初二下期末几何压轴题及解析.doc

初二下期末几何及解析
1、以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，连接EB、FD，交点为G．
（1）当四边形ABCD为正方形时（如图1），EB和FD的数量关系是_____________；
（2）当四边形ABCD为矩形时（如图2），EB和FD具有怎样的数量关系?请加以证明；
（3）四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD是否发生变化?如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出∠EGD的度数．

难度一般：证全等即可（第三问，图1中就能看出是45°。）
解 （1）EB=FD 。（2）EB=FD。
证：∵△AFB为等边三角形,∴AF=AB，∠FAB=60°
∵△ADE为等边三角形，∴AD=AE，∠EAD=60°,∴∠FAB+∠BAD=∠EAD+∠BAD
即∠FAD=∠BAE,∴△FAD≌△BAE,∴EB=FD
（3）解：∵△ADE为等边三角形，∴∠AED=∠EDA=60°
∵△FAD≌△BAE，∴∠AEB=∠ADF
设∠AEB为x°，则∠ADF也为x°
于是有∠BED为（60-x）°，∠EDF为（60+x）°
∴∠EGD=180°-∠BED-∠EDF
=180°-（60-x）°-（60+x）°=60°

2、已知：如图，在□ABCD中，点E是BC的中点，
连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）若AF=AD，求证：四边形ABFC是矩形．

简单题
证明：（1）如图1．图1

在△ABE和△FCE中，∠1=∠2， ∠3=∠4，BE=CE，
∴△ABE≌△FCE．
（2）∵△ABE≌△FCE，∴AB=FC．
∵AB∥FC，∴四边形ABFC是平行四边形．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC．
∵AF=AD，∴AF=BC．∴四边形ABFC是矩形．

3、已知：△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠B=90°，AB=BC=1．
（1）要在这张纸板上剪出一个正方形，使这个正方形的四个顶点都在△ABC的边上．小林设计出了一种剪法，如图1所示．请你再设计出一种不同于图1的剪法，并在图2中画出来．
图4

图3
图2
图1

（2）若按照小林设计的图1所示的剪法来进行裁剪，记图1为第一次裁剪，得到1个正方形，将它的面积记为，则=___________；余下的2个三角形中还按照小林设计的剪法进行第二次裁剪（如图3），
图2
得到2个新的正方形，将此次所得2个正方形的面积的和记为，则=___________；在余下的4个三角形中再按照小林设计的的剪法进行第三次裁剪（如图4），得到4个新的正方形，将此次所得4个正方形的面积的和记为；按照同样的方法继续操作下去……，第次裁剪得到_________个新的正方形，它们的面积的和=______________．

（题外题：把你剪出的正方形的面积与图1中的正方形面积进行比较。）
本题相当于中考12题的简单题
解：（1）如图2； -------------1分
（2），，，． ----------6分

4、已知：如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为4，它的顶点A在轴的正半轴上运动，顶点D在轴的正半轴上运动（点A，D都不与原点重合），顶点B，C都在第一象限，且对角线AC，BD相交于点P，连接OP．
（1）当OA=OD时，点D的坐标为______________，
∠POA=__________°；
（2）当OA<OD时，求证：OP平分∠DOA；
（3）设点P到y轴的距离为，则在点A，D运动的
过程中，的取值范围是________________．

（第二问：如果点P到OP“所平分的角”的两边的距离相等，即可。）（第二问的题外题：当OA＞OD时，求证：OP平分∠DOA；）
解：（1）()，；
图3
证明：（2）过点P作PM⊥轴于点M，PN⊥轴于点N．（如图3）
∵四边形ABCD是正方形， ∴PD=PA，∠DPA=90°．
∵PM⊥轴于点M，PN⊥轴于点N，
∴∠PMO=∠PNO=∠PND=90°．
∵∠NOM=90°，∴四边形NOMP中，∠NPM=90°．∴∠DPA=∠NPM．
∵∠1=∠DPA－∠NPA，∠2=∠NPM－∠NPA，∴∠1=∠2．
在△DPN和△APM中， ∠PND =∠PMA，∠1=∠2，PD=PA，
∴△DPN≌△APM． ∴PN=PM． ∴OP平分∠DOA．
（3） ≤． -
5、已知：如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的
顶点A，C的坐标分别为（4,0），（0,3）．将△OCA沿直线CA
翻折，得到△DCA，且DA交CB于点E．
（1）求证：EC=EA；
（2）求点E的坐标；
（3）连接DB，请直接写出四边形DCAB的周长和面积．

（第二问，有坐标，用代数法勾股定理可得CE=AE的长）
（第三问的证明：过D做DM⊥AC于M，过B做BN⊥CA于N，则由相似可得，DM=BN=梯形的高（能求出具体数），CM=AN（具体数）还看得DB=MN（具体数）这样即可求出周长，有可求出面积。）
证明：（1）如图1．∵△OCA沿直线CA翻折得到△DCA，
∴△OCA≌△DCA． ∴∠1=∠2．
∵四边形OABC是矩形，∴OA∥CB．
∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．∴EC=EA．
解：（2）设CE= AE=．
∵点A，C的坐标分别为（4,0），（0,3），∴OA=4，OC=3．
∵四边形OABC是矩形，∴CB=OA=4，AB=OC=3，∠B=90°．
在Rt△EBA中，，
∴．解得 ． ∴点E的坐标为()．
（3），．
6、已知：△ABC的两条高BD，CE交于点F，点M，N分别是AF，BC的中点，连接ED，MN．
（1）在图1中证明MN垂直平分ED；
（2）若∠EBD=∠DCE=45°（如图2），判断以M，E，N，D为顶点的四边形的形状，并证明你的结论．

图2

第一问，连接EM，EN，DM，DN，利用三角形斜边中线等于斜边一半得，ME=MD，NE=ND，所以点M、N都在线段ED的垂直平分线上。
（有△ADF≌△BDC，得AF=BC，（还得∠MDA=∠NDB，证直角时用），进而得菱形，再证一直角得正方形，）
（1）证明：连接EM，EN，DM，DN．（如图2）
∵BD，CE是△ABC的高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB．
∴∠BDA=∠BDC=∠CEB=∠CEA=90°．
∵在Rt△AEF中，M是AF的中点，∴EM=AF．
同理，DM=AF，EN=BC，DN=BC．
∴EM=DM， EN=DN．
∴点M，N在ED的垂直平分线上．∴MN垂直平分ED．
图3
（2）判断：四边形MEND是正方形．
证明：连接EM，EN，DM，DN．（如图3）
∵∠EBD=∠DCE=45°，而∠BDA=∠CDF=90°，
∴∠BAD=∠ABD=45°，∠DFC=∠DCF=45°．∴AD=BD，DF=DC．
在△ADF和△BDC中，
AD=BD，
∠ADF=∠BDC，（Rt∠）
DF=DC，
∴△ADF≌△BDC． ∴AF=BC，∠1=∠2．
∵由（1）知DM=AF=AM，DN=BC=BN，
∴DM=DN，∠1=∠3，∠2=∠4．∴∠3=∠4．
∵由（1）知EM=DM，EN=DN，∴DM=DN=EM=EN．
∴四边形MEND是菱形．
∵∠3+∠MDF=∠ADF=90°，∴∠4+∠MDF=∠NDM=90°．
∴四边形MEND是正方形．

7、（6分）如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，联结BP、BH。
（1）求证：∠APB＝∠BPH；
（2）求证：AP＋HC＝PH；
（3）当AP＝1时，求PH的长。

第一问，设∠EPB=∠EBP=m，则∠BPH=90°-m，∠PBC=90°-m，所以∠BPH=∠PBC，又因为∠APB=∠PBC，所以，∠APB=∠BPH。
第二问的题外题：将此题与北京141之东城22和平谷24 放在一起，旋转翻折共同学习；此题中用旋转把△ABP绕点B顺时针旋转90°不能到达目的，于是延BP翻折，翻折后的剩余部分△BQH与△BCH也可全等，即可到达目的，还有意外收获：证得∠PBH=45°。
第三问，代数方法的勾股定理。
（1）证明：∵PE＝BE，∴∠EPB＝∠EBP，
又∵∠EPH＝∠EBC＝90°，
∴∠EPH－∠EPB＝∠EBC－∠EBP。即∠BPH＝∠PBC。
又∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BC，
∴∠APB＝∠PBC。∴∠APB＝∠BPH。（2分）
（2）证明：过B作BQ⊥PH，垂足为Q，
由（1）知，∠APB＝∠BPH，
又∵∠A＝∠BQP＝90°，BP＝BP，
∴△ABP△QBP，∴AP＝QP，BA＝BQ。
又∵AB＝BC，∴BC＝BQ。
又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH，
∴△BCH△BQH，∴CH＝QH，∴AP＋HC＝PH。（4分）

（3）由（2）知，AP＝PQ＝1，∴PD＝3。
设QH＝HC＝，则DH＝。
在Rt△PDH中，，
即，解得，∴PH＝3.4（6分）

8、（6分）如图，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC＝60°，联结GD，判断△AGD的形状并证明。

（也可问∠ADG的度数。）
判断：△AGD是直角三角形。
证明：如图联结BD，取BD的中点H，联结HF、HE，

∵F是AD的中点，，∴∠1＝∠3。
同理，HE//CD，HE＝，∴∠2＝∠EFC。
∵AB＝CD，　∴HF＝HE，∴∠1＝∠2， ∴∠3＝∠EFC。
∵∠EFC＝60°，∴∠3＝∠EFC＝∠AFG＝60°，
∴△AGF是等边三角形。 ∴AF＝FG
∵AF＝FD，　∴GF＝FD，∴∠FGD＝∠FDG＝30°，
∴∠AGD＝90°，即△AGD是（特殊）直角三角形。

（GE=BG-BE，GH是直角三角形的斜边，这样证全等。）

10、阅读下列材料：
小明遇到一个问题：AD是△ABC的中线， 点M为BC边上任意一点（不与点D重合），过点M作一直线，使其等分△ABC的面积．
他的做法是：如图1，连结AM，过点D作DN//AM交AC于点N，作直线MN，直线MN即为所求直线．
D
图1
M
B
A
N
C

请你参考小明的做法，解决下列问题：
（1）如图2，在四边形ABCD中，AE平分ABCD的面积，M为CD边上一点，过M作一直线MN，使其等分四边形ABCD的面积（要求：在图2中画出直线MN，并保留作图痕迹）；
图3
图2
（2）如图3，求作过点A的直线AE，使其等分四边形ABCD的面积（要求：在图3中画出直线AE，并保留作图痕迹）．

（第二问，把△ABC的面积接到DC的延长线上。）

11、 已知：四边形ABCD是正方形，点E在CD边上，点F在AD边上，且AF＝DE．
（1）如图1，判断AE与BF有怎样的位置关系？写出你的结果，并加以证明；
（2）如图2，对角线AC与BD交于点O． BD、AC分别与AE、BF交于点G，点H．
①求证：OG＝OH；
②连接OP，若AP＝4，OP＝，求AB的长．
A
B
C
D
O
P
E
F
图2
G
H
A
B
C
D
E
F
P

图1

【第二问①，证△AOG≌△BHO，
第二问②，（在OB上截取BQ=AP，则△APO≌△BQO，得OP=OQ，AP=BQ，也可得∠OPG=∠OQP，又∠EPB=90°，最终得△OPQ是等腰直角三角形，可得PQ=2，从而求得PB=6，在Rt△APB中由勾股定理得的值。2倍根号13.）】

12、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=，BC=，
DC=，且，点M是AB边的中点．
（1）求证：CM⊥DM；
（2）求点M到CD边的距离．（用含，的式子表示）

（我认为答案的思路不是最好。
本题还有这样的思路：过M做BC的平行线，交DC于Q，则可证MQ=DQ=CQ，MD平分∠ADC，MC平分∠BCD，及∠DMC=90°，；M到CD的距离也就是Rt△DMC斜边的高MN，MN的平方=DN乘以NC=AD乘以BC=ab，）
证明：（1）延长DM，CB交于点E．（如图3）
∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADM=∠BEM．
图3
∵点M是AB边的中点，
∴AM=BM．
在△ADM与△BEM中，
∠ADM=∠BEM，
∠AMD=∠BME，
AM=BM，
∴△ADM≌△BEM． ∴AD=BE=，DM=EM．∴CE=CB+BE=．
∵CD=，∴CE=CD． ∴CM⊥DM．
图4
解：（2）分别作MN⊥DC，DF⊥BC，垂足分别为点N，F．（如图4）
∵CE=CD，DM=EM， ∴CM平分∠ECD．
∵∠ABC= 90°，即MB⊥BC， ∴MN=MB．
∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠A=90°．
∵∠DFB=90°，∴四边形ABFD为矩形．
∴BF= AD=，AB= DF． ∴FC= BC－BF =．
∵Rt△DFC中，∠DFC=90°，
∴==．
∴ DF=． ∴MN=MB=AB=DF=．
即点M到CD边的距离为．

13、已知：如图1，平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为（6，0），（0，2）．点D是线段BC上的一个动点（点D与点B，C不重合），过点D作直线＝－＋交折线O－A－B于点E．
（1）在点D运动的过程中，若△ODE的面积为S，求S与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）如图2，当点E在线段OA上时，矩形OABC关于直线DE对称的图形为矩形O′A′B′C′，C′B′分别交CB，OA于点D，M，O′A′分别交CB，OA于点N，E．探究四边形DMEN各边之间的数量关系，并对你的结论加以证明；
（3）问题（2）中的四边形DMEN中，ME的长为____________．

图2
图1

本题难度对于初二学生相当于25题。
【好好学习第一问的解题方法，第二问由两组平行可得平行四边形，∠OED=∠O1ED（对称性质），得菱形。
第三问，E在OA上时，DE的长度不变，为2倍根号5，（延x轴平移△DME使D与C重合，设DM=EM=x，代数法用勾股定理可求得ME的值。】
解：（1）∵矩形OABC中，点A，C的坐标分别为，，图6
∴点B的坐标为．
若直线经过点C，则；
若直线经过点A，则；
若直线经过点B，则．
①当点E在线段OA上时，即时，（如图6）
∵点E在直线上，
图7
当时，，
∴点E的坐标为．∴．
②当点E在线段BA上时，即时，（如图7）
∵点D，E在直线上，
当时，；
当时，，
∴点D的坐标为，点E的坐标为．
∴
．
综上可得：
图8
（2）DM=ME=EN=ND．
证明：如图8．
∵四边形OABC和四边形O′A′B′C′是矩形，
∴CB∥OA， C′B′∥O′A′，即DN∥ME，DM∥NE．
∴四边形DMEN是平行四边形，且∠NDE=∠DEM．
∵矩形OABC关于直线DE对称的图形为矩形O′A′B′C′，
∴∠DEM=∠DEN．∴∠NDE=∠DEN．
∴ND=NE．∴四边形DMEN是菱形．
∴DM=ME=EN=ND． -
（3）答：问题（2）中的四边形DMEN中，ME的长为 2. 5 ．
14、探究
问题1 已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE=DF，则的值为_____．

拓展
问题2 已知：如图2，三角形ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC=∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．
求证：DE=DF．
推广
问题3 如图3，若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论

（第三问，取BM和AM的中点，构造全等三角形，）122某区的模拟题与此高度相似，
图9
问题1 的值为 1 ． --
问题2 证明：如图9．
∵CB=CA，
∴∠CAB=∠CBA．
∵∠MAC=∠MBC，
∴∠CAB－∠MAC=∠CBA－∠MBC，
即∠MAB=∠MBA．
∴MA=MB．
∵ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，
∴∠AFM=∠BEM=90°．
在△AFM与△BEM中，
∠AFM=∠BEM，
∠MAF =∠MBE，
MA=MB，
∴△AFM≌△BEM． ∴AF=BE．
∵点D是AB边的中点，∴BD = AD．
在△BDE与△ADF中，
BD = AD，
∠DBE =∠DAF，
BE = AF，
∴△BDE≌△ADF． ∴DE=DF．
问题3 解：DE=DF．
证明：分别取AM，BM的中点G，H，连接DG，FG，DH，EH．（如图10）
∵点D，G，H分别是AB，AM，BM的中点，
∴DG∥BM，DH∥AM，且DG=BM，DH=AM．
∴四边形DHMG是平行四边形．∴∠DHM =∠DGM，
∵ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，
图10
∴∠AFM=∠BEM=90°．
∴FG=AM= AG，EH=BM= BH． ∴FG= DH，DG= EH， -
∠GAF =∠GFA，∠HBE =∠HEB．
∴∠FGM =2∠FAM，∠EHM =2∠EBM．
∵∠FAM=∠EBM，∴∠FGM =∠EHM．
∴∠DGM+∠FGM =∠DHM+∠EHM，即∠DGF=∠DHE．
在△EHD与△DGF中，EH = DG，∠EHD =∠DGF，HD = GF，
∴△EHD≌△DGF． ∴DE=DF．

16、 如图①，四边形ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F。
（1）求证：DE－BF＝EF；
（2）若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）；
（3）若AB=2a，点G为BC边中点时，试探究线段EF与GF之间的数量关系，并通过计算来验证你的结论。

第一问，证全等即可得AE=BF，AF=DE。第三问，各三角形相似，两直角边的比是1:2，所以可得AE=BF=EF=2FG。

解：（1）证明：
∵四边形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG
∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°
∴∠BAF=∠ADE ， ∴△ABF≌△DAE
∴BF=AE，AF=DE；∴DE-BF=AF-AE=EF
（2）如图②，DE+BF=EF
（3）EF=2FG
过程：∵AB=2a，点G为BC边中点，∴BG=a
由勾股定理可求
又∵AB⊥BC，BF⊥AC，∴由等积法可求
由勾股定理可求，
,，∴EF=2FG 。
17、如图，在线段AE的同侧作正方形ABCD和正方形BEFG（BE<AB），连接EG并延长交DC于点M，作MN⊥AB，垂足为点N，MN交BD于点P，设正方形ABCD的边长为1。

（1）证明：四边形MPBG是平行四边形；
（2）设BE=x，四边形MNBG的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）如果按题设作出的四边形MPBG是菱形，求BE的长。

（图中的三角形多是等腰直角三角形，）
证明：（1）∵ABCD、BEFG是正方形
∴∠CBA=∠FEB=90°，∠ABD=∠BEG=45°，∴DB∥ME。
∵MN⊥AB，CB⊥AB，∴MN∥CB。∴四边形MPBG是平行四边形；
（2）∵正方形BEFG，∴BG=BE=x。∵∠CMG=∠BEG=45°，∴CG=CM=BN=1－x。
∴y=（GB+MN）·BN=（1+x）（1－x）= －x， （0<x<1）；
（3）由四边形BGMP是菱形，则有BG=MG，
即x=（1－x）。解得x=2－，∴ BE=2－。

18、将一张直角三角形纸片ABC折叠，使点A与点C重合，这时DE为折痕， △CBE为等腰三角形；再继续将纸片沿△CBE的对称轴EF折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、 无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”．请完成下列问题：

（1）如图②，正方形网格中的△ABC能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图②中画出折痕；
（2）如图③，在正方形网格中，以给定的BC为一边，画出一个斜△ABC，使其顶点A在格点上，且△ABC折成的“叠加矩形”为正方形；
（3）如果一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么它必须满足的条件是　 ．
解：
（1）
………………………………………………2分

（说明：只需画出折痕．）
（2）

（说明：只需画出满足条件的一个三角形；答案不惟一，所画三角形的一边长与该边上的高相等即可．）
（3）三角形的一边长与该边上的高相等

19、考考你的推理与论证（本题6分）
如图，在中，是边上的一点，是的中点，
过点作的平行线交的延长线于，且，连结．
（1）求证：是的中点；
（2）如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
难度一般
解（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE.

∵E是AD的中点，∴AE=DE．
∵∠AEF=∠DEC，∴△AEF≌△DEC．∴AF=DC.
∵AF=BD，∴BD=CD.，∴D是BC的中点．
（2）四边形AFBD是矩形，
∵AB=AC，是的中点,
∴AD⊥BC ，即∠ADB=90°
∵AF=BD，AF∥BC，∴四边形AFBD是矩形．

20、拓广与探索（本题7分）
如图（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°，中线BE、CD相交于点O，点F、G分别是OB、OC的中点.
（1）求证：四边形DFGE是平行四边形；
（2）如果把Rt△ABC变为任意△ABC，如图（2），通过你的观察，第（1）问的结论是否仍然成立？（不用证明）；
（3）在图（2）中，试想：如果拖动点A，通过你的观察和探究，在什么条件下？四边形DFGE是矩形，并给出证明；
（4）在第（3）问中，试想：如果拖动点A，是否存在四边形DFGE是正方形或菱形？如果存在，画出相应的图形（不用证明）．

（图1） （图2）

（第三问，AB=AC时。第四问，AB=AC，且底边上的高是BC的3/2倍时是正方形。保持这种高与边的比，但是，AB≠AC时是菱形。）
21、如图，点A（0，4），点B(3,0)，点P为线段AB上的一个动点，作轴于点M，作轴于点N，连接MN，当点P运动到什么位置时，MN的值最小？最小值是多少？求出此时PN的长.

（MN=OP，所以OP⊥AB时，MN也就是OP最小，OP=12/5.）
初三相似形22、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=4， ，于点E，F是CD的中点，连接EF．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）点G是BC边上的一个动点，当点G在什么位置时，四边形DEGF是矩形？并求出这个矩形的周长；
（3）在BC边上能否找到另外一点，使四边形DEF的周长与（2）中矩形DEGF的周长相等？请简述你的理由.

（第二问，点G为BC中点时，也是AE的延长线与BC的交点。第三问，能找到。以EF为一边在EF的下方做△G1EF≌△GFE，G1在BC上，但是不与G重合，）
23、 (9分)在梯形中，∥，，且，，。对角线和相交于点，等腰直角三角板的直角顶点落在梯形的顶点上，使三角板绕点旋转。
（1）如图9-1，当三角板旋转到点落在边上时，线段与的位置关系是 ，数量关系是 ；
（2）继续旋转三角板，旋转角为，请你在图9-2中画出图形，并判断（1）中结论还成立吗？如果成立请加以证明；如果不成立，请说明理由；
＃【】（3）如图9-3，当三角板的一边与梯形对角线重合时，与相交于点P，若，求的长。

图9-1 图9-2 图9-3

（第三问，证明两次相似，推导比例关系。）多看看

解：（1）垂直，相等；……………2分
（2）画图如图（答案不唯一）

（1）中结论仍成立。证明如下：
过A作于M，则四边形ABCM为矩形。∴AM=BC=2，MC=AB=1。
∵，∴。∴DC=BC。

，

，。
又，
，线段和相等并且互相垂直。
（3）∥，∽，
，

。同理可求得。

，。
。
。
由（2）知，。
又，∽。
。。

初三相似形 24、(9分)将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，，，。动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动，运动秒时，动点从点出发以相等的速度沿向终点运动。当其中一点到达终点时，另一点也停止运动。设点P的运动时间为（秒）。
（1）用含的代数式表示；
（2）当时，如图10-1，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，求点的坐标；
（3）连结，将沿翻折，得到，如图10-2。问：与能否平行？与能否垂直？若能，求出相应的值；若不能，说明理由。

解：（1），。

（2）当时，过点作，交于，如图1，……………3分
则，，，。
（3）①能与平行。
若，如图2，则，即，
，而，。
②不能与垂直。
若，延长交于，如图3，
则。。
。……7分
又，
，，。
而， ∴ t不存在。

25、锐角△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，DE⊥AB于E，
延长ED交BC的延长线于点F.
(1) 当∠A=40°时，求∠F的度数；
(2) 设∠F为x度,∠FDC为y度,试确定y与x之间的函数关系式.

第二问，∠B+x=90°，x+y=∠B，所以y=90°-2x。
解（1）∵ AB=AC，∴ . .
∵ ∠A=40°，∴ .
∵ DE⊥AB ，∴ .∴
（2） ∵ ，∴
∴

在△BEF中，
∵ ，∴ . ..
∴
∴ .

26、如图1，正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的
边DE上，连接AE、GC．
（1）试猜想AE与GC有怎样的数量关系；
（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使
点E落在BC边上，如图2，连接AE和GC.你认为(1)中的结
论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，求证：AE⊥GC．
（友情提示：旋转后的几何图形与原图形全等）

延长相交可证得垂直，
解：（1）猜想：AE=GC
（2）答：AE=CG成立.
证明：∵ 四边形ABCD与DEFG都是正方形，
∴ AD=DC，DE=DG，ÐADC= =ÐEDG=90°.
∴ Ð1+Ð3=Ð2+Ð3=90°.
∴ Ð1=Ð2 .，∴ △ADE@△CDG .，∴ AE=CG .
（3）延长AE，GC相交于H，由（2）可知Ð5=Ð4.
又∵ Ð5+Ð6=90°，Ð4+Ð7=180°-ÐDCE=90°，
∴ Ð6=Ð7.
又∵ Ð6+ÐAEB=90°，∴ ÐAEB=ÐCEH. .
∴ ÐCEH+Ð7=90°.
∴ ÐEHC=90°.，∴ AE^GC . …

27、如图所示，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠A＝90°，AB＝12，BC＝21，AD=16。动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。
（1）当为何值时，四边形的面积是梯形的面积的一半；
（2）四边形能为平行四边形吗？如果能，求出的值；如果不能，请说明理由．
（3）四边形能为等腰梯形吗？如果能，求出的值；如果不能，请说明理由．
（第一问，t=37/6，第二问，t=5，第三问，不能，∠QPC大于90°，不能等于∠DCP，；本题扩展：如果延DA、CB方向移动，则可以出现等腰梯形。）
28、（12分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别
是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点．
（1）在不添加线段的前提下，图中有哪几对全等三角形？
请直接写出结论；
（2）判断并证明四边形MENF是何种特殊的四边形？
（3）当等腰梯形ABCD的高h与底边BC满足怎样的数量关系
时？四边形MENF是正方形（直接写出结论，不需要证明）．

A
D
C
B
E
G
F

两对；菱形；一半。
39、E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，
垂足分别是F、G.求证：.

简单题：连接CE，则CE=FG，再证全等即可。
证明：连接CE∵四边形ABCD为正方形
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，∠C＝90°
∵EF⊥BC，EG⊥CD，∴四边形GEFC为矩形∴GF＝EC
在△ABE和△CBE中
∴△ABE≌△CBE，∴AE＝CE∴AE＝CF

30、在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的
中点，连接CD，过B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，
连接AE，过A作AF⊥AE交CD于点F.
（1）若AE=5，求EF； （2）求证：CD=2BE+DE.

（第一问，∠EBD+∠ABC+∠BCE=90°，又∠ABC=45°，所以，
∠EBD+∠BCE=45°，又∠ACF+∠BCE=45°，所以，∠EBD=∠ACF，
可得△EBA≌△FCA，得AE=AF，EF=根号2AE，；第二问，过A做
AH⊥CE于H，，则△EBD≌△HAD，BE=AH ,又已证BE=CF，可证
AH=FH，则结论得证。）
解：（1）∵ BE⊥CD,∠BAC=90°
∴∠ABE+∠BDE=90° ∠ACF+∠CDA=90°
∵∠BDE=∠CDA ∴∠ABE=∠ACF
∵ AF⊥AE ∴∠BAE+∠BAF=90°
∵∠CAF+∠BAF=90° ∴∠BAE=∠CAF
∵AB=AC ∴ △ABE≌△ACF
∴ AE=AF=5 ∴EF=
(2) 作AH⊥CD于H
∵ AE=AF ∠EAF=90° ∴ AH=HE=HF
∵∠AHD=∠BED=90 ∠BDE=∠ADH BD=AD
∴ △BDE≌△ADH ∴DE=DH BE=AH
∵△ABE≌△ACF ∴ CF=BE=AH=HF ∴ CH=2BE
∵ CD=DH+CH ∴ CD=DE+2BE

31、矩形ABCD中，AB=DC=6，AD=BC=，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度在射线AB上运动，设点P运动的时间是t秒，以AP为边作等边△APQ（使△APQ和矩形ABCD在射线AB的同侧）.
(1)当t为何值时，Q点在线段DC上？当t为何值时，C点在线段PQ上？
(2)设AB的中点为N，PQ与线段BD相交于点M，是否存在△BMN为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.
(3)设△APQ与矩形ABCD重叠部分的面积为s，求s与t的函数关系式.

（备用图1）

第一问：①，Q在DC上时，等边△QAP的高是，；②，C点在线段PQ上时，P在AB的延长线上，△CBP是含60°角的Rt△，可求得BP，t=AB+BP。第二问：分四种情况讨论，有一定难度。

解：（1）① 当Q点在线段DC上时
∵ AD=, ∠ADQ=90°, ∠DAQ=30°
∴ DQ=x,则AQ=2x
∴ ∴ x=2
∴ AP=4 ∴ t=4
∴当 t=4秒时，Q点在线段DC上.

② 当C点在线段PQ上时，点P在AB的延长线上，由题意得BP=2
∴ AP=6+2=8 ∴ t=8
∴当 t=8秒时，点C在线段PQ上.
（2）△BMN为等腰三角形，有以下三种情况：
①当MN=BN时，∵∠NMB=∠NBM=30° ∴∠ANM=60°
∴ 此时，Q点在BD上，P点与N重合 ∴AP=AN=3 ∴t=3
②当BM=BN时，作MI⊥AB于I ∵ BM=BN=3
∴BI= MI= IP= BP=MP=
∴AP=6- ∴t=6-
③当 BM=NM时，BP=MP=NP
∴BP=1 AP=5 ∴t=5
综上所述，当t=3或6-或5时，△BMN为等腰三角形
（3）①当0≤t≤4时，s=
②当4＜t≤6时，s=

③当6＜t≤8时，
即
④当t≥8时，
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