四川省成都南开为明学校2020-2021学年高二数学3月月考试题-理.doc

四川省成都南开为明学校2020-2021学年高二数学3月月考试题 理

四川省成都南开为明学校2020-2021学年高二数学3月月考试题 理

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姓名：

12

四川省成都南开为明学校2020-2021学年高二数学3月月考试题 理
（说明：试卷总分150分，时间:120分钟）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60 分）
1.与向量平行的一个向量的坐标为(   )
A. B. C. D.
2.设在处可导，则( )
A. B. C. D.
3.正方体中，化简 （ ）
A． B． C． D．
4.函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
5.已知向量，且，则（ 　）
A．-1 B．2 C．-2 D．1
6.在直三棱柱中，已知，，，则异面直线与所成的角为　　
A． B． C． D．
7.如图所示，在平行六面体中，为与的交点.若，则下列向量中与相等的向量是( )
A. B.
C. D.
8.函数的图像在点处的切线方程是,则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.在棱长为1的正方体中,为的中点,则直线与平面所成角为( )
A. B. C. D.
10.已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
11.如图, 为正方体,下面结论错误的是(   )
A. 平面 B.
C. 平面 D.异面直线与角为
12.已知函数在其定义域内既有极大值也有极小值，则实数a的取值范围是（ 　）
A. B. C. D.
二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20 分）
13.已知向量,且与互相垂直,则__________.
14.函数的导函数的图象如图所示, 其中是的根,现给出下列命题:
(1) 是的极小值;
(2) 是极大值;
(3) 是极大值;
(4) 是极小值;
(5) 是极大值.
其中正确的命题是__________.(填上正确命题的序号)
15.如图,在三棱柱中,所有棱长均为1,且底面,则点到平面的距离为______.
16.若在上单调递减，则实数的取值范围是__________

三、解答题（本大题共6小题，共70 分）
17.如图,在棱长为2的正方体中,为的中点.
(1)求的长；
(2)求异面直线与所成的角的余弦值.

18.已知曲线上一点,如下图,求:
(1)点处切线的斜率;
(2)点处的切线方程.

19.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面,，E是的中点，作交于点F．
(1)证明 : 平面；
(2)证明: 平面.

20.设函数. 
1.求的单调区间;
2.求函数在区间上的最小值. 

21.如图,在四棱锥中, 底面,,,,,点为棱的中点.
(1)证明: ;
(2)求直线与平面所成角的正弦值;
(3)若为棱上一点,满足,求二面角的余弦值.

22.已知函数.
(1)讨论函数的单调性.
(2)若，设是函数的两个极值点，若，求证:.

参考答案（理数）
1.答案：C
解析：.
2.答案：A
解析：.
3.答案：A
4.答案：B
5.答案：D
6.答案：C
7.答案：A
解析：.
8.答案：B
解析：由切线斜率可知.又在切线上,.故选B.
9.答案：B
解析：以点为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,则.可得平面的法向量为..直线与平面所成角为.
10.答案：B
解析：由，
得：，
取
得：，
所以，.
故.
11.答案：D
解析：A中因为,正确;B中因为,由三垂线定理知正确;C中有三垂线定理可知,故正确;D中显然异面直线与所成的角为故选D
12.答案：D
解析：解：．
要使函数在其定义域内既有极大值也有极小值，只需方程方程在有两个不相等实根．
即，令，则．
在递增，在递减．其图象如下：

∴．
故选：D．
13.答案：
解析：
14.答案：(1)(2)
解析：
15.答案：
解析：建立如图所示的空间直角坐标系

则,则
设平面的一个法向量为,则有
解得,则所求距离为.
16.答案：
解析：因为函数在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立．因为，所以
17.答案：(1)以,,的正方向分别为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系,
则,,可得,
所以的长为3.

(2)由(1)的坐标系,可得,,,,
所以,,
设异面直线与所成的角为,
所以,
即异面直线与所成的角的余弦值.
解析：
18.答案：1.∵,∴.
∴∴点处切线斜率等于.
2.再点处的斜线方程是,即.
解析：
19.答案：1.证明:连结，交于．连结．
∵底面是正方形
∴点是的中点．在△中，是中位线，
∴//．而平面，
且平面，
所以,//平面
2.∵底面，且底面
∴.
∵ 底面是正方形，有,
，平面，平面,
∴ 平面．
而平面，
∴.
又∵,是的中点，
∴，，
平面，平面.
∴平面．而平面，
∴．又，且，平面，
平面，所以平面
解析：
20.答案：1.定义域为,
由得,
∴的单调递减区间为,单调递增区间为;
2. ,
由得,
∴在上单调递减,在上单调递增,
∴的最小值为.
解析：
21.答案：1.依据题意,以点为原点建立空间直角坐标系(如图),
可得.
由为棱的中点,得.

证明:向量,
故.所以.
2.向量.
设为平面的法向量,
则即
不妨令,可得为平面的一个法向量.
于是有.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
3.向量.
由点在棱上,设.
故.
由,得,因此,
,解得,
则.设为平面的法向量,
则即
不妨令,可得为平面的一个法向量.
取平面的一个法向量,则
.
易知,二面角是锐角,所以其余弦值为.
解析：
22.答案：(1)由题意得，函数的定义域为，.
当时，，
函数在上单调递增.
当时，令，得.
若，则，此时函数单调递增；
若，则，此时函数单调递减.
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
(2)，，
.
由得，
，，.
，，解得.
.
设，
则，
函数在上单调递减.
当时，.
时，成立.