高中立体几何证明平行的专题.doc

立体几何——平行的证明

【例1】如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，点E、F 分 别为棱AB、 PD的中点．求证：AF∥平面PCE；
（第1题图）

分析：取PC的中点G，连EG.，FG，则易证AEGF是平行四边形

【例2】如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋，过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC。
（Ⅰ）求证：BC⊥面CDE； （Ⅱ）求证：FG∥面BCD；

分析：取DB的中点H，连GH,HC则易证FGHC是平行四边形

【例3】已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，D, E, F分别为AA1, CC1, AB的中点，
M为BE的中点, AC⊥BE. 求证：
（Ⅰ）C1D⊥BC； （Ⅱ）C1D∥平面B1FM.

分析：连EA，易证C1EAD是平行四边形，于是MF//EA

【例4】如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形, CD=2AB, E为PC的中点, 证明: ;
分析:：取PD的中点F，连EF,AF则易证ABEF是平行四边形

(2) 利用三角形中位线的性质
A
B
C
D
E
F
G
M
【例5】如图，已知、、、分别是四面体的棱、、、的中点，求证：∥平面。

分析：连MD交GF于H，易证EH是△AMD的中位线

【例6】如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，E是PC的中点。 求证： PA ∥平面BDE

【例7】如图，三棱柱ABC—A1B1C1中， D为AC的中点.
求证：AB1//面BDC1；
分析：连B1C交BC1于点E，易证ED是
△B1AC的中位线

【例8】如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，
，，分别为的中点
（Ⅰ）证明：四边形是平行四边形；
（Ⅱ）四点是否共面？为什么？

（.3） 利用平行四边形的性质

【例9】正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，
求证： D1O//平面A1BC1;

分析：连D1B1交A1C1于O1点，易证四边形OBB1O1
是平行四边形

P
E
D
C
B
A
【例10】在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB=DC，.
求证：AE∥平面PBC；

分析：取PC的中点F，连EF则易证ABFE
是平行四边形

【例11】在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ ACB=，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ。若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;

（I）证法一：
因为EF//AB，FG//BC，EG//AC，，
所以∽
由于AB=2EF，因此，BC=2FC，
连接AF，由于FG//BC，
在中，M是线段AD的中点，则AM//BC，且
因此FG//AM且FG=AM，所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM//FA。
又平面ABFE，平面ABFE，所以GM//平面AB。
(4)利用对应线段成比例
【例12】如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是SA、BD上的点，且=，
求证：MN∥平面SDC

分析：过M作ME//AD，过N作NF//AD
利用相似比易证MNFE是平行四边形

A
FA
EA
BA
CA
DA
MA
NA
【例13】如图正方形ABCD与ABEF交于AB，M，N分别为AC和BF上的点且AM=FN求证：MN∥平面BEC

分析：过M作MG//AB，过N作NH/AB
利用相似比易证MNHG是平行四边形

【例14】如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧(左)视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧(左)视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．

(1)求出该几何体的体积；
(2)若N是BC的中点，求证：AN∥平面CME；
(3)求证：平面BDE⊥平面BCD.

【例15】直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥DC，AB＝2AD＝2DC＝2，E为BD1的中点，F为AB中点．

(1)求证EF∥平面ADD1A1；
（2）求几何体DD1AA1EF的体积。

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