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利用不等式与方程的关系快速求参数的值
山东莘县观城中学 郭银生
由f(x)=0 的一个根x=a,则不等式f(x）〉0 (或f（x）<0) 的解集区间的端点之一为a,利用这一点，可以简便解题，现在归纳五种常见类型如下：
1.一元一次不等式
已知关于x的不等式(a+b)x+（2a—3b）〈0的解集为（—∞,-），求关于x的不等式(a-3b）x+(b-2a）>0解集。
解：∵（a+b）x+（2a—3b）<0的解集为（-∞,-),
∴a+b〉0, （a+b）( —）+（2a-3b)=0.
解之得:a=2b, a，b〉0
把a=2b代入（a-3b）x+(b—2a）>0得—bx—3b〉0
∴x〈—3
∴(a-3b)x+(b-2a）〉0解集为（—∞，—3）
归纳;ax〉b的解集为（c，+ ∞),则a〉0，ac=b.若ax〉b的解集为（-∞,c）则a〈0,ac=b，这儿容易忽视a<0，同理可推导ax<b的情况。
2。一元二次不等式
关于x的不等式ax2+bx+2〉0的解集是(-,）,则a+b=（ )
A。10 B.—14 C。14 D—14
解：由题意a<0， x1=-, x2=是方程ax2+bx+2=0的两根
∴-+=—， -*= 解之得a=-12, b=-2
∴a+b=—14 选D
归纳：不等式ax2+bx+c>0的解集是(ą,ß，），则a<0, x1=ą， x2=ß是方程ax2+bx+c=0的两根，由韦大定理得ą+ß=—，ą.ß=,可以得到a，b,c之间的关系， 这是一个常规题，不要忽略判断a的正负.
三.无理不等式
若不等式〉ax+的解为4〈x<c,则a和c的值分别是（ )
A. ,36 B ，32。 C.， 28 D。,24
解析：=ax+的根是x1=4 ，x2=c , 把x1=4带入方程易得a=,把x2=c带入方程得c+=，解之得c=36, c=4（舍).这一个题如果采用通法通解，很繁琐，而利用方程和不等式的关系很快搞定。
四.分式不等式
已知不等式≥0(a<b）的解集为{x｜-1≤x〈2，x≥3｝,则不等式解集是 。
解析:由≥0的解集为{x｜-1≤x<2,x≥3｝，可知x1=-1， x2=2, x3=3是方程(x—a)（x-b）(x—c）=0的根，
≥0中x〈c
∴c=2 ∵a〈b
∴a=-1， b=3
=≥0解集为｛x|—1≤x<2,x≥3}
五。绝对值不等式
(03北京春）若不等式｜ax+2｜<6的解集为(—1，2）则实数a=（ ）.
解析:方程|ax+2|=6的两根是x1=-1，x2=2，分别代入方程得｜-a+2｜=6， ｜2a+2|=6，解这两个方程同时成立的条件是a=6
所以 a=6
从以上五种类型的题目看,利用方程与不等式的联系解这类含参数的题比通法通解要方便、快捷，尤其是解答选择题、填空题。