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电磁感应线框问题
图10-11
一、线框平动切割
　　所谓线框平动切割，通常是指矩形线框平动进入磁场切割磁感线而产生电磁感应现象。中学阶段通常讨论的是线框垂直磁感线平动切割。
1．水平平动切割
例1．如图所示,Ⅰ、Ⅱ为两匀强磁场区域,Ⅰ区域的磁场方向垂直纸面向里,Ⅲ区域的磁场方向垂直纸面向外,磁感强度为B,两区域中间为宽为s的无磁场区域Ⅱ，有一边长为L(L＞s)、电阻为R的正方形金属框abcd置于Ⅰ区域,ab边与磁场边界平行,现拉着金属框以速度v向右匀速移动。

(1)分别求出ab边刚进入中央无磁场区域Ⅱ和刚进入磁场区域Ⅲ时,通过ab边的电流大小和方向。
(2)把金属框从Ⅰ区域完全拉入Ⅲ区域过程中拉力所做的功。(93‘上海市高考试题)
［分析］(1)金属框以速度v向右做匀速直线运动时，当ab边刚进入中央无磁场区域时，由于穿过金属框的磁通量减小,因而在金属框中产生感应电动势,形成adcb方向的感应电流，其大小为I1＝ε1/R＝BLv/R.
　　当ab边刚进入磁场区域Ⅲ时,由于ab，dc两边都切割磁感线而产生感应电动势,其大小为εab＝εdc＝BLv，方向相反,故两电动势所对应的等效电源在回路中组成串联形式，因此，在线框中形成了adcb方向的感应电流，其大小为：
　　　I2＝(εab＋εdc)/R＝2BLv/R
(2)金属线框从Ⅰ区域完全拉入Ⅲ区域过程中，拉力所做的功分为三个部分组成,其中一、三两部分过程中，金属框在外力作用下匀速移动的位移均为s,第二部分过程中金属框在外力作用下增速移动的距离为(L－s)。因金属框匀速运动，外力等于安培力，所以
　　　W外＝W安＝W1＋W2＋W3
又W1＝F1s＝BI1Ls＝(B2L2v/R)s
W2＝2F2(L－s)＝2BI2L(L－s)＝[4B2L2v/R](L－s)
W3＝F3s＝(B2L2v/R)s
因此整个过程中拉力所做的功等于：W1＋W2＋W3＝[4B2L2v/R](L－s/2)
［评述］本题所要求解问题，是电磁感应中最基本问题，但将匀强磁场用一区域隔开，并将其反向，从而使一个常规问题变得情境新颖，增加了试题的力度，使得试题对考生思维的深刻性和流畅性的考查提高到一个新的层次。
2、如图10-11所示，在光滑绝缘的水平面上有一个用一根均匀导体围成的正方形线框abcd，其边长为L，总电阻为R，放在磁感应强度为B．方向竖直向下的匀强磁场的左边，图中虚线MN为磁场的左边界。线框在大小为F的恒力作用下向右运动，其中ab边保持与MN平行。当线框以速度v0进入磁场区域时，它恰好做匀速运动。在线框进入磁场的过程中，
（1）线框的ab边产生的感应电动势的大小为E 为多少？
（2）求线框a、b两点的电势差。
（3）求线框中产生的焦耳热。
12、解析：（1）E = BLv0
（2）a、b两点的电势差相当于电源的外电压∴
（3）解法一：由于线圈在恒力F作用下匀速进入磁场区，恒力F所做的功等于线圈中产生的焦耳热，所以线圈中产生的热量为Q = W = FL
解法二：线圈进入磁场区域时产生的感应电动势为E = BLv0电路中的总电功率为线圈中产生的热量联解可得：
2．斜向平动切割
例2．一边长为L的正方形金属线框(其截面积为S，电阻率为ρ)。线框以速率v通过均匀磁场区域(线框平面始终与磁场垂直)速度的方向与水平方向成45°角。如图所示，磁场区域宽度为a，长为b，磁感强度为B。
(1)若b≥L，a＞L时线框通过匀强磁场后释放多少焦耳热。
(2)若b≥L，a＜L时线框通过匀强磁场后释放多少焦耳热。
［分析］(1)线框进入磁场中因切割磁感线产生感应电流，并通过线框本身的电阻而产生焦耳热。由焦耳定律可得
　　　　　Q＝(s2/R)t　　　　　　　　　　　　　　　①
由法拉第电磁感应定律可得：ε＝BLvcos45°　　　　　②
由电阻定律可得：R＝4ρ(L/S)　　　　　　　　　　　 ③
由于a＞L，故产生的焦耳热的时间为：t＝2L/vcos45°　④
解以上①②③④式可得：Q＝(B2L2vS)/(2ρ)

(2)当a＜L，b≥L时，同理由焦耳定律可得：
　　　　　Q＝(ε2/R)t　　　　　　　　　　　　　　 ⑤
由法拉第电磁感应定律可得：ε＝BLvcos45°　　　　　⑥
由电阻定律可得：R＝4ρ(L/S)　　　　　　　　　　　 ⑦
由于a＜L，故产生焦耳热的时间为：t＝2a/vcos45°　　⑧
解以上⑤⑥⑦⑧式可得：Q＝(B2LavS)/(2ρ)
［评述］试题将常规的水平垂直进入磁场改为斜向进入磁场切割磁感线，并将线框宽度与磁场宽度分两种情况要求，不仅突出考查了同学对运动独立性原理的掌握情况，同时体现了对同学思维深刻性和灵活性的考核。
3．竖直平动切割
例3．用密度为D，电阻率为ρ的导线做正方形线框。线框平面在竖直平面内从高处自由落下，初速度为零，有一沿水平方向的匀强磁场区域，在竖直方向其宽度与线框边长相等，如图所示，磁感强度的大小为B,方向与线框平面垂直，若要通过磁场区域时的速度恒定，试求线框下落时的高度h(不计空气阻力)。
［分析］设线框的边长为L，线框导线的截面积为S，则线框的质量为：

　　　　　　　m＝4LSD　　　　　　　　　　　　　　①
线框的电阻为：R＝4Lρ/S　　　　　　　　　　　　　②
若线框从h高度落下，其下边进入磁场时速度为：
　　　　　　　v＝　　　　　　　　　　　　 ③
若线框以此速度通过磁场，则线框中感应电动势为：
　　　　　　　ε＝BLv　　　　　　　　　　　　　　④
感应电流：I＝ε/R＝BLv/R　　　　　　　　　　　　 ⑤
线框通过磁场时所受的安培力方向向上，大小为：
　　　　　　　F＝BLI＝B2L2v/R　　　　　　　　　　⑥
由于通过磁场时速度恒定，则F＝mg，即：
　　　　　　　(B2L2S)/4Lρ＝4DLSg
所以得：h＝128D2ρ2g/B4
［评述］该题是一道综合性较大的题目，考查了同学正确解答本题所需六个方面的知识点，突出对同学分析能力和综合能力的考查。
一、导体线框运动与图像综合
例题1、如图所示，等腰三角形内分布有垂直于纸面向外的匀强磁场，它的底边在x轴上且长为2L，高为L.纸面内一边长为L的正方形导框沿x轴正方向做匀速直线运动穿过磁场区域，在t＝0时刻恰好位于图中所示的位置．以顺时针方向为导线框中电流的正方向，在下面四幅图中能够正确表示电流—位移(I—x)关系的是 (　　)

【解析】　线框进入磁场的过程中，线框的右边做切割磁感线运动，产生感应电动势，从而在整个回路中产生感应电流，由于线框做匀速直线运动，且切割磁感线的有效长度不断增加，其感应电流的大小不断增加，由右手定则，可判定感应电流的方向是顺时针的；线框全部进入磁场后，线框的左边和右边同时切割磁感线，当x≤L时，回路中的感应电流不断减小，由右手定则可判定感应电流的方向是顺时针；当L<x<2L时，回路中的感应电流不断增加，但感应电流的方向是逆时针．线框出磁场的过程，可依照同样方法分析．
【答案】　A
例题2在质量为M=1kg的小车上, 竖直固定着一个质量为m=0.2kg，高h=0.05m、总电阻R=100Ω、n=100匝矩形线圈，且小车与线圈的水平长度相同。现线圈和小车一起在光滑的水平面上运动，速度为v1=10m/s，随后穿过与线圈平面垂直，磁感应强度B=1.0T的水平有界匀强磁场，方向垂直纸面向里，如图（1）所示。已知小车运动(包括线圈)的速度随车的位移变化的图象如图(2)所示。求:
（1）小车的水平长度和磁场的宽度
（2）小车的位移时线圈中的电流大小以及此时小车的加速度
（3）线圈和小车通过磁场的过程中线圈电阻的发热量

【解析】(1) 由图可知，从开始，线圈进入磁场，线圈中有感应电流，受安培力作用，小车做减速运动，速度随位移减小，当时，线圈完全进入磁场，线圈中感应电流消失，小车做匀速运动。因此小车的水平长度。
当时，线圈开始离开磁场 ，则
（2）当时，由图象中可知线圈右边切割磁感线的速度
由闭合电路欧姆定律得线圈中的电流
解得
此时线圈所受安培力
小车的加速度
（3） 由图象可知，线圈左边离开磁场时，小车的速度为。
线圈进入磁场和离开磁场时，克服安培力做功，线卷的动能减少，转化成电能消耗在线圈上产生电热。

解得线圈电阻发热量Q=57.6J

二、导体线框运动与电路综合
例题2、用相同导线绕制的边长为L或2L的四个闭合导体线框，以相同的速度匀速进入右侧匀强磁场，如图所示.在每个线框进入磁场的过程中，M、N两点间的电压分别为Ua、Ub、Uc和Ud.下列判断正确的是(　　)
A.Ua＜Ub＜Uc＜Ud B.Ua＜Ub＜Ud＜Uc
C.Ua=Ub＜Ud=Uc D.Ub＜Ua＜Ud＜Uc
解析:线框进入磁场后切割磁感线,a、b产生的感应电动势是c、d电动势的一半.而不同的线框的电阻不同.设a线框电阻为4r,b、c、d线框的电阻分别为6r、8r、6r,则,
所以B正确.
三、导体线框运动与力学综合
例题3、
变式训练3、如图所示,一边长L=0.2 m、质量m1=0.5 kg、电阻R=0.1 Ω的正方形导体线框abcd,与一质量为m2=2 kg的物块通过轻质细线跨过两定滑轮相连.起初ad边距磁场下边界为d1=0.8 m,磁感应强度B=2.5 T,磁场宽度d2=0.3 m,物块放在倾角θ=53°的斜面上,物块与斜面间的动摩擦因数μ=0.5.现将物块由静止释放,经一段时间后发现当ad边从磁场上边缘穿出时,线框恰好做匀速运动.(g取10 m/s2,sin53°=0.8,cos53°=0.6)求:
(1)线框ad边从磁场上边缘穿出时绳中拉力的功率;
(2)线框刚刚全部进入磁场时速度的大小;
(3)整个运动过程中线框产生的焦耳热.
【解析】(1)由于线框匀速出磁场,则
对m2有:m2gsinθ-μm2gcosθ-FT=0得FT=10 N
对m1有:FT-m1g-BIL=0
又因为I=
联立可得：v=2 m/s
所以绳中拉力的功率P=FTv=20 W
(2)从线框刚刚全部进入磁场到线框ad边刚要离开磁场,由动能定理得
FT(d2-L)-m1g(d2-L)= (m1+m2)v2-Ek
且Ek= (m1+m2)v02
代入数据解得v0=1.9 m/s.
四、导体线框运动与能量综合
例题4、如图所示，边长为L的正方形导线框质量为m，由距磁场H高处自由下落，其下边ab进入匀强磁场后，线圈开始做减速运动，直到其上边cd刚刚穿出磁场时，速度减为ab边进入磁场时的一半，磁场的宽度也为L，则线框穿越匀强磁场过程中产生的焦耳热为(　　)

A.2mgL B.2mgL+mgH
C. D.
解析:设刚进入磁场时的速度为v1,刚穿出磁场时的速度①
线框自开始进入磁场到完全穿出磁场共下落高度为2L.由题意得②
③
由①②③得.C选项正确.
变式训练4、正方形金属线框abcd，每边长=0.1m，总质量m=0.1kg，回路总电阻Ω，用细线吊住，线的另一端跨过两个定滑轮，挂着一个质量为M=0.14kg的砝码。线框上方为一磁感应强度B=0.5T的匀强磁场区，如图，线框abcd在砝码M的牵引下做加速运动，当线框上边ab进入磁场后立即做匀速运动。接着线框全部进入磁场后又做加速运动（g=10m/s2）。问：
（1）线框匀速上升的速度多大？此时磁场对线框的作用力多大？
（ 2）线框匀速上升过程中，重物M做功多少？其中有多少转变为电能？
解析：（1）当线框上边ab进入磁场，线圈中产生感应电流I，由楞次定律可知产生阻碍运动的安培力为F=BIl 由于线框匀速运动，线框受力平衡，F+mg=Mg
联立求解，得I=8A 由欧姆定律可得，E=IR=0.16V
由公式E=Blv，可求出v=3.2m/s F=BIl=0.4N
（2）重物M下降做的功为W=Mgl=0.14J
由能量守恒可得产生的电能为J
2.用密度为d、电阻率为ρ、横截面积为A的薄金属条制成边长为L的闭合正方形框。如图所示，金属方框水平放在磁极的狭缝间，方框平面与磁场方向平行。设匀强磁场仅存在于相对磁极之间，其他地方的磁场忽略不计。可认为方框的边和边都处在磁极之间，极间磁感应强度大小为B。方框从静止开始释放，其平面在下落过程中保持水平（不计空气阻力）。
⑴求方框下落的最大速度vm（设磁场区域在数值方向足够长）；
⑵当方框下落的加速度为时，求方框的发热功率P；
⑶已知方框下落时间为t时，下落高度为h，其速度为vt（vt＜vm）。若在同一时间t内，方框内产生的热与一恒定电流I0在该框内产生的热相同，求恒定电流I0的表达式。
⑴方框质量：
方框电阻：
方框下落速度为v时，产生的感应电动势
感应电流
方框下落过程，受到重力G及安培力F，
，方向竖直向下
，方向竖直向下
当F＝G时，方框达到最大速度，即v＝vm
则：
方框下落的最大速度：
⑵方框下落加速度为时，有：
，则：
方框的发热功率：
⑶根据能量守恒定律，有

解得恒定电流I0的表达式：
。
正确答案是：（1）
（2）
(3)
3如图（a）所示，斜面倾角为37°，一宽为d＝0.43m的有界匀强磁场垂直于斜面向上，磁场边界与斜面底边平行。在斜面上由静止释放一长方形金属线框，线框沿斜面下滑，下边与磁场边界保持平行。取斜面底部为零势能面，从线框开始运动到恰好完全进入磁场的过程中，线框的机械能E和位移s之间的关系如图（b）所示，图中①、②均为直线段。已知线框的质量为m＝0.1kg，电阻为R＝0.06Ω，重力加速度取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。
（1）求金属线框与斜面间的动摩擦因数μ；
（2）求金属线框刚进入磁场到恰完全进入磁场所用的时间t；
（3）求金属线框穿越磁场的过程中，线框中产生焦耳热的最大功率Pm；
（4）请在图（c）中定性地画出：在金属线框从开始运动到完全穿出磁场的过程中，线框中感应电流I的大小随时间t变化的图像。
d
B
37°
（a）
s/m
E/J
0
)）
（b）
)）
0.900
)）
0.756
)）
0.666
)）
0.36
)）
②
)）
①
)）
t
（c）
)）
0
)）
I

4.如图甲所示，一个质量m＝0.1 kg的正方形金属框总电阻R＝0.5 Ω，金属框放在表面绝缘且光滑的斜面顶端(金属框上边与AA′重合)，自静止开始沿斜面下滑，下滑过程中穿过一段边界与斜面底边BB′平行、宽度为d的匀强磁场后滑至斜面底端(金属框下边与BB′重合)，设金属框在下滑过程中的速度为v，与此对应的位移为s，那么v2—s图象（记录了线框运动全部过程）如图乙所示，已知匀强磁场方向垂直斜面向上。试问：（g取10m/s2）
(1)根据v2—s图象所提供的信息，计算出金属框从斜面顶端滑至底端所需的时间为多少？
(2)匀强磁场的磁感应强度多大？
(3)现用平行斜面沿斜面向上的恒力F作用在金属框上，使金属框从斜面底端BB′(金属框下边与BB′重合)由静止开始沿斜面向上运动，匀速通过磁场区域后到达斜面顶端(金属框上边与AA′重合)。试计算恒力F做功的最小值。

设位移分别为 S1，S2，S3对应的时间分别为

初速 末速度v3=5m/s 匀加速运动
（1）

解得：a3=5m/s2

（2）线框通过磁场时，线框作匀速运动，线框受力平衡
在AA’a’a区域，对线框进行受力分析

穿过磁场区域时，

有题干分析得：线框的宽度
解得
（3）设恒力作用时金属框上边进入磁场速度为V，

线框穿过磁场时，
又由
解得
由于, 所以穿过磁场后，撤去外力，物体仍可到达顶端。
所以力F做功为

电磁感应线框压轴题分类之交错磁场问题（注意两条边都切割）
1如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度大小相等的匀强磁场，其中一个的方向垂直斜面向下，另一个的方向垂直斜面向上，宽度均为L.一个质量为m、边长为L的正方形线框以速度v刚进入上边磁场时恰好做匀速直线运动，当ab边到达gg′和ff′的中间位置时，线框又恰好做匀速直线运动.问：线框从开始进入上边的磁场至ab边到达gg′和ff′中间位置时，产生的热量为多少？
解析：当ab边刚进入上边磁场时，做匀速直线运动，有mgsinθ=
在ab边越过ff′时，线框的两边ab和cd同时切割磁感线，当再次做匀速直线运动时，产生的电动势E′=2BLv′，有
mgsinθ=，所以有v′=v/4
由能量守恒得：Q=mg·Lsinθ+mv2- mv′2=mgLsinθ+mv2.
2如图所示，轻绳绕过轻滑轮连接着边长为L的正方形导线框A1和物块A2，线框A1的电阻为R，质量为M，物块A2的质量为m（M>m），两匀强磁场区域I、II的高度也为L，磁感应强度均为B，方向水平与线框平面垂直。线框ab边距磁场边界高度为h。开始时各段绳都处于伸直状态，把它们由静止释放，ab边刚穿过两磁场的分界线CC进入磁场II时线框做匀速运动。求：
（1）ab边刚进入磁场I时线框A1的速度v1；
（2）ab边进入磁场II后线框A1所受重力的功率P；
（3）从ab边刚进入磁场II到ab边刚穿出磁场II的过程中，线框中产生的焦耳热Q.
解：（1）由机械能守恒定律，有： ①
解得： ②
（2）设线框ab边进入磁场II时速度为，则线框中产生的电动势：
③
线框中的电流 ④
线框受到的安培力 ⑤
设绳对A1、A2的拉力大小为T则：
对A1：T+F=Mg ⑥
对A2：T=mg ⑦
联立⑤⑥⑦解得： ⑧
⑨
（3）从ab边刚进入磁场II到ab边刚穿出磁场II的此过程中线框一直做匀速运动，根据能量守恒得： ⑩
3.如图所示，间距为L的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为θ，导轨光滑且电阻忽略不计．场强为B的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁场区域的宽度为d1，间距为d2．两根质量均为m、有效电阻均为R的导体棒a和b放在导轨上，并与导轨垂直． (设重力加速度为g)
(1)若a 进入第2个磁场区域时，b 以与a 同样的速度进入第1个磁场区域，求b 穿过第1个磁场区域过程中增加的动能△Ek．
(2)若a 进入第2个磁场区域时，b 恰好离开第1个磁场区域；此后a 离开第2个磁场区域时，b 又恰好进入第2个磁场区域．且a．b 在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相．求b 穿过第2个磁场区域过程中，两导体棒产生的总焦耳热Q．
(3)对于第(2)问所述的运动情况，求a 穿出第k 个磁场区域时的速率。
解析：(1) a和b不受安培力作用，由机械能守恒定律知，　……①
(2) 设导体棒刚进入无磁场区域时的速度为v1刚离开无磁场区域时的速度为v2，
由能量守恒知： 在磁场区域中，　　　……②
在无磁场区域中，　　……③
解得　　　　　　　　　　　　　……④
　(3) 在无磁场区域：根据匀变速直线运动规律　　　　　　……⑤
　　　且平均速度　　　　　　　　　　　　　……⑥
　　　有磁场区域： 棒a受到的合力　　　　　　　　……⑦
　　　感应电动势　　　……⑧ 感应电流　　　　……⑨
　　　解得　　　　　　　　　　　……⑩
　　　根据牛顿第二定律，在t到t+△t时间内 　　　……⑾
　　　则有　　　　　　……⑿
　　　解得　　　　　　　　……⒀
联立⑤⑥(13)式，解得

4如图所示，两平行光滑的金属导轨MN、PQ固定在水平面上，相距为L，处于竖直方向的磁场中，整个磁场由若干个宽度皆为d的条形匀强磁场区域1、2、3、4……组成，磁感应强度B1、B2的方向相反，大小相等，即B1＝B2＝B.导轨左端MP间接一电阻R，质量为m、电阻为r的细导体棒ab垂直放置在导轨上，与导轨接触良好，不计导轨的电阻．现对棒ab施加水平向右的拉力，使其从区域1磁场左边界位置开始以速度v0向右做匀速直线运动并穿越n个磁场区域．
(1)求棒ab穿越区域1磁场的过程中电阻R产生的焦耳热Q；
(2)求棒ab穿越n个磁场区域的过程中拉力对棒ab所做的功W；
(3)规定棒中从a到b的电流方向为正，画出上述过程中通过棒ab的电流I随时间t变化的图象；
(4)求棒ab穿越n个磁场区域的过程中通过电阻R的净电荷量q.

5.如图所示，倾角为370的光滑绝缘的斜面上放着M=1kg的U型导轨abcd，ab∥cd。另有一质量m=1kg的金属棒EF平行bc放在导轨上，EF下侧有绝缘的垂直于斜面的立柱P、S、Q挡住EF使之不下滑。以OO′为界，下部有一垂直于斜面向下的匀强磁场，上部有平行于斜面向下的匀强磁场。两磁场的磁感应强度均为B=1T，导轨bc段长L=1m。金属棒EF的电阻R=1.2Ω，其余电阻不计。金属棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.4，开始时导轨bc边用细线系在立柱S上，导轨和斜面足够长。当剪断细线后，试求：
（1）细线剪短瞬间，导轨abcd运动的加速度；
（2）导轨abcd运动的最大速度；
（3）若导轨从开始运动到最大速度的过程中，流过金属棒EF的电量q=5C，则在此过程中，系统损失的机械能是多少？（sin370=0.6）

例5：在如图所示的倾角为θ的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度大小为B的匀强磁场，区域I的磁场方向垂直斜面向上，区域Ⅱ的磁场方向垂直斜面向下，磁场的宽度均为L，一个质量为m、电阻为R、边长也为L的正方形导线框，由静止开始沿斜面下滑，当ab边刚越过GH进入磁场Ⅰ区时，恰好以速度 v1做匀速直线运动；当ab边下滑到JP与MN的中间位置时，线框又恰好以速度v2做匀速直线运动，从ab进入GH到MN与JP的中间位置的过程中，线框的动能变化量为△Ek，重力对线框做功大小为W1，安培力对线框做功大小为W2，下列说法中正确的有 （ ）
A．在下滑过程中，由于重力做正功，所以有v2＞v1
B．从ab进入GH到MN与JP的中间位置的过程中，机械能守恒
C．从ab进入GH到MN与JP的中间位置的过程，有（W1－△Ek）机械能转化为电能
D．从ab进入GH到MN与JP的中间位置的过程中，线框动能的变化量大小为△Ek= W1－W2
解析： 当线框的ab边进入GH后匀速运动到进入JP为止，ab进入JP后回路感应电动势增大，感应电流增大，因此所受安培力增大，安培力阻碍线框下滑，因此ab进入JP后开始做减速运动，使感应电动势和感应电流均减小，安培力又减小，当安培力减小到与重力沿斜面向下的分力mgsinθ相等时，以速度v2做匀速运动，因此v2<v1，A错；由于有安培力做功，机械能不守恒，B错；线框克服安培力做功，将机械能转化为电能，克服安培力做了多少功，就有多少机械能转化为电能，由动能定理得W1－W2=△Ek，W2=W1－△Ek，故CD正确．
答案：CD
电磁感应线框压轴题分类之磁场运动题
a
b
d
c
l0
l0
v
x
y
O
1在t=0时，磁场在xOy平面内的分布如图所示，其磁感应强度的大小均为B0，方向垂直于xOy平面，相邻磁场区域的磁场方向相反。每个同向磁场区域的宽度均为l0。整个磁场以速度v沿x轴正方向匀速移动。⑴若在磁场所在区域，xOy平面内放置一由n匝线圈串联而成的矩形导线框abcd，线框的bc边平行于x轴，bc=l0，ab=L，总电阻为R，线框始终保持静止，求①线框中产生的总电动势大小和导线中的电流大小；②线框所受安培力的大小和方向。⑵该运动的磁场可视为沿x轴传播的波，设垂直于纸面向外的磁场方向为正，画出t=0时磁感应强度的波形图，并求波长λ和频率f。

2如图(a)所示，光滑的平行长直金属导轨置于水平面内，间距为L。导轨左端接有阻值为R的电阻。质量为m的导体棒垂直跨接在导轨上。导轨和导体棒的电阻均不计，且接触良好。在导轨平面上有一矩形区域内存在着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。开始时，导体棒静止于磁场区域的右端。当磁场以速度v1匀速向右移动时，导体棒随之开始运动，同时受到水平向左、大小为f的恒定阻力，并很快达到恒定速度。此时导体棒仍处于磁场区域内。⑴求导体棒所达到的恒定速度v2；⑵为使导体棒能随磁场运动，阻力最大不能超过多少？⑶导体棒以恒定速度运动时，单位时间内克服阻力所做的功和电路中消耗的电功率各为多大？⑷若t=0时磁场由静止开始水平向右做匀加速直线运动，经过较短时间后，导体棒也做匀加速直线运动，其v-t关系如图(b)所示，已知在时刻t导体棒的瞬时速度大小为vt，求导体棒做匀加速直线运动时的加速度大小。
R
v1
m
L
B
(a)
v
t
t
vt
O
(b)

3.磁悬浮列车的原理如图所示，在水平面上，两根平行直导轨间有竖直方向且等间距的匀强磁场B1、B2，导轨上有金属框abcd，金属框的面积与每个独立磁场的面积相等。当匀强磁场B1、B2同时以速度v沿直线导轨向右运动时，金属框也会沿直线导轨运动。设直导轨间距为L＝0.4m，B1＝B2＝1T，磁场运动速度为v＝5m/s，金属框的电阻为R＝2Ω。试求：
（1）若金属框不受阻力时，金属框如何运动；
（2）当金属框始终受到f＝1N的阻力时，金属框相对于地面的速度是多少；
（3）当金属框始终受到1N的阻力时，要使金属框维持最大速度，每秒钟需要消耗多少能量？这些能量是谁提供的？
解析: （1）此题的难点在于存在交变磁场。首先分析 ac和bd边产生的感应电动势，由于磁场方向相反，且线圈相对于磁场向左运动，因此，在如图位置的电动势方向相同（逆时针），根据左手定则，ac和bd边受到的安培力都向右。所以金属框做变加速运动，最终做匀速直线运动。
（2）当金属框受到阻力，最终做匀速直线运动时，阻力与线框受到的安培力平衡。设此时金属框相对于磁场的速度为v则
,
所以金属框相对于地面的速度为
（3）要使金属框维持最大速度， 必须给系统补充能量：一方面，线框内部要产生焦耳热；另一方面，由于受到阻力，摩擦生热。设每秒钟消耗的能量为E，这些能量都是由磁场提供。
由于摩擦每秒钟产生的热量
每秒钟内产生的焦耳热

根据能量守恒可知这些能量都是由磁场提供。
M
O
x
z
N
P
Q
y
d
l
图1
B
O
B0
-B0
x
λ
2λ
图2
4.磁悬浮列车是一种高速低耗的新型交通工具。它的驱动系统简化为如下模型，固定在列车下端的动力绕组可视为一个矩形纯电阻金属框，电阻为R，金属框置于xOy平面内，长边MN长为l，平行于y轴，宽为d的NP边平行于x轴，如图1所示。列车轨道沿Ox方向，轨道区域内存在垂直于金属框平面的磁场，磁感应强度B沿Ox方向按正弦规律分布，其空间周期为λ，最大值为B0，如图2所示，金属框同一长边上各处的磁感应强度相同，整个磁场以速度v0沿Ox方向匀速平移。设在短暂时间内，MN、PQ边所在位置的磁感应强度随时间的变化可以忽略，并忽略一切阻力。列车在驱动系统作用下沿Ox方向加速行驶，某时刻速度为v(v<v0)。
(1)简要叙述列车运行中获得驱动力的原理；
(2)为使列车获得最大驱动力，写出MN、PQ边应处于磁场中的什么位置及λ与d之间应满足的关系式：
(3)计算在满足第(2)问的条件下列车速度为v时驱动力的大小。
【解析】（1）由于列车速度与磁场平移速度方向相同，导致穿过金属框的磁通量发生变化，由于电磁感应，金属框中会产生感应电流，该电流受到安培力即为驱动力。
（2）为使列车获得最大驱动力，MM、PQ应位于磁场中磁感应强度同为最大值且反向的地方，这会使得金属框所围面积的磁通量变化率最大，导致线框中电流最强，也会使得金属框长边中电流收到的安培力最大，因此，d应为的奇数倍，即
①
（3）由于满足（2）问条件，则MM、PQ边所在处的磁感应强度大小均为B0且方向总相反，经短暂的时间Δt，磁场沿Ox方向平移的距离为v0Δt，同时，金属框沿Ox方向移动的距离为vΔt。
因为v0>v，所以在Δt时间内MN边扫过磁场的面积
S=（v0-v）lΔt
在此Δt时间内，MN边左侧穿过S的磁通量移进金属框而引起框内磁通量变化
ΔΦMN = B0l（v0-v）Δt②
同理，该Δt时间内，PQ边左侧移出金属框的磁通引起框内磁通量变化
ΔΦPQ = B0l（v0-v）Δt③
故在Δt内金属框所围面积的磁通量变化
ΔΦ = ΔΦMN +ΔΦPQ④
根据法拉第电磁感应定律，金属框中的感应电动势大小⑤
根据闭合电路欧姆定律有⑥
根据安培力公式，MN边所受的安培力FMN = B0Il
PQ边所受的安培力FPQ = B0Il
根据左手定则，MM、PQ边所受的安培力方向相同，此时列车驱动力的大小
F = FMN + FPQ = 2 B0Il⑦
联立解得
⑧．

5如图所示，虚线框内为某种电磁缓冲车的结构示意图，其主要部件为缓冲滑块K和质量为m的缓冲车厢。在缓冲车厢的底板上，平行车的轴线固定着两个光滑水平绝缘导轨PQ、MN。缓冲车的底部，还装有电磁铁（图中未画出），能产生垂直于导轨平面的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B。导轨内的缓冲滑块K由高强度绝缘材料制成，滑块K上绕有闭合矩形线圈abcd，线圈的总电阻为R，匝数为n，ab边长为L。假设缓冲车以速度v0与障碍物C碰撞后，滑块K立即停下，此后线圈与轨道的磁场作用力使缓冲车厢减速运动，从而实现缓冲，一切摩擦阻力不计。
（1）求滑块K的线圈中最大感应电动势的大小；
（2）若缓冲车厢向前移动距离L后速度为零，则此过程线圈abcd中通过的电量和产生的焦耳热各是多少？
（3）若缓冲车以某一速度v0′（未知）与障碍物C碰撞后，滑块K立即停下，缓冲车厢所受的最大水平磁场力为Fm。缓冲车在滑块K停下后，其速度v随位移x的变化规律满足：v= v0′﹣x。要使导轨右端不碰到障碍物，则缓冲车与障碍物C碰撞前，导轨右端QN与滑块K的cd边距离至少多大？
解：（1）缓冲车以速度v0与障碍物C碰撞后，滑块K立即停下，滑块相对磁场的速度大小为v0，线圈中产生的感应电动势最大，感应电流最大，安培力最大，则有
Em=nBLv0 1分
线圈ab边受到的安培力 2分
根据牛顿第三定律，缓冲车此时受到电磁阻力为Fm′= 1分
（2）由法拉第电磁感应定律得
E=n 其中△Φ=BL2 由欧姆定律得
此过程线圈abcd中通过的电量 3分
由功能关系得：线圈产生的焦耳热为 3分
（3）若缓冲车以某一速度v0′与障碍物C碰撞后，滑块K立即停下，滑块相对磁场的速度大小为
v0′，线圈中产生的感应电动势
感应电流为 1分

线圈ab边受到的安培力F=nBIL = 2分
依题意有F=Fm．解得 1分
由题意知， 当v=0时，解得x= 2分
第二种解法： 2分
因为，v与x为线性关系，故安培力F与x也为线性关系。 1分
所以 2分 1分
6如图所示是一种磁动力电梯的模拟机，即在竖直平面内有两根很长的平行竖直轨道，轨道间有垂直轨道平面的匀强磁场B1和B2，且B1和B2的方向相反，B1＝B2＝1T，电梯桥厢固定在如图所示的一个用超导材料制成的金属框abcd内（电梯桥厢在图中未画出），并且与之绝缘．电梯载人时的总质量为m＝5×103kg，所受阻力大小为Ff＝500N，金属框垂直轨道的边长为Lcd＝2m，两磁场的宽度均与金属框的边长Lac相同，金属框整个回路的电阻为R＝1.0×10－3Ω，问：
B1
B1
B1
B1
B2
B2
B2
v0
a
b
c
d
M
N
P
Q
（1）假如两磁场始终竖直向上做匀速运动。设计要求电梯以v1＝10m/s的速度向上匀速运动，那么，磁场向上运动的速度v0应该为多大？
（2）假如t＝0时两磁场由静止开始向上做匀加速运动，加速度大小为a＝1.5m/s2，电梯可近似认为过一小段时间后也由静止开始向上做匀加速运动，t＝5s末电梯的速度多大？电梯运动的时间内金属框中消耗的电功率多大？从电梯开始运动到t＝5s末时间内外界提供给系统的总能量为多大？
26答案．（15分）（1）电梯向上匀速运动时，框中感应电流大小为I＝2B1Lcd（v0－v1）/R（1分），
金属框所受安培力F＝2B1ILcd（1分），
安培力大小与重力和阻力之和相等，所以F＝mg＋Ff（1分），
即4B12Lcd2（v0－v1）/R＝mg＋Ff（2分），可得：v0＝13.2m/s（1分），
（2）电梯向上匀加速运动时，金属框中感应电流大小为I＝2B1Lcd（v2－v1）/R（1分），
金属框所受安培力F＝2B1ILcd，由牛顿定律得：F－mg－Ff＝ma（1分），
即4B12Lcd2（at－v1）/R－mg－Ff＝ma（1分），
解得：v1＝at－（mg＋ma＋Ff）R /4B12Lcd2＝3.9m/s（1分），
金属框中感应电流为：I＝2B1Lcd（at－v1）/R＝1.44×104A（1分），
金属框中的电功率为：P1＝I2R＝2.07×105W（1分），
电梯上升高度为h＝v12/2a＝5.07m（1分），上升时间为t’＝v1/a＝2.6s（1分），
外界提供的总能量为E＝mgh＋Ffh＋mv12＋P1t’＝8.3×105J（1分）。