2022年新课标_高中文科数学知识点总结.pdf

高中数学必修1学问点第一章集合与函数概念 1.1.11集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N表示自然数集，N*或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.*+（3）集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是a正M,或者M,两者必居其一.（4）集合的表示法自然语言法：用文字表达的形式来描述集合.列举法：把集合中的元素-列举出来，写在大括号内表示集合描述法：X|X具有的性质，其中X为集合的代表元素.图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合叫做空集（）.1.1.2 集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称 记号 意义 性质 示意图A B一1L A A子集B A）A中的任一元素都属卜B（c-A3）标号_ B且B_ C,就A_ C4）如 AB 且 B=A,就 A=B墨 q=真子集A B U（或 B A）nA _ B,且B中至 少括一元素不属于 A（力 A（A为非空子集）0U（2）如 AB 且 B C,就 A Cu c z u丰 丰 丰集合 相等A BA中的任一元素都属 于B,B中的任一元素都属于A（1）A B（2）J A（7）已知集合A有n 1）个元素，就它有2n个子集，它有2n 1个真子集，它有2n 1个非空子集，它有2n 2非空（之 n真子集.1.1.3 集合的基本运算（8）交3并集、补集名祢交集记号nA B意义x|x A,且-xB）-n=性质（1）A。=愈（2）AQ c（3）AQ B z A一员意图 a1【补充学问】含肯定值的不等式与一元二次不等式的解法并集ALP X I X A,或xw B(1)A|JA=A(2)A|j0=A(3)A|J B 二 AA|JB2 B补集Qj A x|xe U,且Xw AIA 2A U(Q A)=U痴B)(AL (.B)u I I=u U u瘩 IaIeI)=4 uA)n QB)&G)(1)含肯定值的不等式的解法不等式解集1 x|a aO)x|-ax a(aO)x|x a|ax+b|c(c O)把ax+b看成个整体，化成|x|a 型不等式来求解(的解集K1.2 3函数及其表示 1.2.1 函数的概念(1)函数的概念设A、B是两个非空的数集，假如依据某种对应法就 f,对于集合A中任何一个数 x.在集合B中都有唯独确定的数f(X)和它对应，那么这样的对应(包括集合A,B以及A到B的对应法就f)叫做集合 A到B的一个函数,2记作f:At B.函数的三要素：定义域、值域和对应法就.只有定义域相同，且对应法就也相同的两个函数才是同一函数.(2)区间的概念及表示法设a,b是两个实数，且a b,满意a x b的实数x的集合叫做闭区间，记做 a,b；满意a x，:b的实数x的集合叫做开区间，记做(a,b)；满意孕 x bg或a x b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做 a,b)，a,b；x-a,x a,x 一 b,x b 的实数 x的集合分别记做 a,),a,),(,b,(,b).满意 留耳：对于集合x|a x b与区间(a,b)，前者a可以大于或等于 b,而后者必需a b.(3)求函数的定义域时，一般遵循以下原就：f(X)是整式时，定义域是全体实数.f(X)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数.f(X)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.对整国数的真数大于写#弼或指簿数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于 1.y t an x 中，x k(k Z).2零(负)指数幕的底数不能为零.如f(x)是由有限个基本初等函数的四就运算而合成的函数时，就其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：如已知 f x)的定义域为 a,b，其复合f g x)的定义域应由 函数 不等式a g b解出.(x)对于含字母参数的函数，求其定义域，依据问题详细情形需对字母参数进行分类争论.由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，仍要符合问题的实际意义.(4)求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上，假如在函数的值域中存在一个最小(大)数，这 个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同.求函数值域与最值 的常用方法：观看法：对于比较简洁的齿数，我们可以通过观看直接得到值域或最值.+=配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后依据变量的取值范畴确定函数的值域或最值.。=N判别式法：如函数 y f X)可以化成一个系数含有y的关于X的二次 a(y)b(y)x c(y)方程 x2 0,就在a 1y)0时，由x,y为实数，故必需有 b(y)c(y)0,从而确定函数的值域或最值.于 4a不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值.换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，：角代换可将代数函数的最值问题转化为：角函数的最值问题.3反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值.数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值.函数的单调性法.1.2.2 函数的表示法(5)函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种.解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图 象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.(6)映射的概念设A、B是两个集合，假如依据某种对应法就 f,对于集合 A中任何一个元素，在集合 B中都有唯独的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合 A,B以及A到B的对应法就f)叫做集合 A到B的映射，记作f:At B.给定一个集合 A到集合B的映射，且a A,b B.假如元素a和元素b对应，那么我们把元素 b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象.d 1.3 2函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值(1)函数的单调性定义及判定方法减函数.-mm性质定义图象判定方法函数的 单调性假如对T属T7E 乂域 1内某个区间上的任意两个自变量的值Xi、X2,当时，都有 f(X.J f(X 2).,那么 就说,f(X)在这个区间上是单剪数yy=fJ f/f(x)利用定义(2)利用已知函数的 单调性(3)利用函数图象(在某个区间图 象上升为增)(4)利用信台语粕OXiX)X2 X假如对于属于定义域 1内某个区间上的任意两个自变量的 值X1、X2,当X1 a,)上为增函数，分别在a Oh a 上为减函数.9一般地，设函数y f(x)的定义域为(1)对于任意的,假如存在实数xM 满意：f x)M；I,都有存在 I,使得f M.那么，我们称 M是函数f(%)(x)的最大值，记作fmax(x)M.一般地，设函数 y f(x)的定义域为对于任意的 XI,假如存在实数m满意：(1)fm；(2)I,都有 x)存在Xo I,使得f m.那么，我们称m是函数f 的最小值，记作f max lx)1 Xo)(x)m.1.3.2 奇偶性(4)函数的奇偶性定义及判定方法函数的 性质定义图象假如对于函数f(x)任意一个X,都有f(一X)判定方法定义域内(1)利用定义(要先 判肯定义域是否关于!5).，那么函数 f(x)叫做假不藜.叫做奇函数.函数的奇偶性 假如对于函数f(X)定义 域内任意一个X,都有f(-X)=f(x).，那么函数f(X)原点对 称）学关于 原点对 称）对称）（2）利用图象（图象 关于y轴对称）如函数f（x）为奇函数，且=0处有定义，就f 0工0.X在奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在 y轴两侧相对称的区间增减性相反.在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，-个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数.K补充学问X函数的图象（1）作图利用描点法作图:确定函数的定义域;化解函数解析式;争论函数的性质（奇偶性、单调性）象.利用基本函数图象的变换作图：画出函数的图要精确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幕函数、三角函数等各种基本初等函数的图象.平移变换y i(x)-t=+=h o,右移I h|个单位 y f(xh)y 1(x)k 0,下移I k|个单位=+V f X)伸缩变换_型Ty _ tCx)coo 1,伸_(2)y(x0 A 1,缩V Af(x)对称变换f(x)y.原点f(x)y f(x)TV 1(x)识图去掉y轴左边图象 保留y轴右边图象，并作其关于保留病II上方图象将 必山下方图象翻折上去X）y轴对称图象If（X）|f Ux|)V f x)伸ky-轴yf(灯y(x)y=f W轴 T=y t(x)yy二 Tyy xy(X)对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范畴、变化趋势、对称性等方面争论函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，留意图象与函数解析式中参数的关系.(3)用图函数图象形象地显示了函数的性质，为争论数量关系问题供应了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的 重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.6 其次章+基本初等函数 1 I）R2.1 2指与函数 2.1.1 指数与麻嘉的运算（1）根式的概念假如X厂a,a R,x R,n 1，且n N，那么x叫做a的n次方根.当n是奇数时，a的n次方骡用符号“a表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号“a表示，负的n次方根用符号a表示；。的n次方根是o；负数a没有n次方根.式子“a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，a 0.6n n n n n.产。)根式的性质：)=a；当n为奇数时，va=a；当n为偶数时，Ja=|a|=，-a a 0)(2)分数指数基的概念m正数的正分数指数惠的意义是：a17 不 0,m,n e 11二，且n ).0的正分数指数基等于o.(a一m 4 m，彳 _=1=J*4 。+正数的负分数指数基的意义是：3 0 0,|71,1111,且111).。的负分数指数基a 没a a有意义.留意口诀：底数取倒数，指数取相反数.(3)分数指数幕的运算将质 E=a as ar s O,r,sR)_(a)ar s O,r,s R)(a la0,b OjR)(4)(ab)ab1a 2.1.2 1指数函数及其性质指数函数=*函数名称 指数函数 图象过定点(0,1，=非奇在县上是增尽数X/C、即当x*1 时，y 0.*单调性在0,）上是增函数在0,）上是减函数函数值的 变化情形lo g aX lo g aX lo gax0(x0X1)1)x1)lo g aXlo g aXlo g ax01)1)X 1)X0Xa变化对图象的影响在第一象限内，0（0a越大图象越靠低；在第四象限内，00a越大图象越靠高.K2.3 2-函数（1）募函数的定义一般地，函数y x叫做幕函数，其中 X为自变量，是常数.（2）募函数的图象（3）基函数的性质图象分布：幕函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.嘉函数是偶函数时，图象分布在第、二象限（图象关于y轴对称）；是奇函数时，图象分布在第一、三象限 图象关于原点对称）；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限过定点：全部的累函数在 0,）都有定义，并且图象都通过点（1,1）.单调性：假如0,就幕函数的图象过原点，并且在 0,）上为增函数.假如 0,就幕函数的图象在 0,）上为减函数，在第一象限内，图象无限接近 X轴与y轴.奇偶性：当 为奇数时，导函数为奇函数，当 为偶数时，事函数为偶函数.q（其中p,q互质，p和q Z）,P当如p为奇数q为奇数时，就V xp是奇函数，如p为奇数q为偶数时,就qqy xp是彳+08函数,+0如p为偶数q为奇数时，9 a+8+wq就y 是非奇非偶函数.图象特点：幕函数y x,x(0,),当1时，如0 X 1,其图象在直线y X F方，如x 1,其图象在直线y x上方，当 1时，如0 x 1,其图象在直线 y x上方，如x 1,其图象在直线 y x下方.K补充学问D二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f ax2 bx c 0)顶点式：f a(xh)k 0)两根式：x)a(x)之(af a(x Xi)x 0)(2)求：次函数解析式的方法(x)X2)(a已知三个点坐标时，宜用一般式.已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式.如已知抛物线与 x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求 f(x)更便利.(3)二次函数图象的性质2 b二次函数f ax bx c 0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x，顶点坐标是(x)(a 2ab 4ac b2(,).2a 4ab b b当a。时，抛物线开口向上，函数在，上递减，在,)上递增，当 x时，2a 2a 2ac b2 b b;当2 0时，抛物线开口向下，函数在(，上递增，在,)上递减，当X4a 2a 2 ab2af min(X)时，f max1 X)二次函数f4ac b24a2 2ax bx c 0)b 4ac。时，图象与x轴有两个交点x)(a 当Mi(90),M2 x2|211K|a|(4)一元:次方程ax2 bx c 0 0)根的分布(a元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分学问在中学代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用，下面结合二次函数图象的性质，系 统地来分析一元：次方程实根的分布.2设一元二次方程ax bx c 020)的两实根x1，X2，且Xi x2.令f ax bx c,从以下四个方为(x)a血案分析此类问题：开口方向:a对称轴位置：xbk Vxi X2+oC2a a 10+=x，kX2af(k)0ki Xi0f lk2)Qx2aa0有且仅有一个根Xi(或 X?)满意 kx t(或 X2)kz0,并同时考虑f(k,)f(kJ f(k)=0或f(%)=0这两种情形是否也符合11ki0时（开口向上）M,最小值为m，令W-b-q,就m2a-b-()X如 X。，就M2a(q)Xf(P)b)2aX12（n）当a。时（开口向下）如_ _ L p,2a就M=f(p)如bP _ q，就m=2a(q)第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点=w=e1、函数零点的概念：对于函数y f x）D）,把f。成立的实数x叫做函数y f（x）（x D）的零点；=（x 使 Lx）2、函数零点的意义：函数y f x）的零点就是 f。实数根，亦即函数y f（x）的图象与x轴交点的横坐标；即上=方程=（x）=方程f 1。有实数根 函数y f（x）的图象与x轴有交点 函数y f x）有零点.x m3、函数零点的求法：=求函数y f x）的零点:（代数法）求方程0的实数根;（X）02（几何法左对于d甫作用求根公式的方程，可以将它与函 y f ix）的图象联系起来，并利用函数的性质找出数零点.4、二次函数的零点:二次函数y2ax+bxg+c0)1)0,方程22)=0,方程ax2axbxbxcc有两不等实根，二次函数的图象与 x轴自两个交点，二次函数有两个零点.0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 x轴有一个交点，：次函数有一个：重零点或：阶零点.3）4.aAea IBea公理1作用：判定直线是右在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；符 号表示为：A、B、C三.点不共线=有且只有一个平面a,ac14使 Ac a、Bea、Cea；公理2作用：确定个平面的依据;（3）公理3：假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线;符号表示为：Pea n p=a n p=L,且PeL公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 空间中直线与直线之间的位置关系1空间的两条直线有如下三种关系：共面直线，目交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;9行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点;2公理4：平行于同一条直线的两条直线相互平行；符号表示为：设a、b、c是三条直线a b.、=acc/b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用；公理4作用：判定空间两条直线平行的依据；3等角定理：空间中假如两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4留意点:a，与b所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与 0的挑选无关，为筒便，点 0 般取在两直线中的一条上;两条异面直线所成的角6 e（0,）；当两条异面直线所成的角是直角时，我们簟这两条异面直线相互垂直，记作 ab；两条直线相互垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；运算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；-2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三.种位置关系：（1）直线在平面内有许多个公共点（2）直线与平面相交有且只有一个公共点（3）直线在平面平行没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情形统称为直线在平面外，可用 a a来表示直线、平面乎行的判定及其性质直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，就该直线与此平面平行;简记为：线线平行，就线面平行；符号表示：a ab p,=a/aab 平面与平面平行的判定 一1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，就这两个平面平行；15符号表示:an b=Pa ab aab2、判定两平面平行的方法有三种:(1)用定义(2)判定定理;(3)垂直于同一条直线的两个平面平行;2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：-条直线与一个平面平行，就过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行;简记为：线面平行就线线平行;符号表示:a/ab作用：利用该定理可解决直线间的平行问题;2、定理：假如两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行 符号表示：7b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行直线、平面垂直的判定及其性质直线与平面垂直的判定1、定义假如直线L与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L与平面a相互垂直，记作L_ La,直线L叫做平面a的垂线，平面a叫做直线L的垂面；如图，直线与平面垂直时，它们唯独公共点 P叫做垂足;a P Ca A p=baaPa(1 丫=a an y=bL2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，就该直线与此平面垂直;留意点：a）定理中的“两条相交直线”这条件不行忽视;b）定理表达了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想;平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间始终线动身的两个半平面所组成的图形A162、0 或 a-AB-P3、两个平面相互垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，就这两个平面垂直;2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行；2性质定理：两个平面垂直，就一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直;本章学问结构框图平间(公理1、公理2、公理3、公理4)第三章直线与方程3.1直线的倾斜角和斜率3.1倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线 I与X轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线I向上方向之间所成的角a叫做直线I 的倾斜角.特殊地，当直线I与x轴平行或重合时，规定a=0 .2、倾斜角a的取值范畴：0 Wa r,点在圆外(2)(x1a)(y-b)=r,点在圆上0 02 2(时，直线I与圆C相离；(2)当d=i时，直线I与圆C相切；(3)当d +上时，圆c 1与圆C2相离；(2)当I=门+或时，圆Ci与圆c 2外切；(3)l In 2|I f l+2 时，圆 G 与圆 C2 相交；(4)当I=|n _ r2|时，圆Ci与圆C2内切；(5)当I|口 一21时，圆G与圆C2内含；直线月圆的方程的应用1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；19其次步：通过代数运算，解决代数问题;第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.空间直角坐标系1、点m对应着唯独确定的有序实数组（x,yz）上的坐标x、y、z分别是p、q、r在x、y、z轴2、有序实数组（x,y,z）,对应着空间直角坐标系中的一点3、空间中任意点 M的坐标都可以用有序实数组（y z）来表示，该数组叫做点 x,M在此空间直角坐标系中的坐标，记X20高中数学必修3学问点第一章算法初步算法的概念1、算法概念：在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用运算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必需是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.2.算法的特点：(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必需在有限操作之后停止，不能是无限的(2)确定性：算法中的每一-步应当是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可(3)次序性与正确性：算法从初始步骤开头，分为如干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都精确无误，才能完成问题.(4)不唯独性：求解某一个问题的解法不肯定是唯独的，对于一个问题可以有不同的算法(5)普遍性：许多详细的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、运算器运算都要经过有限、事先设计好的步骤加 以解决.程序框图1、程序框图基本概念：()程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来精确、直观地表示算法的图形；一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明；(二)构成程序框的图形符号及其作用学习这部分加的时候，要把握各个图形的外形、作用及使用规章，画程序框图的规章如下:程序框名称功能起止框表示个算法的起始和终止，是任何流程图不行少的；f、J J输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置；处理框赋值、运算，算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内；判定框判定某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或 N；1、使用标准的图形符号；2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画；3、除判定框外，大多数流程图符号只有一个进入21点和一个退出点；判定框具有超过一个退出点的唯独符号;4、判定框分两大类，一类判定框“是”与“否”两分支的判定,而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判定，有几种不同的结果;5、在图形符号内描述的语言要特别简练清晰;(三)、算法的三种基本规律结构：次序结构、条件结构、循环结构1、次序结构：次序结构是最简洁的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的次序进行的，它是由如干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构;次序结构在程序框图中的表达就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按次序执行算法步骤；如在示意图中,A框和B框是依次执行的，只有在执行完 A框指定的操作后,才能接着执行B框所指定的操作;2、条件结构:条件结构是指在算法中通过对条件的判定依据条件是否成立而挑选不同流向的算法结构;条件P是否成立而挑选执行 A框或B框；无论P条件是否成立，只能执行 A框或B框之一，不行能同时执行 A框和B框，也不行能A框、B框都不执行；一个判定结构可以有多个判定框;3、循环结构：在一些算法中，常常会显现从某处开头，依据肯定条件，反复执行某一处理步骤的情形，这就是循环结构,反复执行的处理步骤为循环体，明显，循环结构中肯定包含条件结构；循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类:(1)一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行 A框，A框执行完毕后,再判定条件P是否成立，假如仍旧成立，再执行 A框,如此反复执行 A框，直到某诙条件 P不成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构;(2)、另一类是直到型循环结构，如下右图所示,它的功能是先执行，然后判定给定的条件P是否成立，假如P仍旧不成立，就连续执行 A框，直到某一次给定的条件P成立为止，此时不再执行 A框，离开循环结构;留意：1循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判定；因此，循环结构中肯定包含条件结构，但不允 许“死循环”；2在循环结构中都有一个计数变量和累加变量；计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果；计数 变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次;221.2.1 输入、输出语句和赋值语句1、输入语句（1）输入语句的一般格式INPUT 提示内容”；变量图形运算器 格式INPUT”提示内容”，变量（2）输入语句的作用是实现算法的输入信息功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，变量是指程序在运行时其值是可以变化的量;（4）输入语句要求输入的值只能是详细的常数，不能是函数、变量或表达式;（5）提示内容与变量之间用分号“；”隔开,如输入多个变量，变量与变量之间用逗号“，”隔开;2、输出语句（1）输出语句的一般格式PRINT 提示内容”；表达式图形运算器 格式Disp“提示内容”，变量（2）输出语句的作用是实现算法的输出结果功能;（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，表达式是指程序要输出的数据；（4）输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符;3、赋值语句（1）赋值语句的一般格式变量=表达式一阳形运算器-二 格式表达式T变量（2）赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；（3）赋值语句中的“=称作赋值号，与数学中的等号的意义是不同的；赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量；（4）赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式；（5）对于一个变量可以多次赋值；留意：赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式；如：2=X是错误的；赋值号左右不能对换；如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的；不能利用赋值语句进行代数式的演算；（如化简、因式分解、解方程等）赋值号“=”与数学中的等号意义不同；1.2.2条件语句1、条件语句的一般格式有两种：（1）IF THENELSE语句；（2）IFTHEN语句；2、IFTHEN ELSE语句IFTHENELSE语句的一般格式为图 1,对应的程序框图为图 2；“条件”表示判定的条件,“语句2”表示不满意条件时执行的操作内容；END IF表示条件语句的终止；运算机在执行时，第一对 IF后的条件进行判定，假如条件23符合，就执行THEN后面的语句1；如条件不符合，就执行 ELSE后面的语句2；3、IF THEN 语句IF-THEN语句的般格式为图 3,对应的程序框图为图 4；IF 条件THEN语句END IF（图 3）1是 意条弓否 语句（图 4）-1-留意：“条件”表示判定的条件；“语句”表示满意条件时执行的操作内容，条件不满意时,终止程序END IF表示条件IF后的条件进行判定，假如条件符合就执行 THEN后边的语句，如条件不符合就直接语句的终止；运算机在执行时第一对终止该条件语句，转而执行其它语句；1.2.3循环语句循环结构是由循环语句来实现的；对应于程序框图中的两种循环结构 直到型（UNTIL型）两种语句结构；即 WHILE语句和UNTIL语句；1、WHILE 语句（1）WHILE语句的一般格式是 对应的程序框图是WHILE 条件循环体WEND（2）当运算机遇到 WHILE语句时，先判定条件的真假，假如条件符合，一般程序设计语言中也有当型（WHILE型）和循环体-是八-就执行 WHILE与WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，假如条件仍符合，再次执行循环体,行循环体，直接跳到 WEND语句后，接着执行2、UNTIL 语句（1）UNTIL语句的一般格式是这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止；这时，运算机将不执WEND之后的语句；因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环；对应的程序框图是U-彳宙球体_循环体LOOP UNTIL 条件 I（2）直到型循环又称为“后测试型”循环，从 UNTIL型循环结构分析，运算机执行该语句时，行条件的判定，假如条件不满意，连续返回执行循环体，然后再进行条件的判定，这个过程反复进行否先执行一次循环体，然后进直到某一次条件满意24时，不再执行循环体，跳到 LOOP UNTIL语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判定的循环语句；分析：当型循环与直到型循环的区分：(先由同学争论再归纳)(1)当型循环先判定后执行，直到型循环先执行后判定；在WHILE语句中，是当条件满意时执行循环体，在 UNTIL语句中，是当条件不满意时执行循环辗转相除法与更相减损术1、辗转相除法；也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：(1)：用较大的数m除以较小的数n得到一个商So和一个余数 R；(2)：如&=0,就n为m n的最大公约数；如 R0.就用除数n除以余数Ro得到一个商S和一个余数R；(3)：如R=0,就R为m,n的最大公约数；如 R40,就用 除数Ro除以余数 R得到一个商$2和一个余数 凡；依次运算直至 Rn=o,此时所得到的 Rn _ 1即为所求的最大公约数；2、更相减损术我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术；在九章算术中有更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半 之，不行半者，副置分母.子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之；翻译为：(1)：任意给出两个正数；判定它们是否都是偶数；如是，用 2约简；如不是，执行其次步；(2)：以较大的数减去 较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数；连续这个操作，直到所得的数相等为止，就这个数(等数)就是所求的最大公约数；例2用更相减损术求 98与63的最大公约数.分析：(略)3、辗转相除法与更相减损术的区分：(1)都是求最大公约数的方法，运算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，运算次数上辗转相除法运算次数 相对较少，特殊当两个数字大小区分较大时运算次数的区分较明显；(2)从结果表达形式来看，辗转相除法表达结果是以相除余数为 0就得到，而更相减损术就以减数与差相等而得到秦九韶算法与排序 1、秦九韶算法概念：f(x)=anxn+an-ixn 1+.+aix+ao求值问题f(x)=an x+an-ix+.+aix+ao=(an x+an-ix+.+aiJ x+ao=(an x+an-ix+.+a2j x+aiJ x+ao=.=(a n x+an-i)x+a n-2)x+.+ai)x+ao求多项式的值时，第一运算最内层括号内依次多项式的值，即 Vi=an X+an-1 然后由内向外逐层运算一次多项式的值，即V2=V1 X+an-2 V3=V2X+an-3.Vh=Vn-1X+ao这样，把n次多项式的求值问题转化成求 n个一次多项式的值的问题；252、两种排序方法：直接插入排序和冒泡排序 1、直接插入排序基本思想：插入排序的思想就是读一个，排一个；将第1个数放入数组的第1个元素中，以后读入的数与已存入数组的数进行比较，确定它在从大到小的排列中应处的位置.将该位置以及以后的元素向后推移一个位置，将读入的新数填入空出的位置中.（由于算法简洁，可以举例说明）2、冒泡排序基本思想：依次比较相邻的两个数，把大的放前面，小的放后面.即第一比较第1个数和第2个数，大数放前，小数放后.然后比较 第2个数和第3个数直到比较最终两个数.第一趟终止，最小的肯定沉到最终.重复上过程，仍从第1个数开头，到最终第 2个数 由于在排序过程中总是大数往前，小数往后，相当气泡上升，所以叫冒泡排序.进位制1、概念：进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值；可使用数字符号的个数称为基数，基数为n,即可称n进位制，简称n进制；现在最常用的是十进制，通常使用 10个阿拉伯数字0-9进行记数；对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示；比如：十进数 57,可以用二进制表示为111001,也可以用八进制表示为 71、用十六进制表示为39,它们所代表的数值都是样的；一般地，如k是一个大于一的整数，那么以 k为基数的k进制可以表示为：1 2闰0 0 8n k,0 3n 1,.,3-|,3q/k），_（k）而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示，如111001表示二进制数,34表示5进制数其次章 统计简洁随机抽样1.总体和样本在统计学中，把争论对象的全体叫做总体.把每个争论对象叫做个体.把总体中个体的总数叫做总体容量.为了争论总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：4，%,，乙争论，我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量.2.简洁随机抽样，也叫纯随机抽样；就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位；特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无肯定的关联性和排斥性；简洁随机抽样是其它各种抽样形式的基础；通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采纳这种方法；3.简洁随机抽样常用的方法：（1）抽签法；随机数表法；运算机模拟法；使用统计软件直接抽取；26在简洁随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：总体变异情形；答应误差范畴；概率保证程度;4.抽签法：（1）给调查对象群体中的每一个对象编号；（2）预备抽签的工具，实施抽签（3）对样本中的每一个个体进行测量或调查例：请调查你所在的学校的同学做喜爱的体育活动情形；5.随机数表法:例：利用随机数表在所在的班级中抽取 10位同学参与某项活动；系统抽样1.系统抽样（等距抽样或机械抽样）：把总体的单位进行排序，再运算出抽样距离，然后依据这一固定的抽样距离抽取样本；第一个样本采纳简洁随机抽样 的方法抽取；K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）前提条件：总体中个体的排列对于争论的变量来说，应是随机的，即不存在某种与争论变量相关的规章分布；可以在调查答应的条件下，从不同的样本开头抽样，对比几次样本的特点；假如有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性 规律，且这种循环和抽样距离重合；2.系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一；由于它对抽样框的要求较低，实施也比较简洁；更为重要的是，假如有某种与调查指标相关的帮助变量可供使用，总体单元按帮助变量的大小次序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估量精度；分层抽样1.分层抽样（类型抽样）：先将总体中的全部单位依据某种特点或标志（性别、年龄等）划分成如干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采纳简洁随机抽样或系用抽样的方法抽取一个子样本，最终，将这些子样本合起来构成总体的样本；两种方法：1.先以分层变量将总体划分为如干层，再依据各层在总体中的比例从各层中抽取；2.先以分层变量将总体划分为如干层，再将各层中的元素按分层的次序整齐排列，最终用系统抽样的方法抽取样本；2.分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体，全 部的样本进而代表总体；分层标准：（1）以调查所要分析和争论的主要变量或相关的变量作为分层的标准；（2）以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量；27（3）以那些有明显分层区分的变量作为分层变量；3.分层的比例问题：（D按比例分层抽样：依据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法；（2）不按比例分层抽样：有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会特别少，此时采纳该方法，主要是便于对不同层次的子总体进行特地争论或进行相互比较；假如要用样本资料推断总体时，就需要先对各层的数据资料进行加权处理，调整样本中各层的比例，使数据复原到总体中各层实际的比例结构；2.2.2用样本的数字特点估量总体的数字特点1、本均值:-