四川省泸县第二中学2020届高三数学三诊模拟考试试题-文.doc

四川省泸县第二中学2020届高三数学三诊模拟考试试题 文

四川省泸县第二中学2020届高三数学三诊模拟考试试题 文

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- 22 -

四川省泸县第二中学2020届高三数学三诊模拟考试试题 文（含解析）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
解不等式，化简集合，根据交集定义即可求解.
【详解】因为，所以.
故选:D
【点睛】本题考查集合间的运算，解对数不等式是解题的关键，属于基础题.
2.已知复数，则复数的共轭复数（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
复数实数化，即可求解.
【详解】因为，所以.
故选:A
【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数定义，属于基础题.
3.记等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 64 B. 48 C. 36 D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】
由等差数列求和公式得，求得，再利用等差数列性质即可求解
【详解】由等差数列性质可知，，解得，故.
故选B
【点睛】本题考查等差数列的性质及求和公式，考查推理论证能力以及化归与转化思想.，是基础题
4.函数的大致图像为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性和特定值依次排除即可得解.
【详解】函数为奇函数，故排除，当取很小的正实数时，函数值大于零，故选A.
【点睛】本题考查了函数的图象、奇偶性，属于基础题.
5.设为双曲线上一点，分别为左、右焦点，若，则（ ）
A. 1 B. 11 C. 3或11 D. 1或15
【答案】C
【解析】
，且或，符合，故或，故选C.
6.已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】
利用“1”的变换，所求式子化为关于的齐次分式，化弦为切，即可求解.
【详解】.
故选:B
【点睛】本题考查同角间三角函关系，弦切互化是解题的关键，属于基础题.
7.已知向量满足，且在方向上的投影是，则实数（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出，再根据在方向上的投影是列方程求解即可.
【详解】因为向量满足，

所以，
若向量的夹角为，
则，
所以，即，解得，故选A.
【点睛】本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.
8.若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A. 264 B. 270 C. 274 D. 282
【答案】A
【解析】
【分析】
本题首先可以通过三视图画出该几何体的直观图，然后通过三视图中各边的长得出该几何体中的各边的长，最后通过表面积计算公式即可得出结果．
【详解】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，
延长交于点，其中，，，
所以表面积，故选A．

【点睛】本题考查三视图的相关性质以及棱柱的表面积的求法，主要考查根据三视图画出几何体的直观图以及通过三视图来确定几何体的边长，考查空间想象能力和运算求解能力，棱柱的表面积是每一个面的面积之和，是中档题．
9.若实数满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】分析：画出不等式组表示的平面区域，的几何意义是点与区域内的点连线的斜率．由图观察斜率的最值，用斜率公式求出斜率，，，即可得所求的取值范围．
详解：不等式组表示的平面区域如图，的边界及其内部．

表示点与区域内的点连线的斜率．
点，所以，．
由图可知．
故选：C.
点睛：（1）解决线性规划有关的问题，应准确画出不等式组表示的平面区域；
（2）目标函数为时，应平移直线，求其最值；
（3）目标函数为形式时，转化为两点连线的斜率来求；
（4）目标函数为形式时，转化为两点间距离来求．
10.已知是定义在上的偶函数，且，如果当时，，则（ ）
A. 3 B. -3 C. 2 D. -2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 得 即f（x）的周期为8，再根据x∈[0，4）时，及f（x）为R上的偶函数即可求出f（766）=f（2）=2．
【详解】由，得，所以是周期为8的周期函数，当时，，所以，又是定义在R上的偶函数所以.
【点睛】本题考查函数的周期性，奇偶性与求值，考查运算求解能力.
11.设，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据对数函数的单调性可得,,根据不等式的性质可知 ;通过比较 与1 的大小关系,即可判断,从而可选出正确答案.
【详解】解:,,则
,

故选:A.
【点睛】本题主要考查了对数的运算，对数函数的单调性.在比较对数的大小时,常常结合对数函数的单调性比较大小.对于,若 ,则(1)当 时,; (2)当 时,; (3)当 时,; 若 ,则(1)当 时,; (2)当 时,; (3)当 时,.
12.函数的零点个数是
A. 0 B. 1 C. 2 D. 与a有关
【答案】A
【解析】
分析】
利用导数求得函数的最小值，这个最小值为正数，由此判断函数没有零点.
【详解】依题意，令.，，令，解得，故函数在上递减，在上递增，函数在处取得极小值也即是最小值，，由于，故，也即是函数的最小值为正数，故函数没有零点.故选A.
【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点问题，考查利用导数研究函数的单调区间、极值和最值，综合性较强，属于中档题.
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.设向量，，若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
由向量垂直得的方程求解即可
【详解】依题意，，即，解得.
故答案为
【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，考查运算求解能力以及化归与转化思想.
14.函数在处的切线方程的纵截距为______.
【答案】
【解析】
【分析】
求，求出切线的斜率和，点斜式写出切线方程，即得切线方程的纵截距.
【详解】，
，又，
函数在处的切线方程为，即.
切线方程的纵截距为.
故答案为：.
【点睛】本题考查导数的几何意义和直线的点斜式方程，属于基础题.
15.如图所示，在棱长为2的正方体中，是底面的中心，、分别是、的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于______.

【答案】
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，写出的坐标，写出向量的坐标，用两向量的夹角公式求出余弦值.
【详解】建立空间直角坐标系，如图所示

则，
，
，
所以异面直线和所成角的余弦值等于.
故答案为：.
【点睛】本题考查异面直线所成的角，属于基础题.
16.数列满足，且对于任意的都有，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得＝+n+2，再由累加法求得an，结合等差数列的求和公式，以及裂项相消求和，计算可得所求和．
【详解】由题＝+n+2，∴，所以，，，…，，上式个式子左右两边分别相加得，即，当n=1时，满足题意，所以，从而.
故答案为
【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，累加法的应用，以及等差数列的求和公式，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于基础题．
三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.如图，已知的内角，，的对边分别是，，，且，点是的中点，，交于点，且，.

（1）求；
（2）求的面积.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）通过正弦定理实现边角转化，再应用余弦定理，可求出．
（2）根据已知条件可以确定，并求出它们的表达式，在中，运用外角与内角的关系、正弦定理，可求出，的大小，最后求出面积．
【详解】解（1），由得，
由余弦定理得，
，:
（2）连接，如下图：是的中点，，，

，
在中，由正弦定理得，
，，
，，
，，，
，，
，
【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理、三角形面积公式．
18.目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如下图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）.潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”.

（1）求这500名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；
（2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关；

短潜伏者
长潜伏者
合计
60岁及以上
90

60岁以下

140
合计

300

（3）研究发现，某药物对新冠病毒有一定的抑制作用，需要在抽取的300人中分层选取7位60岁以下的患者做Ⅰ期临床试验，再从选取的7人中随机抽取两人做Ⅱ期临床试验，求两人中恰有1人为“长潜伏者”的概率.
附表及公式：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

【答案】（1）平均数为,“长潜伏者”的人数为人
（2）列联表见解析,有97.5%的把握认为潜伏期长短与年龄有关
（3）
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图中的数据计算即可
（2）首先将列联表补充完整，然后计算出的观测值即可
（3）由分层抽样知7人中，“短潜伏者”有3人，记为，“长潜伏者”有4人，记为D，E，F，G， 然后列举出所有的情况，然后数出满足所求事件的基本事件的个数即可.
详解】（1）平均数.
“长潜伏者”即潜伏期时间不低于6天的频率为0.5
所以500人中“长潜伏者”的人数为人
（2）由题意补充后的列联表如图：

短潜伏者
长潜伏者
合计
60岁及以上
90
70
160
60岁以下
60
80
140
合计
150
150
300

所以的观测值为，
经查表，得，所以有97.5%的把握认为潜伏期长短与年龄有关.
（3）由分层抽样知7人中，“短潜伏者”有3人，记为，“长潜伏者”有4人，记为D，E，F，G，
从中抽取2人，共有，，，，，，，
，，，，，，，，，
，，，，，
共有21种不同的结果，两人中恰好有1人为“长潜伏者”包含了12种结果.
所以所求概率.
【点睛】本题考查的知识点有：由频率分布直方图估计平均数、分层抽样、独立性检验和古典概型，属于基础题.
19.如图，在多面体中，平面平面.四边形为正方形，四边形为梯形，且，，，.

（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见详解；（2）
【解析】
【分析】
（1）由，平面平面，利用面面垂直的性质定理可得平面，再利用线面垂直的性质定理即可证出.
（2）取上的点，使得，证明且，过作于，则平面，连接，则为直线与平面所成角，求解三角形即可得出答案.
【详解】（1）证明：四边形为正方形，
，
平面平面，且平面平面，
平面，则.
（2）取上的点，使得，
则且，
且，
则四边形为平行四边形，
则且，
由，，
可得，
过作于，则平面，连接，
则为直线与平面所成角，

在中，求得，

直线与平面所成角的正弦值为 .
【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理、线面角，考查了逻辑推理能力，属于基础题.
20.已知椭圆E：过点Q（），椭圆上的动点P与其短轴两端点连线的斜率乘积为－．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设F1，F2分别为E的左、右焦点，直线l过点F1且与E相交于A，B两点，当＝2时，求的面积．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）设点，由 可得，又在上，所以 ，解得 即可求得椭圆方程．
（2）利用设而不求的方法设，结合韦达定理与向量的数量积解答
【详解】解：（1）设，为短轴两端点，，则.
由于 ，∴.①
又在上，∴.②
解①②得，.
所以椭圆的方程为.
（2）设直线：，代入得
.③
设，，则，.④

.⑤
把④代入⑤得
，解得.
由对称性不妨取，则③变为，解得，.
的面积.
【点睛】求椭圆的标准方程关键是由题求得．
设而不求法的一般过程（1）设出直线方程（注意斜率是否存在）和交点坐标，
（2）将直线方程和圆锥曲线方程联立
（3）应用韦达定理
（4）结合题目计算整理
21.已知函数，若曲线在点处的切线方程为.
（1）求实数、的值；
（2）证明：.
【答案】（1），（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意得，，构造函数，利用此函数的单调性可解得，进而得；
（2）通过求导可得有唯一实根，记为，即，所以，进而得，进而利用基本不等式可证得.
【详解】（1），，
又由题意得，，
所以，
所以可得，，构造函数，
则在区间内恒大于0，所以在区间内单调递增，
又，所以关于的方程的根为，
把代入，解得，所以，.
（2）证明：由（1）知，则，
因在区间单调递增，，，
所以有唯一实根，记为，即，所以，
由得，整理得，
因为时，，函数单调递减，
时，，函数单调递增，
所以，
当且仅当，即时取等号，
因为，所以，即.
【点睛】本题主要考查了导数的应用，利用导数处理切线及利用导数求最值证明不等式，用到了导数的常用方法“隐零点”，即通过设出零点代入化简运算处理问题，属于难题.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.在直角坐标系中，圆参数方程为以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆的普通方程；
（2）直线的极坐标方程是，射线：与圆的交点为、，与直线的交点为,求线段的长.
【答案】（1）；（2）1.
【解析】
【分析】
参数方程化为普通方程可得圆的普通方程为.
圆的极坐标方程得，联立极坐标方程可得，，结合极坐标的几何意义可得线段的长为1.
【详解】圆的参数方程为
消去参数可得圆的普通方程为.
化圆的普通方程为极坐标方程得，
设,则由解得，，
设,则由解得，，
.
【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的应用，极坐标的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
23.已知函数．
(1)当时，画出函数的图象；
(2)不等式恒成立，求m的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）当时，求得表达式，进而画出函数图像.（2）求得的最小值为，由此得到成立，利用零点分段法解绝对值不等式求得的取值范围.
【详解】（1）当时，，画出图像如下图所示：

（2）因为，所以不等式成立，等价于成立，该不等式转化为或或，解得.
【点睛】本小题主要考查含有绝对值的函数图像的画法，考查绝对值不等式的解法，属于中档题.