
而∠C=∠OBC，
∴∠C=∠AOB=30°．
故选A．
【点睛】
此题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；以及圆周角定理：等弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半．
7、C
【分析】直接根据圆周角定理解答即可．
【详解】解：∵∠ABC与∠AOC是一条弧所对的圆周角与圆心角，∠ABC=45°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×45°=90°．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
8、C
【分析】根据垂径定理可得AD=AB，由OD＝2DC可得OD=OC=OA，利用勾股定理列方程求出OA的长即可得答案.
【详解】∵⊙O的弦AB⊥OC，AB=，
∴AD=AB=，
∵OD＝2DC，OA=OC，OC=OD+DC，
∴OD=OC=OA，
∴OA2=(OA)2+()2，
解得：OA=3，（负值舍去），
故选：C.
【点睛】
本题主要考查垂径定理及勾股定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；熟练掌握垂径定理是解题关键.
9、A
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的性质对各项进行判断即可．
【详解】根据中心对称图形和轴对称图形的性质，只有下图符合
故答案为：A．
【点睛】
本题考查了中心对称图形和轴对称图形，掌握中心对称图形和轴对称图形的定义和性质是解题的关键．
10、D
【分析】先求出AC，再根据正切的定义求解即可.
【详解】设BC=x，则AB=3x，
由勾股定理得，AC=，
tanB===，
故选D．
考点：1．锐角三角函数的定义；2．勾股定理．
11、B
【分析】点E在以F为圆心的圆上运动，要使AE最大，则 AE过F,根据等腰三角形的性质和圆周角定理证得F是BC的中点，从而得到EF为△BCD的中位线，根据平行线的性质证得 ,根据勾股定理即可求得结论．
【详解】点D在C上运动时，点E在以F为圆心的圆上运动，要使AE最大，则AE过F,连接CD,
∵△ABC是等边三角形，AB是直径，
∴ ,
∴F是BC的中点，
∴E为BD的中点，
∴EF为△BCD的中位线，
∴ ,
∴ ,
， ，
故 ，
故选B．
【点睛】
本题考查了圆的动点问题，掌握等腰三角形的性质、圆周角定理、中位线定理、平行线的性质和勾股定理是解题的关键．
12、C
【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可.
【详解】由题意得：x-1≥0，
解得：x≥1，
故选C.
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数为非负数是解题的关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】根据垂径定理求得CE=ED=；然后由圆周角定理知∠COE=60°．然后通过解直角三角形求得线段OC，求出扇形COB面积，即可得出答案．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=2，
∴CE=CD=，∠CEO=90°，
∵∠CDB=30°，
∴∠COB=2∠CDB=60°，
∴OC==2，
∴阴影部分的面积S=S扇形COB=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了垂径定理、解直角三角形，圆周角定理，扇形面积的计算等知识点，能知道阴影部分的面积=扇形COB的面积是解此题的关键．
14、
【分析】根据二次根式有意义的条件得出即可求解.
【详解】若代数式有意义，
则，
解得：，
即实数x的取值范围为.
故填：
【点睛】
本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义即根号内的式子要大于等于零是关键.
15、-
【分析】把x=2代入原方程可得关于m的方程，解方程即可求出m的值．
【详解】解：当x=2时，，解得：m=﹣．
故答案为：﹣．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义，属于基础题型，熟知一元二次方程解的概念是关键．
16、3:3．
【解析】试题解析：∵E、F分别为AB、AC的中点，
∴EF=BC，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴．
考点：3．相似三角形的判定与性质；3．三角形中位线定理．．
17、15°
【分析】先根据旋转的性质，求得∠BAB'的度数，再根据∠BAC=35°，求得∠B′AC的度数即可．
【详解】∵将绕点顺时针方向旋转50°得到，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：15°．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
18、
【分析】作OH⊥AB，延长OH交于E，反向延长OH交CD于G，交于F，连接OA、OB、OC、OD，根据折叠的对称性及三角形全等，证明AB=CD，又因AB∥CD，所以四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形面积公式即可得解．
【详解】如图，作OH⊥AB，垂足为H，延长OH交于E，反向延长OH交CD于G，交于F，连接OA、OB、OC、OD，则OA=OB=OC=OD=OE=OF=4，
∵弧AB、弧CD沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，
∴OH=HE=，OG=GF=，即OH=OG，
又∵OB=OD，
∴Rt△OHB≌Rt△OGD，
∴HB=GD，
同理，可得AH=CG= HB=GD
∴AB=CD
又∵AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形，
在Rt△OHA中，由勾股定理得：
AH=
∴AB=
∴四边形ABCD的面积=AB×GH=．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查圆中折叠的对称性及平行四边形的证明，关键是作辅助线，本题也可通过边、角关系证出四边形ABCD是矩形．
三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）时，线段有最大值．最大值是；（3）时，的面积有最大值，最大值是，此时点的坐标为．
【分析】（1）将点的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）设，则，由得出比例线段，可表示的长，利用二次函数的性质可求出线段的最大值；
（3）过点作轴交于点，由即可求解．
【详解】解：（1））∵抛物线经过，，
把两点坐标代入上式，，
解得：，
故抛物线函数关系表达式为；
（2）∵，点，
∴，
∵正方形中，，
∴，
，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴时，线段长有最大值，最大值为．
即时，线段有最大值．最大值是．
（3）存在．
如图，过点作轴交于点，
∵抛物线的解析式为，
∴，
∴点坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴时，的面积有最大值，最大值是，此时点的坐标为．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用相似比表示线段之间的关系．利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．
20、（1）1；（2）x1=1，x2=2．
【分析】（1）利用特殊角的三角函数值得到原式=2×﹣1﹣（﹣1），然后进行二次根式的混合运算；
（2）利用因式分解法解方程．
【详解】（1）原式=2×﹣1﹣（﹣1）
=﹣1﹣+1
=1；
（2）（x﹣1）（x﹣2）=1，
x﹣1=1或x﹣2=1，
∴方程的解为x1=1，x2=2．
【点睛】
此题主要考查锐角三角函数相关计算以及一元二次方程的求解，熟练掌握，即可解题.
21、
【分析】根据弧长公式计算即可.
【详解】∵， ，
∴，
∴
【点睛】
此题考查弧长公式，熟记公式并掌握各字母的意义即可正确解答.
22、（1）CE＝2；（2）菱形，理由见解析.
【分析】（1）根据题意易求得∠ACD＝∠CAF＝∠BAF＝30°，可得AE=CE，然后利用30°角的三角函数可求得CD的长、DE与AE的关系，进一步可得CE与CD的关系，进而可得结果；
（2）根据角平分线的性质可得CF＝GF，根据HL可证Rt△ACF≌Rt△AGF，从而得∠AFC＝∠AFG，由平行线的性质和等量代换可得∠CEF＝∠CFE，可得CE＝CF，进而得CE＝FG，根据一组对边平行且相等可得四边形CEGF是平行四边形，进一步即得结论．
【详解】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，
∵CD⊥AB，∴∠ACD＝30°，∵AC＝6，∴，
∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠BAF＝30°，
∴∠ACD＝∠CAF，，∴CE＝AE＝2DE，∴CE＝2；
（2）四边形CEGF是菱形．
证明：∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB，
∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝GF，
在Rt△ACF与Rt△AGF中，∵AF=AF，CF=GF，
∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），∴∠AFC＝∠AFG，
∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴CD∥FG，
∴∠CEF＝∠EFG，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，
∴CE＝FG，∵CE∥FG，
∴四边形CEGF是平行四边形，
∵CE＝CF，∴平行四边形CEGF是菱形．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质、角平分线的性质、锐角三角函数、菱形的判定和直角三角形全等的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
23、（1）当0≤x≤8时，y=10x+20；当8＜x≤a时，y=；（2）40；（3）要在7：50～8：10时间段内接水．
【分析】（1）当0≤x≤8时，设y＝k1x＋b，将(0，20)，(8，100)的坐标分别代入y＝k1x＋b，即可求得k1、b的值，从而得一次函数的解析式；当8＜x≤a时，设y＝，将(8，100)的坐标代入y＝，求得k2的值，即可得反比例函数的解析式；（2）把y＝20代入反比例函数的解析式，即可求得a值；（3）把y＝40代入反比例函数的解析式，求得对应x的值，根据想喝到不低于40 ℃的开水，结合函数图象求得x的取值范围，从而求得李老师接水的时间范围．
【详解】解： (1)当0≤x≤8时，设y＝k1x＋b，
将(0，20)，(8，100)的坐标分别代入y＝k1x＋b，可求得k1＝10，b＝20
∴当0≤x≤8时，y＝10x＋20.
当8＜x≤a时，设y＝，
将(8，100)的坐标代入y＝，
得k2＝800
∴当8<x≤a时，y＝.
综上，当0≤x≤8时，y＝10x＋20；
当8＜x≤a时，y＝
(2)将y＝20代入y＝，
解得x＝40，即a＝40.
(3)当y＝40时，x＝＝20
∴要想喝到不低于40 ℃的开水，x需满足8≤x≤20，即李老师要在7：38到7：50之间接水．
【点睛】
本题主要考查了一次函数及反比例函数的应用题，是一个分段函数问题，分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
24、 (1)y＝﹣x+5；(2)点F(，)；四边形AFDE的面积的最大值为；(3)点N(0，)，点P的运动路径最短距离＝2+.
【分析】(1)先求出点A，点C坐标，用待定系数法可求解析式；
(2)先求出点D坐标，设点F(x，﹣x2+4x+5)，则点E坐标为(x，﹣x+5)，即可求EF＝﹣x2+5x，可求四边形AFDE的面积，由二次函数的性质可求解；
(3)由动点P的运动路径＝FM+MN+NC＝GM+2+MH，则当点G，点M，点H三点共线时，动点P的运动路径最小，由两点距离公式可求解.
【详解】解：(1)∵抛物线y＝﹣x2+4x+5与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于点C.
∴当x＝0时，y＝5，则点A(0，5)
当y＝0时，0＝﹣x2+4x+5，
∴x1＝5，x2＝﹣1，
∴点B(﹣1，0)，点 C(5，0)
设直线AC解析式为：y＝kx+b，
∴
解得：
∴直线AC解析式为：y＝﹣x+5，
(2)∵过点A作AD平行于x轴，
∴点D纵坐标为5，
∴5＝﹣x2+4x+5，
∴x1＝0，x2＝4，
∴点D(4，5)，
∴AD＝4
设点F(x，﹣x2+4x+5)，则点E坐标为(x，﹣x+5)
∴EF＝﹣x2+4x+5﹣(﹣x+5)＝﹣x2+5x，
∵四边形AFDE的面积＝AD×EF＝2EF＝﹣2x2+10x＝﹣2(x﹣)2+
∴当x＝时，四边形AFDE的面积的最大值为，
∴点F(，)；
(3)∵抛物线y＝﹣x2+4x+5＝﹣(x﹣2)2+9，
∴对称轴为x＝2，
∴MN＝2，
如图，将点C向右平移2个单位到点H(7，0)，过点F作对称轴x＝2的对称点G(，)，连接GH，交直线x＝2于点M，
∵MN∥CH，MN＝CH＝2，
∴四边形MNCH是平行四边形，
∴NC＝MH，
∵动点P的运动路径＝FM+MN+NC＝GM+2+MH，
∴当点G，点M，点H三点共线时，动点P的运动路径最小，
∴动点P的运动路径最短距离＝2+＝2+，
设直线GH解析式为：y＝mx+n，
∴，
解得，
∴直线GH解析式为：y＝﹣x+，
当x＝2时，y＝，
∴点N(0，).
【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式，函数极值的确定方法，两点距离公式等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题．
25、（1）①，4；②；（2），证明见解析．
【分析】（1）①根据等边三角形的性质得BA＝BC，∠ABC＝60°，再根据旋转的性质得∠OBD＝∠ABC＝60°，于是可确定旋转角的度数为60°；由旋转的性质得BO＝BD，加上∠OBD＝60°，则可判断△OBD为等边三角形，所以OD＝OB＝4；
②由△BOD为等边三角形得到∠BDO＝60°，再利用旋转的性质得CD＝AO＝3，然后根据勾股定理的逆定理可证明△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，所以∠BDC＝∠BDO＋∠ODC＝150°；
（2）根据旋转的性质得∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，则可判断△OBD为等腰直角三角形，则OD＝OB，然后根据勾股定理的逆定理，当CD2＋OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°．
【详解】解：（1）①∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝60°，
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴∠OBD＝∠ABC＝60°，
∴旋转角的度数为60°；
∵旋转至，
∴，，，
∴为等边三角形
∴，，
故答案为：60°；4
②在中，，，，
∵
∴
∴为直角三角形，，
∴
（2）时，，
理由如下：
∵绕点顺时针旋转后得到，
∴，，，
∴为等腰直角三角形，
∴
∵当时，为直角三角形，，
∴，即
∴当满足时，．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判断与性质和勾股定理的逆定理．
26、（1）6；（2）；（3）或
【分析】（1）令x=0求得A的坐标，再根据轴，令y=3即可求解；
（2）证明，则，即可求解；
（3）当的面积是四边形的面积的2倍时，则，，即可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线交轴于点，
∴，
∵轴，
∴B的纵坐标为3，
设B的横坐标为a，
则，解得，（舍），
∴，
∴；
（2）设
，，
，
，
，
解得．
（3）当的面积是四边形的面积的2倍时，
则
，
得：，，
或
【点睛】
本题考查的是二次函数综合，涉及到一次函数、三角形相似、图形的面积计算等，逐一分类讨论．
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