江苏省南通市2020届高三数学下学期6月模拟考试试题.doc

江苏省南通市2020届高三数学下学期6月模拟考试试题

江苏省南通市2020届高三数学下学期6月模拟考试试题

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- 27 -

江苏省南通市2020届高三数学下学期6月模拟考试试题（含解析）
（总分160分，考试时间120分钟）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1.已知集合，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据交集的定义可得答案.
详解】，，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查交集的运算，属于基础题.
2.已知复数（i为虚数单位），则______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据复数模的性质：商的模等于模的商，即可解得结果.
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查复数的模及其性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
3. 某学校共有师生3 200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是________．
【答案】200
【解析】
试题分析：设教师人数为，，解得，故填：200
考点：分层抽样
4.如图是一个算法的流程图，则输出的的值为___________.

【答案】
【解析】
【分析】
列出算法的每一步，可得出输出的值.
【详解】解不等式，解得.
第一次循环，，不满足；
第二次循环，，不满足；
第三次循环，，不满足；
第四次循环，，不满足；
第五次循环，，满足.
因此，输出的值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用程序框图计算程序输出的结果，一般将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于基础题．
5.一个袋子中装有2个红球和2个白球（除颜色外其余均相同），现从中随机摸出2个球，则摸出的2个球中至少有1个是红球的概率为________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求总的摸球方法为，再求摸出的2个球中至少有1个是红球的摸球方法，然后可得概率.
【详解】从4个球中随机摸出2个球共有种摸法，摸出的2个球中至少有1个是红球的摸法有种，所以摸出的2个球中至少有1个是红球的概率为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查古典概率的求解，分别求出总的基本事件和所求事件包含的基本事件是解题关键，侧重考查数学建模的核心素养.
6.一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量（单位：）分别为：，，，，，则这组样本数据的方差为________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出这组样本数据的平均数，由此能求出这组样本数据的方差．
【详解】一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量分别为：
，，，，，（单位：），
所以这组样本数据的平均数为：
，
则这组样本数据的方差为：

.
即这组样本数据的方差为：
故答案为：
【点睛】本题考查方差和平均数的求法，考查运算求解能力，是基础题．
7.已知离心率的双曲线D：的左、右焦点分别为，，虚轴的两个端点分别为，，若四边形的面积为，则双曲线D的焦距为______.
【答案】4
【解析】
【分析】
由四边形的面积为可得，再结合离心率为2以及，解方程组即可得到c，进一步得到焦距.
【详解】由题意，四边形的面积为，所以，即，
所以①，又双曲线离心率为2，所以②，且③，
由①②③，解得，所以焦距.
故答案为：4
【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，涉及到离心率，焦距等知识，是一道容易题.
8.若不等式组表示的平面区域的面积为S，则S的值为________.
【答案】6
【解析】
【分析】
先作可行域，再根据可行域形状求面积.
【详解】作可行域如图阴影部分：平面区域为四边形面积为

故答案为：6
【点睛】本题考查可行域及其面积，考查基本分析求解能力，属基础题.
9.已知圆锥的底面圆心到某条母线的距离为1，则该圆锥母线的长度取最小值时，该圆锥的体积为________.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据等面积得母线的长度与底面半径与高关系，再根据基本不等式求长度取最小值，进而确定底面半径与高的值，最后根据圆锥的体积求结果.
【详解】设圆锥的母线为，半底面径为，高为，
则
当且仅当时，取最小值
因此圆锥的体积为，
故答案为：
【点睛】本题考查圆锥的体积公式、利用基本不等式求最值，考查基本求解能力，属基础题.
10.已知函数（），且（），则______.
【答案】
【解析】
【分析】
解法一：不妨假设，由题意可得，，再利用，以及和差化积公式求得，求得，从而求得的值．

解法二：利用正弦函数的图象的对称性可得，由此求得的值．
【详解】解：解法一：∵函数（），
.
，（），
不妨假设，则，，
，
，，.
再根据

，
，或，
则（舍去）或，
故答案为：.
解法二：∵函数（），
.
（），
则由正弦函数的图象的对称性可得：，
即，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，和差化积公式，根据三角函数的值求角，属于中档题．
11.设函数，则使得成立的的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
先判断函数的奇偶性与单调性，然后利用函数的性质解不等式即可.
【详解】解：∵，
∴，
∴函数的定义域为．
又，
∴为偶函数．
当时，
令，
∵，
∴在上是增函数，
易知函数在上是增函数，
∴在上是增函数．
又为偶函数，
∴，
∴由得，
得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，考查化归与转化能力和运算求解能力．
12.在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于A，B两点，则直线与直线的倾斜角之和为________.
【答案】
【解析】
【分析】
联立直线方程和圆的方程，求得A，B的坐标，再求得直线OA，OB的斜率，然后根据斜率与倾斜角的关系求解.
【详解】联立直线方程与圆的方程得：
，
解得或，
所以，
所以，
因为倾斜角的范围是，
所以直线为，直线的倾斜角为，
所以直线与直线的倾斜角之和为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，直线的斜率与倾斜角的关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
13.各项均为正偶数的数列中，前三项依次成公差为的等差数列，后三项依次成公比为的等比数列.若,则的所有可能的值构成的集合为________.
【答案】
【解析】
【分析】
先假设数列的前三项，使这三项是等差数列，再根据，确定第四项，根据后三项依次成公比为的等比数列，确定公差为的取值范围，最后求出的所有可能的值构成的集合.
【详解】因为前三项依次成公差为的等差数列，，所以这四项可以设为，其中为正偶数，后三项依次成公比为的等比数列，所以有，整理得，得，
，为正偶数，所以
当时，；当时，，不符合题意，舍去；当时，，故的所有可能的值构成的集合为.
【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的性质，考查了数学运算能力.
14.在三角形ABC中，D为BC边上一点，且，，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
设则,在△ABD和△ACD中,由正弦定理化简可得,由两角差的正弦公式,化简可得,根据正弦函数的值域即可求解的最大值.
【详解】如图,由已知,设则,
在△ABC中,由正弦定理可得:,
在△ACD中,由正弦定理可得:.
所以
化简可得:,可得: .
可得的最大值为.

【点睛】本题考查正弦定理在解三角形和化简中的应用,能借助公共边把两个三角形联系起来是解答本题的关键,属于中档题.
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15.已知向量，，且，其中
（1）求的值；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据向量平行坐标表示列方程，再根据同角三角函数关系以及特殊角三角函数值求结果；
（2）根据同角三角函数平方关系以及角的范围得，再利用两角和余弦公式得结果.
【详解】（1）∵，，且
∴，即，
∵，∴，
（2）∵，，
∴.
∵，
∴.

【点睛】本题考查向量平行坐标表示、同角三角函数关系、两角和余弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
16.如图所示，已知在五棱锥中，底面为凸五边形，，，，，F为上的点，且，平面与底面垂直.求证：

（1）平面；
（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；
【解析】
【分析】
（1）如图凸五边形，延长，交于点H.由平面几何知识可证得，再运用线面平行的判定可得证；
（2）由五边形的性质可证得.再运用面面垂直的性质可得证.
【详解】（1）如图凸五边形，延长，交于点H.

∵，∴.
∴为等边三角形，.
∴，即有.
又∵平面，平面，
∴平面.
（2）连结，∵为等边三角形，∴，∴.
又∵，∴为正三角形.又∵，∴.
∵平面平面，平面平面，平面 ，
∴平面.
又∵平面，∴.
【点睛】本题考查空间中的线面平行的判定，面面垂直的性质和判定，关键在于熟练地运用空间中的线线、线面、面面平行和垂直的性质和判定，属于中档题.
17.如图，已知海岛到海岸公路的距离为50km，间的距离为100km，从到，
必须先坐船到上的某一点，船速为，再乘汽车到，车速为，记．

（1）试将由到所用的时间表示为的函数；
（2）问为多少时，由到所用的时间最少？
【答案】(1)=；(2)．
【解析】
试题分析：(1)先把 AD、BC表示成关于的函数，再分别除以车速、船速得坐船坐车的时间，再求两段时间和即可得；(2)对函数求导，由得增区间，由得减区间时有最小值．
试题解析：（1），所以到所用时间，
，
所以到所用时间，
所以,
（2），
令；所以，单调增,
令，则同理，，单调减,
所以，取到最小值；
答：当时，由到的时间t最少．
考点：1、三角函数的定义；2、利用导数求最值．
18.已知圆C方程为，椭圆中心在原点，焦点在x轴上.
（1）证明圆C恒过一定点M，并求此定点M的坐标；
（2）判断直线与圆C的位置关系，并证明你的结论；
（3）当时，圆C与椭圆的左准线相切，且椭圆过（1）中的点M，求此时椭圆方程；在x轴上是否存在两定点A，B使得对椭圆上任意一点Q（异于长轴端点），直线，的斜率之积为定值？若存在，求出A，B坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；定点（2）直线与圆C相切；证明见解析；（3）存在；，或者，
【解析】
【分析】
（1）根据题意得到，解得答案.
（2）将圆化为标准形式，计算圆心到直线的距离与半径作比较得到答案.
（3）根据准线和椭圆过点计算得到，得到椭圆方程，设定点，，计算为定值，得到，计算得到答案.
【详解】（1）圆C的方程可化为：，
由，解得，所以圆C过定点.
（2）圆C的方程可化为：，
圆心到直线l的距离为，
所以直线与圆C相切.
（3）当时，圆C方程为，圆心为，半径为10，
与直线，即相切，所以椭圆的左准线为，
又椭圆过点，则，所以，解得，
所以椭圆方程为.
在椭圆上任取一点（），设定点，，
则对恒成立，
所以对恒成立，
所以，故或，
所以，或者，.
【点睛】本题考查了圆过定点，直线和圆的位置关系，椭圆里的定点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
19.设数列的各项均为不等的正整数，其前项和为，我们称满足条件“对任意的，均有”的数列为“好”数列．
（1）试分别判断数列，是否为“好”数列，其中，，，并给出证明；
（2）已知数列为“好”数列．
① 若，求数列的通项公式；
② 若，且对任意给定正整数（），有成等比数列，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由，运用等差数列的求和公式，通过检验即可判断（2）对任意的，均有，令，则，即，消去，可得从而证明为等差数列，①进而求其通项公式② 若，则，由成等比数列，运用等比中项性质，结合等差数列的通项公式，化简整理，求得的表达式，分析整理由不等式性质，即可得证.
【详解】（1）若，则，所以，
而，
所以对任意的均成立，
即数列是“好”数列；
若，取，
则，，
此时，
即数列不是“好”数列．
（2）因为数列为“好”数列，取，则，即恒成立．
当，有，
两式相减，得（），
即（），
所以（），
所以，
即，即（），
当时，有，即，
所以对任意，恒成立，
所以数列是等差数列．
设数列的公差为，
① 若，则，即，
因为数列的各项均为不等的正整数，所以，
所以，，所以．
② 若，则，
由成等比数列，得，所以，
即
化简得，，
即．
因为是任意给定正整数，要使，必须，
不妨设，由于是任意给定正整数，
所以．
【点睛】本题主要考查了新定义的理解和运用，等差和等比数列的通项公式和求和公式，以及化简整理的运算能力，属于难题.
20.对任意，给定区间，设函数表示实数与所属的给定区间内唯一整数之差的绝对值.
（1）当时，求出的解析式；时，写出绝对值符号表示的解析式；
（2）求，，判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
（3）当时，求方程的实根.（要求说明理由，）
【答案】（1），；，；（2）偶函数，证明见解析；（3）实根为.
【解析】
【分析】
（1）可知区间中唯一整数为，根据定义可得出函数在区间上的解析式，同理可得出函数在区间上的解析式；
（2）根据题中定义求得和的值，可得出，然后利用函数奇偶性的定义证明函数为偶函数，即可得出结论；
（3）要求方程的根，即求的根，对分、、三种情况讨论，去绝对值符号，即可求得方程根的个数.
【详解】（1）当时，中唯一整数为，
由定义知，.
当时，在中唯一整数，
由定义知，；
（2），，，，下面判断是偶函数.
对任何，存在唯一，使得，则，
由可以得出，
即，
由（1）的结论，，即函数是偶函数；
（3），即，其中
当时，，所以方程没有大于的实根；
容易验证为方程的实根.
当时对应的，方程变为，
设，
则，
故当时，函数为减函数，，
方程没有满足的实根；
当时，对应的，方程变为，
设，明显函数为减函数.
，
，则，所以，，
所以方程没有满足的实根.
综上，若时，方程有且仅有一个实数根，实根为.
【点睛】本题考查函数新定义，考查函数解析式的求解以及函数奇偶性的判断，以及利用分类讨论法求方程根的个数，属于中等题.
江苏省南通市2020届高三年级6月份模拟测试
数学附加题
（本部分满分40分，考试时间30分钟）
[选做题]（本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在答题相应的区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（选修4-2：矩阵与变换）
21.设，，试求曲线在矩阵变换下得到的曲线方程．
【答案】
【解析】
试题分析：先借助已知条件求出矩阵，再用矩阵变换求解即可获解.
试题解析：，
设是曲线上任意一点，在矩阵变换下对应的点为，
则，
所以，，且，，
代入，得，即．
即曲线在矩阵变换下的曲线方程为．
考点：矩阵的乘法运算及变换的运用.
（选修4-4：坐标系与参数方程）
22.已知曲线C的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点.
（1）求的长；
（2）求点到A，B两点的距离之积.
【答案】（1）；（2）0.
【解析】
【分析】
（1）把曲线C的极坐标方程化为普通方程，把直线l的参数方程化为普通方程.求出圆心到直线l的距离，则；
（2）点在直线l上，设A，B两点对应的参数分别为，.把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，求出，，则.
【详解】（1）由，得，
，即，
曲线C是以为圆心，2为半径的圆.
直线l的普通方程为.
又圆心到直线l的距离，
.
（2）点在直线l上，设A，B两点对应的参数分别为，.
将代入，可得，
，.
.
【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程的互化、直线的参数方程与普通方程的互化，考查直线的参数方程的应用，属于中档题.
（选修4-5：不等式选讲）
23.已知实数满足，求的最小值.
【答案】
【解析】
【分析】
由柯西不等式知：（x+y+z）2≤[（x）2+（y）2+z2]•[（）2+（）2+12]故2x2+3y2+z2，由此能求出2x2+3y2+z2的最小值．
【详解】由柯西不等式可知：
（x+y+z）2≤[（x）2+（y）2+z2]•[（）2+（）2+12]，
故2x2+3y2+z2，
当且仅当，
即：x，y，z时，
2x2+3y2+z2取得最小值为．
【点睛】本题考查柯西不等式的应用，考查了等号成立的条件，属于基础题．
[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）
24.如图，在直三棱柱中，已知，，，.是线段的中点.

（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求二面角的大小的余弦值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）利用空间向量研究线面角，首先建立恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求面的法向量，最后利用向量数量积求夹角余弦值的绝对值，也是线面角的正弦值（2）利用空间向量研究二面角，首先建立恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求两个平面的法向量，最后利用向量数量积求夹角余弦值，根据图形确定二面角的大小的余弦值与夹角余弦值之间关系.
【详解】因为在直三棱柱中，，所以分别以、、所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则,
因为是的中点，所以，
（1）因为，设平面的法向量，
则，即，取，
所以平面的法向量，而，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
（2），，设平面的法向量，
则，即，取，平面的法向量，
所以，
二面角的大小的余弦值．
考点：利用空间向量研究线面角、二面角
25.已知数列满足…．
（1）求，，的值；
（2）猜想数列的通项公式，并证明．
【答案】(1) (2) ，证明见解析
【解析】
【详解】试题分析：（１）利用等式，求出，，的值；（２）归纳猜想，利用数学归纳法加以证明.
试题解析：
（1）利用题干等式，代入n= 1得，n=2时，n=3时．
（2）猜想：．
证明：①当，2，3时，由上知结论成立；
②假设时结论成立，
则有．
则时，．
由得

，

．
又，则
，
于是．
所以， 故时结论也成立．
由①②得， ．