检测技术与自动化装置聂彦林.doc

西安理工大学研究生课程论文/研究报告课程名称： 矩阵论 任课教师： 刘红艳 论文/研究报告题目： 矩阵论在数据处理及相关性质证明上的应用 完成日期： 2013 年 10 月 25日学 科： 检测技术与自动化装置 学 号： 1308110603 姓 名： 聂 彦 林 成 绩： 矩阵论在相关专业方面的应用摘要矩阵作为线性代数里的一个重要概念，在电力电子专业数学分析方面和数据处理方面都有着重要的作用，作为一种独特的数学工具，它能使复杂的计算过程简化，并能证明先关电气特性以及信息提取等。在本文中，我们将介绍两种矩阵论知识在相关专业方面的应用。首先，矩阵分解是实现大规模数据处理与分析的一种有效工具，非负矩阵分解算法是矩阵中所有元素均为非负的条件下对其实现分解，利用矩阵1范数及p范数进行归一化处理线性算法简化数据处理过程。结合非负矩阵分解方法在智能信息处理和模式识别研究方向上，介绍非负矩阵分解的应用实例。另外，微波元件的参数涉及到电力电子技术方面的重要性能分析，本文我们采用酉矩阵的性质，证明微波无耗器件S参数的一个重要性质幺正性。关键词 数据处理，非负矩阵分解，数据处理，酉矩阵引言矩阵分解在很多领域获得了广泛的应用，在数值代数中，利用矩阵分解可以将规模较大的复杂问题转化为小规模的简单子问题来求解；在应用统计学领域，通过矩阵分解得到原数据矩阵的低秩逼近，从而可以发现数据的内在结构特征。矩阵的低秩逼近可以大大降低数据特征的维数，节省存储和计算资源。非负矩阵分解算法是在矩阵中所有元素均为非负的条件下对其实现分解。从计算的角度来看， 矩阵分解的结果中可以存在负值， 但负值元素在实际问题中往往缺失物理意义。非负矩阵分解方法则提供了一种新的矩阵分解思路，由于其分解算法实现简便，分解的结果中不出现负值，而且具有可解释性和明确的物理意义，以及占用存储空间少等优点，已经引起许多科学家和研究人员的广泛重视。一 非负矩阵分解的概念及应用在信息处理及电路分析过程中，许多数据具有非负性的特点，在用线性表示方法处理这类数据时，往往要求分解的结果（包括基向量和系数）都是非负的，采用非负矩阵分析方法可以得到符合实际意义的数据特征。非负矩阵分解是一种多变量分析方法，假设处理m个n维空间的样本数据，用表示，该数据矩阵中各个元素都是非负的，表示。对矩阵进行线性分解，有 ，其中，称为基矩阵，为系数矩阵。若选择r比n小，用系数矩阵代替原数据矩阵，就可以实现对原数据矩阵的降维，得到数据特征的降维矩阵，从而减少存储空间，节约计算资源。非负矩阵分解的算法为了实现矩阵的非负分解，首先需要定义一个损失函数来刻画分解前后的逼近程度，然后在非负性约束下求解。采用乘性迭代规则，更适合非负数据的特点， 即在非负性初始化的基础上，在迭代过程中能简单地保持非负性，而加性迭代规则就需要一个强制将负值变为零的步骤。非负矩阵分解的概率模型将矩阵分解看成如下含加性噪声的线性混合体模型：，其中为噪声矩阵，进一步，也可将上式写成。为了求解因子矩阵B，C，考虑如下的最大似然解。 ，假设噪声服从不同的概率分布，就可以得到不同类型的目标函数。考虑噪声是高斯噪声，即，其中，是对每个观测值给定的权重。令则最大似然解是最小化如下的函数：假设，并忽略因子1/2和常数项，得到根据传统梯度法和乘性迭代算法我们可以得出，在求解矩阵分解过程中，还要求对基矩阵的各列向量进行归一化，例如根据1范数将基向量进行归一化，即要求。得到如下的乘性迭代规则：，。另外，还探讨了将基向量按范数进行归一化的情形。非负矩阵分解算法的应用由于算法实现的简便和有效性，非负矩阵分解已成为模式识别研究领域中特征提取和数据降维的一种新方法，在高维数据处理中有着广泛的应用前景。在图像处理领，将非负矩阵分解应用于机器人对外界环境感知的非监督学习中，用以提取图像中有意义的部分特征。由于非负性约束使得分解的基向量和组合系数中的大量元素为零或接近于零，因此这种表示方式属于稀疏编码，占用的存储空间少。在有遮挡的情况下，非负矩阵分解具有很强的鲁棒性能。非负矩阵分解是一种专门针对非负数据分析的矩阵分解方法，其基本思想是对非负数据进行线性非负分解，在功能上，它实现了对大脑的基于部分感知功能的模拟：在算法上，采用简单有效的乘性迭代规则，很好地保持了非负性；在应用中，非负性的数据大量存在，且非负分解的结果具有明确的物理含义；作为一种低秩逼近算法，能有效节约存储和计算资源。二酉矩阵的应用在设计微波系统时，系统是由微波元件和微波传输线连接而成，而微波元件是由各种不均匀区域或不连续性区域所组成的。当然,从Maxwell方程出发，电磁场的边值问题，可求出微波元件内部任一点的场，从而确定其对外部相连的电路产生的影响。但大多数微波元件的边界条件很复杂,难以用数学形式表示。特别是在工程上,我们主要关心的不是微波元件的内部场,而是它的外部特性。比如:VSWR(电压驻波比)、f(带宽)、P(功率)、（反射系数)、G(功率增益)等。因此，通常把任意一微波元件看成n端口元件，将微波元件等效为“路”的问题去分析。采用ScatteringMatrix来研究微波元件，即从归一化的入射波和反射波出发，考虑到微波波段可测的电参量只有功率和反射系数，则使用散射参数(即S参数)来描述微波元件的外部特性。这个参数能使用网络分析仪很方便地测出实际各种微波元件的S参数，从而得到、P、f、G等参数。也可以根据S参数的定义,即元件网络端口的归一化入射波和反射波之间关系的网络参数，用矩阵论的数学方法，理论计算出各S参数与微波元件的电参数的关系。在这里利用酉矩阵的基本性质，即酉矩阵A满足下式证明无耗网络散射矩阵的幺正性。根据定义 其中称为n端口网络的散射参数。根据定义在n端口网络中有，；，图1对于如图所示的微波元件等效网络的不均匀区，设其内部无源，除n个端口外，其余部分与外界没有场的联系。对于这样的波导结构，作一封闭曲面S，将其包围起来，各端口的参考面也选在S面上，则由复坡印廷定理可得流进一个闭合面的复功率与这个闭合面内消耗的功率和储能的关系为：由于仅在各参考面上场量不为零，所以有即有如下表达式：若将k端口的电压电流即用归一化的表示则有把带入上式，并让等号两边的实、虚部分别相等可得：若网络无耗，必有即则有利用酉矩阵的性质 可得，因为式中，是任意的，要使上式成立，必有，或即证明了无耗网络散射矩阵的性质幺正性。矩阵理论是一门具有实用价值的工程数学理论，已经成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力的工具。在求解微波元件与电磁场的有关解的时候,矩阵更是不可缺少的数学工具。特别是随着计算机的广泛应用，一些有关矩阵求解的应用软件被开发出来(如Matlab)，使用矩阵的解法会使复杂的电磁场理论计算变得如此简单。矩阵论在各学科上的广泛应用充分体现了它的数学优势，为解决各类复杂系统及参数的数学分析提供了更加简洁快速的方法，为其它学科的发展做出了巨大贡献，从而也为矩阵的应用开辟了更为广阔的前景。参考文献【1】 刘维湘，郑南宁.非负矩阵分解及其在模式识别中的应用科学通报，2006【2】 程云鹏.矩阵论.西安：西北工业大学出版社，1988【3】 廖承恩.微波技术基础.西安：西安电子科技大学出版社，1994【4】 李萍，袁涛.矩阵论在研究微波元器件中的应用.无线通信技术研究学报，2002