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湘潭县一中岳阳县一中12月高二联考
文科数学
时量：120分钟 分值：150分
本试卷分为第Ⅰ卷（基础部分100分）和第Ⅱ卷（能力部分50分）两部分，共150分，考试用时120分钟
第Ⅰ卷（基础部分100分）
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．请将答案填涂在答题卡上
1.若∈R,则“=1”是“||=1”的 （ ）
A．充要条件 B．必要而不充分条件
C．充分而不必要条件 D．既不充分又不必要条件
2.下列通项公式表示的数列为等差数列的是 ( )
A、 B、 C、 D、
3.若函数f(x)＝的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为( )
A．(－2,2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2,2]
4.直线l：x－2y＋2＝0过椭圆左焦点F1和一个顶点B，则该椭圆的离心率为
( )
A . B. C. D.
5. 函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)
在开区间(a，b)内有极小值点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
6. 命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是
A所有不能被2整除的数都是偶数 B所有能被2整除的数都不是偶数
C存在一个不能被2整除的数是偶数 D存在一个能被2整除的数不是偶数
7. 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．若的定义域为，恒成立，，则解集为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 请将答案填在答卷相应位置上
9. 已知x>，则函数y＝2x＋的最小值是
10. 在△ABC中,若,则的大小为
11. 已知命题函数在上单调递增;命题不等式的解集是.若且为真命题,则实数的取值范围是_ ____.
12.已知,满足则的最大值为
13．.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1>0，S8＝S13，Sk＝0，则k的值为
三．解答题：本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14. （本小题满分11分）已知点 D 为ΔABC 的边 BC 上一点.且 BD =2DC, ∠ACD=30°,AD =.
求：(I)求CD的长; (II)求ΔABC的面积
15. （本小题满分12分）已知为等差数列的前项和,且.
(Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)求数列的前项和公式.
16. （本小题满分12分）已知函数
⑴若为的极值点，求的值；
⑵若的图象在点处的切线方程为，求在区间上的最大值；
O
A2
A1
F1
x
P
y
Ⅱ卷（能力部分50分）
一．选择题：（5分）
17如图，双曲线的左焦点为F1，顶点为A1，A2，P是双曲线上任意一点，则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆位置关系为( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.以上情况都有可能
二．填空题：（5分）
18.设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为 .
三．解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19（本小题满分13分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为．（1）当时，写出失事船所在位置的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？
20（本小题满分13分）.已知数列的首项，前项和为，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设函数，是函数的导函数，令，求数列的通项公式，并研究其单调性
21（本小题满分14分）.已知椭圆的离心率为，两焦点之间的距离为4。
（I）求椭圆的标准方程；
（II）过椭圆的右顶点作直线交抛物线于A、B两点，
（1）求证：OA⊥OB；
（2）设OA、OB分别与椭圆相交于点D、E，过原点O作直线DE的垂线OM，垂足为M，证明|OM|为定值。
岳阳县一中、湘潭县一中高二联考
数学（文科）试题
本试卷分为第Ⅰ卷（基础部分100分）和第Ⅱ卷（能力部分50分）两部分，共150分，考试用时120分钟
第Ⅰ卷（基础部分100分）
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．请将答案填涂在答题卡上
1.若∈R,则“=1”是“||=1”的 （ C ）
A．充要条件 B．必要而不充分条件
C．充分而不必要条件 D．既不充分又不必要条件
2.下列通项公式表示的数列为等差数列的是 ( D )
A、 B、 C、 D、
3.若函数f(x)＝的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为( D )
A．(－2,2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2,2]
4.直线l：x－2y＋2＝0过椭圆左焦点F1和一个顶点B，则该椭圆的离心率为
( B )
A . B. C. D.
5. 函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)
在开区间(a，b)内有极小值点的个数为( A )
A．1 B．2 C．3 D．4
6. 命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( D )
A.所有不能被2整除的数都是偶数 B.所有能被2整除的数都不是偶数
C.存在一个不能被2整除的数是偶数 D.存在一个能被2整除的数不是偶数
7. 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（ B ）
A． B． C． D．
8．若的定义域为，恒成立，，则解集为（ B ）
A． B． C． D．
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 请将答案填在答卷相应位置上
9. 已知x>，则函数y＝2x＋的最小值是 3
10. 在△ABC中,若,则的大小为
11. 已知命题函数在上单调递增;命题不等式的解集是.若且为真命题,则实数的取值范围是_ _____.
12.已知,满足则的最大值为 3
13．.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1>0，S8＝S13，Sk＝0，则k的值为 21
三．解答题：本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14. （本小题满分11分）已知点 D 为ΔABC 的边 BC 上一点.且 BD =2DC, ∠ACD=30°,AD =.
(I)求CD的长; (II)求ΔABC的面积
解:(I)因为,所以 ------2分
在中,,根据正弦定理有 所以---5分
(II)所以 又在中,,
------8分
所以 所以 ---11分
15. （本小题满分12分）已知为等差数列的前项和,且.
(Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)求数列的前项和公式.
解(Ⅰ)设等差数列的公差为, 因为
所以解得 ----4分
所以 -----6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,令 则, 又
所以是以4为首项,4为公比的等比数列, -----10分
设数列的前项和为
则 ---12分
16. （本小题满分12分）已知函数
⑴若为的极值点，求的值；
⑵若的图象在点处的切线方程为，求在区间上的最大值；
解：⑴， ----2分
∵是的极值点，∴，即，解得或2．----5分
⑵∵在上．∴，∵在上，∴，又，∴，∴，解得，----8分
∴，由知和是的极值点—10分
∵，∴在区间上的最大值为8．--12分
O
A2
A1
F1
x
P
y
Ⅱ卷（能力部分50分）
一．选择题：（5分）
17如图，双曲线的左焦点为F1，顶点为A1，A2，P是双曲线上任意一点，则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆位置关系为( B )
A.相交 B.相切 C.相离 D.以上情况都有可能
二．填空题：（5分）
18.设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为 -2 .
三．解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19（本小题满分13分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为．（1）当时，写出失事船所在位置的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？
[解](1)时,P的横坐标xP=,代入抛物线方程 ----2分
中,得P的纵坐标yP=3 ----4分
由|AP|=,得救援船速度的大小为海里/时 -------6分
(2)设救援船的时速为海里,经过小时追上失事船,此时位置为. ---8分
由,整理得 ---10分
因为,当且仅当=1时等号成立,
所以,即.
因此,救援船的时速至少是25海里才能追上失事船 -------13分
20（本小题满分13分）.已知数列的首项，前项和为，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设函数，是函数的导函数，令，求数列的通项公式，并研究其单调性
即……………11分
而所以，作差得
所以是单调递增数列。 …………… 13分
21（本小题满分14分）.已知椭圆的离心率为，两焦点之间的距离为4。
（I）求椭圆的标准方程；
（II）过椭圆的右顶点作直线交抛物线于A、B两点，
（1）求证：OA⊥OB；
（2）设OA、OB分别与椭圆相交于点D、E，过原点O作直线DE的垂线OM，垂足为M，证明|OM|为定值。
【答案】解：（Ⅰ）由得，故．
所以，所求椭圆的标准方程为． ……………………（4分）
（Ⅱ）（1）设过椭圆的右顶点的直线的方程为．
代入抛物线方程，得．
设、，则
∴＝＝0．
∴． ……………………（8分）
（2）设、，直线的方程为，代入，得
．
于是．
从而
，．
代入，整理得．
∴原点到直线的距离为定值． ……………………（14分）
10
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