2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(1).ppt

2.4.1 平面向量数量积的平面向量数量积的物理背景及其含义物理背景及其含义 一般地，实数一般地，实数一般地，实数一般地，实数 与向量与向量与向量与向量 的的的的积积积积是一个是一个是一个是一个向向向向量量量量，记作，记作，记作，记作 ，它的，它的，它的，它的长度长度长度长度和和和和方向方向方向方向规定如下：规定如下：规定如下：规定如下：(1)|(1)|a a|=|=|a a|(2)(2)当当当当00时时时时,的方向与的方向与的方向与的方向与 方向相同；方向相同；方向相同；方向相同；当当当当00时时时时,的方向与的方向与的方向与的方向与 方向相反；方向相反；方向相反；方向相反；特别地，当特别地，当特别地，当特别地，当=0 0或或或或a=0a=0时时时时,aa=0=0复习旧知：数乘定义复习旧知：数乘定义 设设设设 为任意向量，为任意向量，为任意向量，为任意向量，,为为为为任意实数任意实数任意实数任意实数，则有：，则有：，则有：，则有：()=()=()(+)=+()=)=+运算律运算律向量的夹角向量的夹角OABOABOAB已知已知两个非零向量两个非零向量 和和 ，作，作 ，则，则 叫做向量叫做向量 和和 的的夹角夹角OAB问问 题题sF为此，我们引入向量为此，我们引入向量“数量积数量积”的概念。的概念。功是一个功是一个标量标量，它由力和位移两个向量来确定，它由力和位移两个向量来确定.这给这给我们一种启示，能否把我们一种启示，能否把“功功”看成是这两个向量的一种运看成是这两个向量的一种运算的结果呢？算的结果呢？一个物体在力一个物体在力F 的作用下产生的位移的作用下产生的位移 ，那么力，那么力F 所做的功应当怎样计算？所做的功应当怎样计算？其中其中是是 F 与与 s 的夹角的夹角.W=|F|s|cos 问题：如果我们将公式中的力与位移类比推广问题：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？到两个一般向量，其结果又该如何表述？两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；平面向量的数量积的定义平面向量的数量积的定义规定：零向量与任意向量的数量积为规定：零向量与任意向量的数量积为0，即即 （1）两向量的数量积是一个）两向量的数量积是一个数量数量，而不是向量，符号由夹角决定，而不是向量，符号由夹角决定.（3）在运用在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是范围是 0，180说明说明：已知非零向量已知非零向量 与与 ，我们把数量，我们把数量 叫作叫作 与与 的的数量积数量积（或（或内积内积），记作），记作 ，即规定，即规定 （2）a b中间的中间的“”在向量的运算中不能省略，也不能在向量的运算中不能省略，也不能写成写成 ab，ab 表示向量的另一种运算（外积）表示向量的另一种运算（外积）实数同向量积的实数同向量积的线性运算的结果是线性运算的结果是向量向量两向量的数量积是一个两向量的数量积是一个实数实数，是一个，是一个数量数量特别提示：特别提示：例例1 1：已知：已知|a|=5|a|=5，|b|=4|b|=4，求，求a ab b a a与与b b的夹角的夹角=120=120 平面向量数量积的几何意义平面向量数量积的几何意义|b|cos叫向量叫向量b 在在a 方向上的方向上的投影投影OABab说明：说明：（2）投影也是一个数量，不是向量。）投影也是一个数量，不是向量。OABabBOAabOABab为锐角时，为锐角时，|b|cos0为钝角时，为钝角时，|b|cos0为直角时，为直角时，|b|cos=0当当 =0 时投影为时投影为|b|当当 =180 时投影为时投影为-|b|.数量积数量积ab等于等于a的模与的模与b在在a方向上的投影方向上的投影bcos的的乘积，或等于乘积，或等于b的模与的模与a在在b方向上的投影方向上的投影acos的乘积的乘积.交换律：交换律：（3）对数乘的结合律：）对数乘的结合律：（2）分配律：）分配律：数量积的运算律数量积的运算律想一想：想一想：向量数量积向量数量积不满足不满足结合律结合律.向量的数量积满足结合律吗？向量的数量积满足结合律吗？即：即：成立吗？成立吗？向量运算常用公式向量运算常用公式 练习：已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a 5b垂直，a 4b与7a 2b垂直，求a与b的夹角快速反应快速反应、课堂练习课堂练习B 解析：解析：选选 (1)(2)不正确，不正确，(3)正确正确 A A 1207课堂小结课堂小结