分式方程(简讲义).docx

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分式方程
1. 分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
1) 分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母。
2) 分式有意义的条件：分母不为零，即分母中的代数式的值不能为零。
3) 分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零

2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示 其中A、B、C为整式（）
注：（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。
（2）应用基本性质时，要注意C≠0，以及隐含的B≠0。
（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。

3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式
1) 分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。
2) 最简分式：分子与分母没有公因式的分式
3) 分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。
4) 最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母。

4. 分式的符号法则
分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。用式子表示为
注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分母中的部分项的符号。

5. 条件分式求值
1） 整体代换法：指在解决某些问题时，把一些组合式子视作一个“整体”，并把这个“整体”直接代入另一个式子，从而可避免局部运算的麻烦和困难。

例：已知 ，则求

2）参数法：当出现连比式或连等式时，常用参数法。

例：若 ，则求

6. 分式的运算：
1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
2）分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

3）分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。
4）分式乘方、乘除混合运算：先算乘方，再算乘除，遇到括号，先算括号内的，不含括号的，按从左到右的顺序运算
5）分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减

7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
1) 增根：分式方程的增根必须满足两个条件：
（1）增根是最简公分母为0；（2）增根是分式方程化成的整式方程的根。
2）分式方程的解法：
(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根．
考点呈现
考点1. 分式的概念
1、下列各有理式 中，分式的个数是（ ）
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个

考点2. 分式的意义
分式：(A，B都是整式，且B中含有字母，B≠0)
① 分式有意义 ；② 分式无意义 ；③ 分式值为零
1、若分式有意义，则x__________
2、 要使分式有意义，则（ ）
A. x≠ B. x≠5 C. x≠且x≠5 D. x≠或x≠5
3、 当为任意有理数时，下列分式一定有意义的是（ ）
A． B. C. D.
4、分式当x 时有意义；当x 时分式没有意义；当x 时分式的值为零。
5、当x 时，分式的值是零；当x 时，分式的值是零；
当x 时，分式的值是零
考点3、最简公分母、最简分式
1、分式的最简公分母是 ；分式，，的最简公分母为________
2、下列分式中是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
3、下列分式中是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.

考点4、分式的基本性质
1. 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。
（1）； （2）
2、把分式中的分子、分母的x、y同时扩大2倍，那么分式的值（ ）
A. 扩大2倍 B. 缩小为原来的 C. 不变 D. 缩小为原来的
3、约分（1）= ；（2）=
4、通分（1），；　　　　（2），； （3），.

考点5、计算
1、(1)= ；（2）= ；（3）=
(4) （5） （6）

（7） （8）－ （9）

（11） （12）

2、先化简，当b= —1时，请你为 选一个适当的数代入求值

3、（1）如果，那么分式的值为 ；
（2）如果那么分式的值为
（3）已知，其中A、B为常数，则A－B的值为
（4）某人上山的速度为a，下山的速度为b，则他上山、下山的平均速度（假设按原路返回）为____________

考点6、零指数幂与负整指数幂
计算：（1）= ；（2）= ；
（3） = （4）（8×105）÷（-2×104）=
（5）（结果只含正整数指数幂）=

考点7、分式方程的概念
下列关于x的方程是分式方程的是( )
A. B. C. D.

考点8、分式方程的解
1、当x= 时,互为相反数
2、若分式方程有增根，增根为 ；当k=_____时,分式方程有增根。
3、已知关于x的分式方程无解，则=
4、关于x的方程的解是正数，则的取值范围是

考点9、解分式方程
（1） （2） （3）

（4） （5） （6）

考点10、分式方程的应用题
1、某人生产一种零件,计划在30天内完成,若每天多生产6个,则25天完成且还多生产10个,问原计划每天生产多少个零件?设原计划每天生产x个,列方程式是( )
A. B. C. D.
2、某工地调来72人挖土和运土,已知3人挖出的土1人恰好能全部运走,怎样调配劳动力使挖出的土能及时运走且不窝土,解决此问题可设派x人挖土,其它人运土,列方程:①x+3x=72,②72-x=,③, ④.上述所列方程正确的( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3、某工程需要在规定日期内完成,如果甲工程队独做,恰好如期完成; 如果乙工作队独做,则超过规定日期3天,现在甲、乙两队合作2天,剩下的由乙队独做,恰好在规定日期完成,求规定日期.如果设规定日期为x天,下面所列方程中错误的是( )
A. B. C. D.
4、 某人骑自行车比步行每小时快8千米,坐汽车比骑自行车每小时快16千米,此人从A地出发,先步行4千米,然后乘坐汽车10千米就到在B地,他又骑自行车从B 地返回A地,结果往返所用的时间相等,求此人步行的速度.

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