2020-2021高中数学-第二章-平面向量-2.3.2-3-平面向量的正交分解及坐标表示-平面向量.doc

2020-2021高中数学 第二章 平面向量 2.3.2-3 平面向量的正交分解及坐标表示　平面向量的坐标运算课时作业新人教A版必修4

2020-2021高中数学 第二章 平面向量 2.3.2-3 平面向量的正交分解及坐标表示　平面向量的坐标运算课时作业新人教A版必修4

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2.3.2-3

[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若＝4i＋2j，＝3i＋4j，则2＋的坐标是(　　)
A．(1，－2) B．(7,6)
C．(5,0) D．(11,8)
解析：因为＝(4,2)，＝(3,4)，
所以2＋＝(8,4)＋(3,4)＝(11,8)．
答案：D
2．已知向量a＝(－1,2)，b＝(1,0)，那么向量3b－a的坐标是(　　)
A．(－4,2) B．(－4，－2)
C．(4,2) D．(4，－2)
解析：3b－a＝3(1,0)－(－1,2)＝(4，－2)．
答案：D
3．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b＝(　　)
A．(1，－2) B．(1,2)
C．(5,6) D．(2,0)
解析：b＝(3,2)－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．
答案：A
4．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：
①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；
②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；
③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O；
④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．
其中正确结论的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由平面向量基本定理知①正确；若a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故④错误．
答案：A
5．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为(　　)
A. B.
C．(3,2) D．(1,3)
解析：设点D(m，n)，则由题意知，(4,3)＝2(m，n－2)＝(2m,2n－4)，故解得
即点D，故选A.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．在平面直角坐标系内，已知i、j是两个互相垂直的单位向量，若a＝i－2j，则向量用坐标表示a＝________.
解析：由于i，j是两个互相垂直的单位向量，所以a＝(1，－2)．
答案：(1，－2)

7．如右图所示，已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，则向量的坐标为________．
解析：设点A(x，y)，则x＝||·cos60°＝4cos 60°＝2，
y＝||·sin 60°＝4sin 60°＝6，
即A(2，6)，所以＝(2，6)．
答案：(2，6)
8．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，其中A(1,2)，B(3,2)，则x＝________.
解析：易得＝(2,0)，
由a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等得解得x＝－1.
答案：－1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j作为基底，分别用i，j表示，，，并求出它们的坐标．

解析：由图形可知，＝6i＋2j，＝2i＋4j，＝－4i＋2j，它们的坐标表示为＝(6,2)，＝(2,4)，＝(－4,2)．
10．已知a＝(2，－4)，b＝(－1,3)，c＝(6,5)，p＝a＋2b－c.
(1)求p的坐标 ；
(2)若以a，b为基底，求p的表达式．
解析：(1)p＝(2，－4)＋2(－1,3)－(6,5)＝(－6，－3)．
(2)设p＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
则(－6，－3)＝λ(2，－4)＋μ(－1,3)＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)，
所以
所以所以p＝－a－15b.
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若第三象限的点P满足＝＋λ，则实数λ的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B.
C. D.
解析：方法一　设P(x，y)，则＝(x－2，y－3)，
又＝＋λ＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，
于是由＝＋λ可得，
(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，
所以即
因为点P在第三象限，所以解得λ＜－1.
故所求实数λ的取值范围是(－∞，－1)．
方法二　＝＋＝＋＋λ
＝＋λ＝(5,4)＋λ(5,7)＝(5＋5λ，4＋7λ)，
所以P(5＋5λ，4＋7λ)，
因为点P在第三象限，所以所以λ＜－1.
答案：A
12．在平面直角坐标系中，点A(2,3)，B(－3,4)，如图所示，x轴、y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是________．(只填序号)

①＝2i＋3j；
②＝3i＋4j；
③＝－5i＋j；
④＝5i－j.
解析：i，j互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，有＝2i＋3j，＝－3i＋4j，＝－＝－5i＋j，＝－＝5i－j，故①③④正确．
答案：①③④
13．已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，
∠xOA＝60°，
(1)求向量的坐标；
(2)若B(，－1)，求的坐标．
解析：(1)设点A(x，y)，则x＝||cos 60°＝4cos 60°＝2，y＝||sin 60°＝4sin 60°＝6，
即A(2，6)，
所以＝(2，6)．
(2)＝(2，6)－(，－1)＝(，7)．
14．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求λ与y的值．
解析：(1)设B(x1，y1)，
因为＝(4,3)，A(－1，－2)，
所以(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，
所以
所以
所以B(3,1)．
同理可得D(－4，－3)，
设BD的中点M(x2，y2)，
则x2＝＝－，y2＝＝－1.
所以M.
(2)由＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，
又＝λ(λ∈R)，
所以(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
所以所以