鸡兔同笼分类讲解.doc

鸡兔同笼

鸡兔同笼的解法有6种，包括列表法，站队法，捆绑法，假设法，解方程和线段法。其中线段法和解方程都是五年级的知识。站队法、捆绑法和假设法的计算过程其实是一样的，只是需要考虑学生的理解能力。设未知数的解法一般可以倒推回假设法中的综合算式。线段法较直观，能够一眼看出鸡兔的数量差距，需要明确鸡兔脚数如果相等，则兔子数量是鸡数量的2倍，这样的鸡兔总头数会是兔子数量的3倍。

以下主要从假设法和线段法讲解，鸡兔同笼的四种题型“总-总”，“差-差”，“总-差”，“互换”。

（总总）1.总头数，总脚数（晴天、雨天，运费，答题）
|设总头数全鸡或全兔×总头数-总脚数|÷（单只鸡兔脚数差4-2）
鸡兔同笼，鸡兔头数共15只，脚数共44只，问鸡兔各有多少只？
①设全鸡，求兔：（44-2×15）÷（4-2）=7（只）
②设全兔，求鸡：（4×15-44）÷（4-2）=8（只）

共52人，用了11条船，每条大船可载6人，小船可载4人，问大、小船各有几只？
①设全小船，求大船：（52-4×11）÷（6-4）=4（只）
②设全大船，求小船：（6×11-52）÷（6-4）=7（只）

10道题，对一道加10分，错一道扣2分，共得分76，问做对了几道？
①设全对，求错几道：（10×10-76）÷[10-（-2）]=2（道）
②设全错，求对几道：[76-（-2）×10]÷[10-（-2）]=8（道）

（差差）2.头数差，脚数差
|设头数差全鸡或全兔×总头数±脚数差|÷（单只鸡兔脚数差4-2）
鸡兔同笼，鸡比兔多13只，鸡脚比兔脚多16只，问鸡兔各有多少只？
①设全鸡，求兔：（2×13-16）÷（4-2）=5（只）
②设全兔，求鸡：（4×13-16）÷（4-2）=18（只）
线段
③从脚数差出发，看线段，求兔：13-16÷2=5（只），
鸡：（13-16÷2）×2+（16÷2）=18（只）

鸡兔同笼，鸡比兔多10,只，鸡脚比兔脚少60只，问鸡兔各有多少只？
①设全鸡，求兔：（2×10+60）÷（4-2）=40（只）
②设全兔，求鸡：（4×10+60）÷（4-2）=50（只）
③线段补足，求兔：10+60÷2=40（只），
求鸡：（10+60÷2）×2-60÷2）=50（只）

（总差）3.头数差，总脚数（去差，补数→配对）
|总脚数±设头数差为全鸡或全兔×总头数|÷（单对鸡兔脚数和4+2）
鸡兔同笼，鸡比兔多12只，共有脚114只，求鸡兔各有多少只？
①设全鸡，求兔：（114-2×12）÷（4+2）=15（只）
②设全兔，求鸡：（114+4×12）÷（4+2）=12（只）

（总差）4.总头数，脚数差
|设总头数全鸡或全兔×总头数±总脚数|÷（单对鸡兔脚数和4+2）
鸡兔同笼，鸡兔共140只，鸡脚比兔脚多160只，问鸡兔各有多少只？
①设全鸡，求兔：（2×140-160）÷（4+2）=20（只）
②设全兔，求鸡：（4×140+160）÷（4+2）=120（只）
线段补足
③求兔，（140+160÷4）÷3-160÷4=20（只）
求鸡，（140-160÷2）÷3×2+160÷2=120（只）

5.脚数互换，之前和之后脚数和（刚好配对）
|设全鸡或全兔×（前后脚数÷单对鸡兔脚数）和（4+2）－原总脚数|÷（单只鸡兔脚数差）
鸡兔同笼，共脚260只，互换后脚数共280只，问鸡兔各有多少只？
①设全鸡，求兔：[260-（280+260）÷6×2]÷（4-2）=40（只）
②设全兔，求鸡：[（280+260）÷6×4-260]÷（4-2）=50（只）
③转换成总头数总脚数题型，互换前后的脚数相加，即对所有的兔子和鸡都进行了配对260+280=540,540÷6=90（对），前后的头数是不变的，所以，90只为总头数，260为总脚数，再用“总-总”题型解法求解。

6.3个物体，总头数，总翅膀数，总腿数，看特殊
蜘蛛8条腿，蜻蜓6条腿，2对翅膀，蝉6条腿，1对翅，共18只，腿共116条，翅膀共20对。
①设全部为蜘蛛，求出蜻蜓和蝉的总数：（8×18-116）÷（8-6）=14（只），则蜘蛛18-14=4（只）
14只全设蜻蜓，求蝉：（2×14-20）÷（2-1）=8（只），则蜻蜓14-8=6（只）
②设全部为蜻蜓和蝉，求蜘蛛：（116-6×18）÷（8-6）=4（只），则蜻蜓和蝉共18-4=14（只），
14只，全设蝉，求蜻蜓：（20-14×1）÷（2-1）=6（只），则蝉14-6=8（只）

以下为其他老师介绍的解法。

　（1）站队法

　　让所有的鸡和兔子都列队站好，鸡和兔子都听哨子指挥。那么，吹一声哨子让所有动物抬起一只脚，笼中站立的脚：94-35=59（只）

　　那么再吹一声哨子，然后再抬起一只脚，这时候鸡两只脚都抬起来就一屁股坐地上了，只剩下用两只脚站立的兔子，站立脚：59-35=24（只）

　　兔：24÷2=12（只）；鸡：35-12=23（只）

　　（2）松绑法

　　由于兔子的脚比鸡的脚多出了2个，因此把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚。

　　那么，兔子就成了2只脚。则捆绑后鸡脚和兔脚的总数：35×2=70（只）

　　比题中所说的94只要少：94-70=24（只）。

　　现在，我们松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加2只，不断地一个一个地松开绳子，总的脚数则不断地增加2，2，2，2……，一直继续下去，直至增加24，

　　因此兔子数：24÷2=12（只）从而鸡数：35-12=23（只）

　　（3）假设替换法

　　实际上替代法的做题步骤跟上述松绑法相似，只不过是换种方式进行理解。

　　假设笼子里全是鸡，则应有脚70只。而实际上多出的部分就是兔子替换了鸡所形成。每一只兔子替代鸡，则增加每只兔脚减去每只鸡脚的数量。

　　兔子数=（实际脚数-每只鸡脚数*鸡兔总数）/（每只兔脚数-每只鸡脚数）

　　与前相似，假设笼子里全是兔，则应有脚120只。而实际上不足的部分就是鸡替换了兔子所形成。每一只鸡替代兔子，则减少每只兔脚减去每只鸡脚的数量，即2只。

　　鸡数=（每只兔脚数*鸡兔总数-实际脚数）/（每只兔脚数-每只鸡脚数）

　　将上述数值代入方法（1）可知，兔子数为12只，再求出鸡数为23只。

　　将上述数值代入方法（2）可知，鸡数为23只，再求出兔子数为12只。

　　由计算值可知，两种替代方法得出的答案完全一致，只是顺序不同。由替代法的顺序不同可知，求鸡设兔，求兔设鸡，可以根据题目问题进行假设以减少计算步骤。

　　（4）方程法

　　随着年级的增加，学生开始接触方程思想，这个时候鸡兔同笼问题运用方程思想则变得十分简单。

　　第一种是一元一次方程法。

　　解：设兔有x只，则鸡有（35-x）只

　　4x+2（35-x）=94

　　4x+70-2x=94

　　x=12

　　注：方程结果不带单位

　　从而计算出鸡数为35-12=23（只）

　　第二种是二元一次方程法。

　　解：设鸡有x只，兔有y只。

　　则存在着二元一次方程组的关系式

　　x+y=35

　　2x+4y=94

　　解方程式可知兔子数为y=12则可计算鸡数为x=23

以述四种方法就是这一典型鸡兔同笼问题的四种不同理解和计算方法，在没有接触方程思想之前，用前三种方式进行理解。在接触方程思想之后，则可以用第四种方法进行学习。