2021-2022版高中数学-第七章-三角函数-7.3.2-正弦型函数的性质与图象(二)课时素养评价.doc

2021-2022版高中数学 第七章 三角函数 7.3.2 正弦型函数的性质与图象（二）课时素养评价（含解析）新人教B版必修第三册

2021-2022版高中数学 第七章 三角函数 7.3.2 正弦型函数的性质与图象（二）课时素养评价（含解析）新人教B版必修第三册

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正弦型函数的性质与图象(二)

(20分钟　35分)
1.电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I=2sin 100πt,t∈(0,+∞),则电流I变化的周期是 (　　)
A. B.100 C. D.50
【解析】选C.T==.
2.(2020·长沙高一检测)函数f=Asin(其中A>0,ω>0,
<)的图象如图,则此函数表达式为 (　　)

A.f=3sin
B.f=3sin
C.f=3sin
D.f=3sin
【解析】选B.由图象知A=3,T=4=4π,
则ω==,
图中的点对应正弦曲线中的点(π,0),
所以×+φ=π,解得φ=,
故函数表达式为f=3sin.
【补偿训练】
(2020·贵阳高一检测)函数y=Asin(ωx+φ)+b在一个周期内的图象如图(其中A>0,ω>0,<),则函数的解析式为 (　　)

A.y=2sin+1
B.y=2sin+1
C.y=2sin+1
D.y=2sin+1
【解析】选D.由图象可知,函数的最大值为3,最小值为-1,所以A==2,
b==1,=π-=,即T=π,所以ω===2,函数y=2sin+1,
函数经过点,代入函数方程,
得1=2sin+1,即0=sin,
即+φ=kπ,k∈Z,又<,所以φ=-,
所以函数的解析式为y=2sin+1.
3.(2020·成都高一检测)函数y=sin的图象 (　　)
A.关于直线x=1对称 B.关于点对称
C.关于x轴对称 D.关于y轴对称
【解析】选B.设f=sin,则f=0,
所以,函数f=sin的图象关于点对称,A选项错误,B选项正确;
若函数f=sin的图象关于x轴对称,则与函数的定义矛盾,C选项错误;
因为f(-1)=sin 2≠0,则f(-1)≠f(1),所以函数f(x)=sin(1-x)的图象不关于y轴对称,D选项错误.
4.已知函数f(x)=2sin,若对任意x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)
(x1,x2∈R)成立,则|x1-x2|的最小值为________. 
【解析】因为对任意x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2),
所以f(x1)是最小值,f(x2)是最大值;
所以|x1-x2|的最小值为函数的半个周期,
因为f(x)=2sin的周期T=8π,
所以|x1-x2|的最小值为4π.
答案:4π
5.(2020·天津高一检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,<)的图象与y轴的交点为,它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和(x0+2π,-2).则φ=______,x0=________. 
【解析】由题意知,A=2,且f=2sin φ=1,
所以sin φ=,又<,所以φ=,
又T=(x0+2π)-x0=2π,所以T=4π,
所以ω==,
所以x0+=,解得x0=.
答案:　
6.(2020·成都高一检测)已知函数f=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,<)的部分图象如图所示.
(1)求函数f的解析式;
(2)求函数f在区间x∈上的最大值和最小值.

【解析】(1)由题意可知,A=2,
=,得T=π,解得ω=2.
f=2sin=2,即+φ=+2kπ,k∈Z,
因为<,
所以φ=-,故f(x)=2sin;
(2)当x∈时,2x-∈,
故f(x)min=2sin=-1,f(x)max=2sin=2.

(30分钟　60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.(2020·正定高一检测)已知函数f=Asin的部分图象如图所示,且f(a+x)+f(a-x)=0,则的最小值为 (　　)

A.　 B.　 C.　 D.
【解析】选A.由题意T=-,T=π,
所以函数f(x)在y轴右边的第一个零点为+=,在y轴左边第一个零点是-=-,
所以的最小值是.
2.(2020·台州高一检测)已知函数f=2sin ωx(其中ω>0),若对任意x1∈,存在x2∈,使得f=f,则ω的取值范围为 (　　)
A.ω≥3 B.0<ω≤3
C.0<ω≤ D.ω≥
【解析】选D.由题意可知,f在的值域包含了上的值域,故应当大于等于个周期才能使得值域包含了上的值域,故×≤⇒ω≥.
3.(2020·合肥高一检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,给出下列四个结论:

①f(x)的最小正周期为;
②f(x)的最小值为-4;
③是f(x)的一个对称中心;
④函数f(x)在区间上递增.
其中正确结论的个数是 (　　)
A.4　 B.3　 C.2　 D.1
【解析】选B.由图象知函数f(x)的最小正周期为T=2×=,则ω=4,即f(x)=Asin,又由f=A,得sin=1,由0<φ<π可知φ=,从而f(x)=Asin,又f(0)=2,可得Asin=2,所以A=4,从而f(x)=
4sin,易判断①②正确,而f≠0,所以③错误,
又由2kπ-≤4x+≤2kπ+,k∈Z,
得f(x)的增区间为,k∈Z,
可知当k=-1时,是f(x)的一个增区间,④正确.
【补偿训练】
已知函数f=sin(ω>0)满足f=f=-, 且f在(x0,x0+1)上有最小值,无最大值.给出下述四个结论:
①f=-1;
②若x0=0,则f=sin;
③f的最小正周期为3;
④f在上的零点个数最少为1 346个.
其中正确的结论是 (　　)
A.①②④　　B.①③④　　C.①③　　D.②④
【解析】选C.区间中点为x0+,根据正弦曲线的对称性知f=-1,①正确.
若x0=0,则f=f=-,
即sin φ=-,不妨取φ=-,
此时f=sin,满足条件,
但f=1为上的最大值,不满足条件,故②错误.
不妨令ωx0+φ=2kπ-,ω+φ=2kπ-,两式相减得ω=,即函数的周期T==3,故③正确.
区间的长度恰好为673个周期,
当f=0时,即φ=kπ时,f在开区间上零点个数至少为673×2-1=1 345,故④错误.故正确的是①③.
4.矗立于伦敦泰晤士河畔的伦敦眼(The London Eye)是世界上首座,也曾经是世界最大的观景摩天轮,已知其旋转半径60米,最高点距地面135米,运行一周大约30分钟,某游客在最低点的位置坐上摩天轮,则第10分钟时他距地面大约为
(　　)
A.95米 B.100米 C.105米 D.110米
【解析】选C.设人在摩天轮上离地面高度(米)与时间t(分钟)的函数关系为f(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,φ∈[0,2π)),由题意可知A=60,
B=135-60=75,T==30,所以ω=,
即f(t)=60sin+75.
又因为f(0)=135-120=15,
解得sin φ=-1,故φ=,
所以f(t)=60sin+75=-60cost+75,
所以f(10)=-60×cos+75=105.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.(2020·济南高一检测)如图是某市夏季某一天的温度变化曲线,若该曲线近似地满足函数y=Asin(ωx+φ)+B(0<φ<π),则下列说法正确的是 (　　)

A.该函数的周期是16
B.该函数图象的一条对称轴是直线x=14
C.该函数的解析式是y=10sin+20
D.该市这一天中午12时气温大约是27 ℃
【解析】选ABD.对于A选项,由图象可知,该函数的最小正周期为T=2×
=16,A选项正确;对于B选项,该函数在x=14取得最大值,所以该函数图象的一条对称轴是直线x=14,B选项正确;对于C选项,由图象可得解得
ω===,因为图象经过点,
所以30=10sin+20,
所以sin=1.
因为0<φ<π,所以<+φ<,则+φ=,所以φ=,所以函数解析式为
y=10sin+20,C选项错误;
当x=12时y=10sin+20=10×+20≈27,故D选项正确.
6.已知函数f=sin,-为f的一个零点,x=为f图象的一条对称轴,且f在上有且仅有7个零点,下述结论正确的是 (　　)
A.φ=
B.φ=
C.ω=5
D.f在上单调递增
【解析】选BD.因为x=为f(x)图象的一条对称轴,
-为f(x)的一个零点,
所以ω×+φ=+k1π且ω×+φ=k2π(k1,k2∈Z),
所以ω=2k+1,k∈Z.
因为f(x)在(0,π)上有且仅有7个零点,
所以7π<ωπ+φ≤8π,即<ω≤,所以ω=7,
所以7×+φ=+kπ(k∈Z),
又0<φ<,所以φ=,
所以f=sin,
由-+2kπ≤7x+≤+2kπ得-+≤x≤+(k∈Z),
即f(x)在上单调递增,
所以f(x)在上单调递增,综上BD正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.(2020·宁波高一检测)已知函数f(x)=sin+(ω>0),若函数f(x)的最小正周期为.则ω=________.若ω=2,则函数y=|f(x)|的最小正周期为________. 
【解析】由最小正周期公式可得T=⇒ω=4;若ω=2,画出函数y=|f(x)|的图象,如图:

可以发现,函数y=|f(x)|的最小正周期为π.
答案:4　π
8.(2020·上海高一检测)如图为函数f(x)=Asin(ωx+φ)
的部分图象,M,N是它与x轴的两个交点,D,C分别为它的最高点和最低点,E(0,1)是线段MD的中点,且△OME为等腰直角三角形,则f(x)的解析式为f(x)=________. 

【解析】由已知点E(0,1)是线段MD的中点知A=2,根据△OME为等腰直角三角形,
可得M(-1,0),D(1,2),
所以·=1-(-1),解得ω=;
所以函数f(x)=2sin,
又由M(-1,0)是f(x)图象上的点,由正弦函数的图象与性质知,×(-1)+φ=0,可得φ=,
所以f(x)=2sin.
答案:2sin
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2020·扬州高一检测)已知函数f=Asin(ωx+φ)+B(其中A,ω,φ,B均为常数,A>0,ω>0,<)的部分图象如图所示.

(1)求函数f的解析式;
(2)若先将函数f图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),再将图象向左平移m(m>0)个单位,得到函数g的图象,若g是奇函数,求实数m的最小值.
【解析】(1)由图象可知A==1,B==2,
=-=,所以T==π,
所以ω=2,所以f=sin+2.
由f=sin+2=1,
得+φ=2kπ+,k∈Z,
所以φ=2kπ-,k∈Z,
因为<,所以φ=-.
所以f=sin+2.
(2)由题意g=sin+2,
g=sin+2,
因为g是奇函数,
所以4m-=kπ,k∈Z,
所以m=+,k∈Z,
因为m>0,所以当k=0时,m的最小值为.
10.函数y=sin(ω>0,<)在同一个周期内,当x=时,y取最大值1,当x=时,y取最小值-1.
(1)求函数的解析式y=f(x);
(2)函数y=sin x的图象经过怎样的变换可得到y=f(x)的图象?
(3)若函数f(x)满足方程f(x)=a(0<a<1),求在[0,2π]内的所有实数根之和.
【解析】(1)因为=2× ,所以ω=3,
又因为sin=1,所以+φ=2kπ+,
又|φ|<得φ=-,
所以函数f=sin;
(2)y=sin x的图象向右平移个单位得
y=sin的图象,
再由y=sin图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,得到y=sin的图象;
(3)因为f(x)=sin的周期为π,
所以y=sin在[0,2π]内恰有3个周期,
所以sin=a(0<a<1)在[0,2π]内有6个实数根且x1+x2=,
同理,x3+x4=π,x5+x6=π,
故所有实数根之和为++=.

1.已知函数y=Asin(ωx+φ),(A>0,ω>0)图象上一个最高点P的横坐标为,与P相邻的两个最低点分别为Q,R,若△PQR是面积为4的等边三角形,则函数解析式为y=________. 
【解析】△PQR是面积为4的等边三角形,
可得边长为,高为2A.
那么S=×4A×4A×sin60°×=4,
所以A=,周期T=边长=4;所以ω==.
图象过点,即=sin,
可得φ=.
所以得函数解析式为y=sin.
答案:sin
【补偿训练】
(2020·长沙高一检测)如图函数f(x)=Asin(ωx+φ)
与坐标轴的三个交点P,Q,R满足P(2,0),∠PQR=,M为QR的中点,PM=2,则A的值为 (　　)

A.　　　B.　　　C.8　　　D.16
【解析】选A.设Q(2a,0),a>0,
因为函数f(x)=Asin(ωx+φ)其中A>0,ω>0,|φ|≤与坐标轴的三个交点P,Q,R满足∠PQR=,所以R(0,-2a),
因为M为QR的中点,所以M(a,-a),
因为PM=2,所以=2,
解得a=4(负值舍去),所以Q(8,0),又P(2,0),
所以T=8-2=6,所以T==12,
解得ω=,因为函数经过P(2,0),R(0,-8),
所以
因为|φ|≤,所以φ=-,解得A=.
2.(2020·济南高一检测)已知函数f=Asinωx+(A>0,ω>0)只能同时满足下列三个条件中的两个:①函数f的最大值为2;②函数f的图象可由y=sin的图象平移得到;③函数f图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)请写出这两个条件序号,并求出f的解析式;
(2)求方程f+1=0在区间上所有解的和.
【解析】(1)函数f=Asin满足的条件为①③.
理由如下:由题意可知条件①②互相矛盾,
故③为函数f=Asin满足的条件之一,
由③可知,T=π,所以ω=2,故②不合题意,
所以函数f=Asin满足的条件为①③;
由①可知A=2,所以f=2sin;
(2)因为f+1=0,所以sin=-,
所以2x+=-+2kπ或2x+=+2kπ,
所以x=-+kπ或x=+kπ,
又因为x∈,
所以x的取值为-,,-,,
所以方程f+1=0在区间上所有解的和为.