1、第三章 导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念第二节第二节 函数的函数的求导法则求导法则第三节第三节 高阶导数高阶导数第四节第四节 相关变化率相关变化率第五节第五节 函数的微分函数的微分1微积分学的创始人:德国数学家 Leibniz 微分学导数导数描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)导数与微分导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研究极值问题中提出.英国数学家 Newton2第一节 导数的概念一一、导数概念的两个引、导数概念的两个引例例二、导数的定义二、导数的定义三三、求导数举例、求导数举例四、导数的几何意义四、导数的几何意义五五、函数可导
2、性与连续性的、函数可导性与连续性的关系关系3一一、导数概念的两个导数概念的两个引例引例(略讲略讲)1.变速直线运动变速直线运动的瞬时速度的瞬时速度设描述质点运动位置的函数为则 到 的平均速度为而在 时刻的瞬时速度为自由落体运动42.切线问题切线问题 M,N为曲线为曲线C上不同点，作割线上不同点，作割线MN当点当点N沿曲线沿曲线C趋于点趋于点M时，如果割线时，如果割线MN绕点绕点M旋旋转而趋于极限位置转而趋于极限位置M，直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在在点点M处的切线处的切线5极限位置即极限位置即6两个问题的共性共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速
3、度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题7二、导数的定义二、导数的定义8其它形式其它形式即即9运动质点的位置函数在 时刻的瞬时速度曲线在 M 点处的切线斜率说明说明:在经济学中,边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.1011121314单侧导数单侧导数1516三三、求导数举例、求导数举例 由导数的定义可知，求函数y=f(x)的导数f(x)，可以分为以下三个步骤：(1)求增量：y=f(x+x)f(x)；下面，就根据这三个步骤来求一些比较简单的函数的导数1718例例
4、3.求函数的导数.解解:则即类似可证得19四、导数的几何意义四、导数的几何意义几何意义：几何意义：切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为2021五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系证证22如果函数在某点不连续，那么函数在如果函数在某点不连续，那么函数在该点肯定不可导。该点肯定不可导。注意注意:该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立.对于分段函数在分段点处的可导性一对于分段函数在分段点处的可导性一定要用导数的定义来判断。定要用导数的定义来判断。2324内容小结内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.一些简单的求导公式:6.判断可导性不连续,一定不
5、可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限;切线的斜率;2728课堂练习教材 P51习题3-13、4、5、第二节 函数的求导法则一、导数的一、导数的四则运算四则运算二、二、复合函数的求导复合函数的求导法则法则三三、隐函数的求导法则、隐函数的求导法则四、反函数的求导四、反函数的求导法则法则五、参数方程所确定的函数的导数五、参数方程所确定的函数的导数29一、导数的四则运算定理定理3031基本初等函数的求导公式教材教材P5332熟练掌握熟练掌握14个基本公式个基本公式例例解解同理可得同理可得33例例.求证证证:类似可证:34例例.已知已知解解:3536【例例1 1】【例2】【例
6、例3 3】【例4】教材教材P53二、复合函数的求导法则注意注意:3738【例例5 5】【例例6 6】【例例7 7】【例例8 8】教材教材P54【例例9 9】三、隐函数的导数隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?39隐函数求导过程隐函数求导过程:4041隐函数隐函数求导的步骤求导的步骤:42【例例1010】【例例1111】【例例1212】教材教材P55例例1.求由方程在 x=0 处的导数解解:方程两边对 x 求导得因 x=0 时 y=0,故确定的隐函数典型例题选讲典型例题选讲43例例2.求椭圆在点处的切线方程.解解:椭圆方程两边对 x
7、 求导故切线方程为即典型例题选讲典型例题选讲44例例3.求的导数.解解:两边取对数,化为隐式两边对 x 求导典型例题选讲典型例题选讲45 1)对幂指函数可用对数求导法求导:说明说明:按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:典型例题选讲典型例题选讲462)有些显函数用对数求导法求导很方便.例如例如,两边取对数两边对 x 求导典型例题选讲典型例题选讲47又如又如,对 x 求导两边取对数典型例题选讲典型例题选讲48四、反函数的求导法则即：即：反函数反函数的导数等于直接函数导数的倒数的导数等于直接函数导数的倒数.4950【例例1313】【例例1414】教材教材P56五、由参数方程所确定的函数的导数
8、51由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得5253【例例1515】【例例1414】教材教材P57例例.设由方程确定函数求解解:方程组两边对 t 求导,得故典型例题选讲典型例题选讲5455课堂练习教材 P57习题3-21、2、3、4、5、6第三节 高阶导数记作记作三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数,二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,56二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.5758【例例1 1】【例例2 2】【例例3 3】教材教材P5859课堂练习教材 P59习题3-31、2、3第四节第四节 相关相关变化
9、变化率（可选讲）率（可选讲）为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对 t 求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率6061例例2.一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为当气球高度为 500 m 时,观察员视线的仰角增加率是多少?解解:设气球上升 t 分后其高度为h,仰角为,则两边对 t 求导已知 h=500m 时,62思考题思考题:当气球升至500 m 时停住,有一观测者以100 mmin 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m 时,仰角的增加率是多少?提示提示:对 t 求导已知求63试求当容器内水例例3
10、.有一底半径为 R cm,高为 h cm 的圆锥容器,今以 自顶部向容器内注水,位等于锥高的一半时水面上升的速度.解解:设时刻 t 容器内水面高度为 x,水的两边对 t 求导而故体积为 V,则64第五节 函数的微分一、微分一、微分的定义的定义二、微分的几何意义二、微分的几何意义三、三、微分的运算微分的运算四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用65一、微分一、微分的的定义定义 引例引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为 x,面积为 A,则面积的增量为关于x 的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在 的微分当 x 在取得增量时,变到边长由其66(微分的实质微分的实质)67的微分微分,定义定义:若函数在点 的增量可表示为(A 为不依赖于x 的常数)则称函数而 称为记作即定理定理:函数在点 可微的充要条件充要条件是即在点可微可微,6869二、微分的几何意义MNT）几何意义几何意义:(:(如图如图)P Q70三、微分的运算1)微分基本公式微分基本公式71722)微分运算法则微分运算法则7374计算函数增量的近似值计算函数增量的近似值四、微分在近似计算中的应用75常用近似公式常用近似公式证明证明7677【例例4 4】教材教材P64【例例5 5】78课堂练习教材 P65复习题三
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