基于高阶内模迭代学习的关节机器人控制研究.pdf

2024年 第48卷 第1期Journal of Mechanical Transmission基于高阶内模迭代学习的关节机器人控制研究周秦源 胡贤哲（中南林业科技大学 机电工程学院，湖南 长沙 410004）摘要 为了提升关节机器人在非严格重复条件下工作过程中的跟踪精度及响应速度，设计了三关节机器人模型，进行运动学及动力学分析来验证模型结构合理。针对关节机器人系统非重复性、非线性的特点，提出将高阶内模迭代学习控制算法应用于关节机器人系统控制中，设计合理的学习增益及更高的内模阶数，从理论上严格证明其收敛性。设计了仿真对比实验及加入扰动后的轨迹跟踪实验，结果表明，高阶内模迭代学习算法收敛速度更快并且具有良好的控制效果。关键词 关节机器人 高阶内模 迭代学习控制 轨迹跟踪Research on Articulated Robot Control Based on High-order Internal Model Iterative LearningZhou Qinyuan Hu Xianzhe(School of Mechanical and Electrical Engineering,Central South University of Forestry and Technology,Changsha 410004,China)Abstract In order to improve the tracking accuracy and response speed of the articulated robot in the working process under non-strict repetitive conditions,a three-joint articulated robot model is designed,and the kinematics and dynamics analysis are carried out to verify the reasonable structure of the model.In view of the non-repetitive and nonlinear characteristics of the articulated robot system,it is proposed that a high-order internal model iterative learning control algorithm can be applied to the control of the articulated robot system.A reasonable learning gain and a higher internal model order are designed to strictly prove its convergence in theory.The simulation contrast experiment and the trajectory tracking experiment after adding the disturbance are designed.The results show that the high-order internal model iterative learning algorithm converges faster and has good control effect.Key words Articulated robot High-order internal model Iterative learning control Trajectory tracking0 引言关节机器人结构紧凑，灵活性强，工作空间较大，避障性好，广泛应用于工业机器人中1。机器人是一个多输入、多输出的非线性系统，其控制目的是使关节或末端执行器以理想的动态性能跟踪上期望的轨迹或者稳定在指定的位置，即轨迹跟踪控制和位置控制2。而关节机器人系统具有难以精确建模、时变性、强耦合性等动力学特性，且面对不同工况下作业环境干扰的不确定性，控制起来十分复杂。轨迹跟踪控制一直是机器人学与自动化领域的研究重点之一3-5。迭代学习算法是一种针对做重复动作的轨迹跟踪系统的控制方法，不需要精确的系统模型，只由数据驱动，理论本质是针对能反复运行的非线性系统，利用上次或前几次的跟踪误差，在反复学习中不断更新控制律，最终实现对参考轨迹的完全跟踪，适用于高度非线性及存在不确定扰动的关节机器人系统6-8。传统的迭代学习控制框架要求过程具有严格的可重复性，但实际应用中很难满足这一要求。关节机器人需要执行复杂、多变的任务，这就意味文章编号：1004-2539（2024）01-0020-08DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2024.01.00420第1期周秦源，等：基于高阶内模迭代学习的关节机器人控制研究着每次任务的参考轨迹是不完全相同的9-10。高阶内模是一种描述时域-迭代域变化规律的数学方法。在系统运行中，相邻的两次迭代之间的变化规律可表示成高阶内模形式，将高阶内模规律嵌入迭代学习控制律中，能充分利用系统中已知的非严格重复规律简化学习过程，适用于关节机器人控制11。文献12对迭代学习控制提到了参考轨迹的非严格重复性问题，而这些变化规律可以用高阶内模表示。文献13引入算子来描述迭代域的变化情况。文献14针对连续系统参考轨迹的迭代域非严格重复性问题，将高阶内模和迭代学习控制方法相结合，并证明了基于高阶内模的迭代学习方法的有效性。文献15针对带不确定参数的非线性系统的迭代学习问题，使用高阶内模描述时变且沿迭代域变化的参数，并设计了基于高阶内模的参数学习律。针对关节机器人非重复性、非线性的系统特性，本文提出了高阶内模迭代学习控制算法，优化控制参数，完成了收敛性证明。通过仿真实验，对比了P、D型迭代学习与2阶及更高阶内模控制的迭代学习轨迹跟踪效果，同时对比了加入扰动后的轨迹跟踪效果，验证了高阶内模迭代学习算法应用于机器人系统的优越性，通过提升机器人的响应速度以及跟踪效果来优化机器人性能。1 机器人模型建立及运动学分析三关节机器人结构如图 1 所示。通过 Denavit-Hartenberg（D-H）参数法建立三关节机器人系统各关节的参考坐标系，其结构参数如表1所示。根据D-H法以及机器人的结构，可以得出其相邻连杆间的齐次变换矩阵为A1=cos10sin10sin10-cos1001000001（1）A2=cos2-sin20L2cos2sin2cos20L3sin200100001（2）A3=cos3-sin30L3cos3sin3cos30L3sin300-100001（3）则机器人末端位姿矩阵0T3可以表示为0T3=nxoxaxpxnyoyaypynzozazpz0001=A1A2A3（4）对0T3中末端位置信息px、py、pz展开后，分别为px=cos1 L3cos(2+3)+L2cos2py=sin1 L3cos(2+3)+L2cos2pz=L3sin(2+3)+L2sin22 三关节机器人动力学分析定义拉格朗日函数为L=K-P（5）式中，L为拉格朗日函数；K为系统的动能；P为系统势能。因此，机械臂的动力学方程为Ti=t（Lqi）-Lqi（6）式中，Ti为第i个关节的转矩；qi为第i个关节的位置。最终计算得Ti=j=1nDijqi+Ii(act)qi+j=1nk=1nDijkqjqk+Di（7）式中，qi为第i个关节的速度；qi为第i个关节的加速度。等号右边第一项为角加速度惯量项，第二项为驱动器惯量项，第三项为科氏力和向心力项，第四项为重力项。角加速度惯量项的系数Dij计算式为图1机器人结构Fig.1Structure of the robot表1机器人D-H参数Tab.1D-H parameters of the robot杆件0-11-22-Hi123di000ai0L2L3i/（）900021第48卷Upi=0Tpqi=A1A2QiAiAp（8）Dij=p=max(i，j)nTrace(UpiJpUTpi)（9）式中，0 Tp为由基坐标系到第p个关节的姿态变换矩阵；Jp为伪惯量矩阵。Jp=(-Ixx+Iyy+Izz)/2IxyIxzmpx pIxy(Ixx-Iyy+Izz)/2Iyzmpy pIxzIyz(Ixx+Iyy-Izz)/2mpz pmpx pmpy pmpz pmp（10）科氏力和向心力项的系数Dijk计算式为Upjk=Upjqk（11）Dijk=p=max(i，j，k)nTrace(UpjkJpUTpjk)（12）重力项的计算式为Di=p=in(-mpgTUpir p)（13）式中，mp为第 p个连杆的质量；gT为 14的重力矢量；-rp为连杆质心的矢量。由式（6）可得机器人各关节的运动方程为1=ddt(T1)2=ddt(T2)3=ddt(T3)进一步展开为1=(I1xx+I2xx+I3xx)+m1L21+m2(L1+L2C2)2+m3(L1+L2C2+L3C23)21-2m2(L1+L2S2)L2S2S3+m3(L1+L2C2+L3C23)L2C212-2m3(L1+L2C2+L3C23)L3S23123（14）2=(I2xx+m2L22+m3L22+m3L2L3C3)2+(I3xx+m3L23+m3L2L3S3)23-m3L2L3S323-m3233L2L3C3233+m2(L1+L2S2)21L2S2+m3(L1+L2C2+L3C23)21L3S23（15）3=I3xx23+m3L2323+m3L2L3S32+m3(L1+L2C2+L3C23)L3S2321+m3L2L3S322（16）式中，i为关节i的转矩；Iixx为第i个连杆的伪惯量分量。3 基于高阶内模的迭代学习控制3.1系统描述考虑一个存在匹配干扰的非严格重复、非线性系统为 xi(t+1)=f xi(t)+B(t)ui(t)+d(t)yi(t)=C(t)xi(t)（17）式中，x、u、y 分别为系统的状态、输入和输出；B（t）、C（t）为两个未知的时变参数；d(t)为系统干扰；f为未知的向量值非线性函数。系统在有限时间区间内可重复运行。3.2高阶内模迭代学习控制器设计16记yri(t)为时变参考轨迹，而控制任务就是跟踪这个参考轨迹。在传统迭代学习控制中，被控系统通过控制器来跟踪一个随迭代不变的参考轨迹。而在高阶内模迭代学习中，需利用高阶内模来生成一个随迭代变化的参考轨迹yri(t)，进而构造一个迭代域上的动态模型。首先，在迭代域上引入算子-1i(t)=i-1(t)，t 0，T（18）式中，i(t)为关于时间t和迭代i两个指标的函数。假设迭代变化的参考轨迹yri(t)满足如下高阶内模yri+1=H(-1)yri（19）式中，H(-1)为一个多项式算子，即H(-1)=h1+h2-1+hm-m+1（20）式中，hi为m次稳定特征多项式的已知系数，i=1，m。式（20）被称为参考轨迹的m阶内模。传统迭代学习控制中，迭代不变的参考轨迹（yri+1=h1yri）是 式（20）的 一 种 特 殊 情 况 下 的 1 阶 内 模，h1=1，hj=0。根据式（19）和式（20），m阶内模的参考轨迹可以写为yri+1(t)=h1yri(t)+h2yri-1(t)+hmyri-m+1(t)（21）控制目标是设计一个迭代学习定律ui(t)，这样当i 时，系统输出yi(t)尽可能跟踪上参考轨迹22第1期周秦源，等：基于高阶内模迭代学习的关节机器人控制研究yri(t)。跟踪误差定义为ei(t)=yri(t)-yi(t)。为了实现这一目标，提出了一个基于n阶内部模型的简单P型迭代学习律，即ui+1(t)=h1ui(t)+h2ui-1(t)+hnui-n+1(t)+1ei(t)+2ei-1(t)+nei-n+1(t)（22）或等价地写为ui+1=H(-1)ui+(-1)ei（23）式中，(-1)=1+2-1+n-n+1；j为学习增益。4 收敛性证明假设1：对于系统中非线性函数f(t)，满足局部利普希兹条件，即在区间D，满足F(t1)-F(t2)lf|t1-t2|式中，t1，t2 D；lf为利普希兹常数。假设2：系统的初始值均为0，即yri(0)=C(0)xri(0)=yi(0)=C(0)xi(0)假设3：设范数为f(t)=supt 0,T e-tf(t)。假设 4：系统的状态、输入、输出是有界的，0，使得x(t)+u(t)+y(t)。假设 5：系统矩阵A(t)、B(t)和C(t)均是有界的。系统的第i+1次迭代的输出误差可以写为ei+1(t+1)=yri+1(t+1)-yi+1(t+1)=H(-1)yri(t+1)-yi+1(t+1)=H(-1)ei(t+1)+H(-1)yi(t+1)-yi+1(t+1)（24）将系统方程（17）代入式（24）得ei+1(t+1)=Hz(-1)ei(t+1)-C(t+1)B(t)z(-1)ei(t+1)-ei(t)-C(t+1)f xi+1(t)+Hz(-1)C(t+1)f xi(t)+C(t+1)f Hz(-1)xi(t)-C(t+1)f Hz(-1)xi(t)（25）令fi(t)=f H(-1)xi(t)-H(-1)f xi(t)，式（25）可以改写为ei+1(t+1)H(-1)-C(t+1)B(t)(-1)ei(t+1)+C(t+1)B(t)(-1)ei(t)+C(t+1)f xi+1(t)-f H(-1)xi(t)+C(t+1)fi(t)（26）根据局部利普希兹条件，有ei+1(t+1)H(-1)-C(t+1)B(t)(-1)ei(t+1)+C(t+1)B(t)(-1)ei(t)+lfC(t+1)xi+1(t)-H(-1)xi(t)+C(t+1)fi(t)（27）现在求解xi+1(t)-H(-1)xi(t)的上限xi+1(t+1)-H(-1)xi(t+1)=f xi+1(t)+B(t)ui+1(t)-H(-1)f xi(t)+B(t)ui(t)（28）对式（28）取范数，当t=0时，有xi+1(1)-H(-1)xi(1)lfxi+1(0)-H(-1)xi(0)+if(0)+B(0)(-1)ei(1)-ei(0)（29）代入系统初值，有yri(0)=C(0)xri(0)=yi(0)=C(0)xi(0)xri(0)=xi(0)xi+1(0)=H(-1)xi(0)xi+1(1)-H(-1)xi(1)fi(0)+B(0)(-1)ei(1)-ei(0)（30）xi+1(2)-H(-1)xi(2)lffi(0)+lfB(0)(-1)ei(1)-ei(0)+fi(1)+B(1)(-1)ei(2)-ei(1)（31）依此类推xi+1(t)-H(-1)xi(t)j=0t-1lt-1-jfB(j)(-1)ei(j+1)-ei(j)+j=0t-1lt-1-jffi(j)（32）综上有ei+1(t+1)H(-1)-C(t+1)B(t)(-1)ei(t+1)+C(t+1)B(t)(-1)ei(t)+C(t+1)j=0t-1lt-jfB(j)(-1)ei(j+1)+C(t+1)j=0t-1lt-jfB(j)(-1)ei(j)+C(t+1)j=0t-1lt-jffi(j)+fi(t)（33）将式（33）两端同乘e-(t+1)，在区间0，T取该式的上确界可得ei+1(t+1)Hz(-1)-C(t+1)B(t)z(-1)ei(t+1)+supt 0，T e-(t+1)C(t+1)j=0t-1lt-jfB(j)z(-1)ei(j+1)+supt 0，T e-(t+1)C(t+1)B(j)z(-1)ei(j)+23第48卷supt 0，T e-(t+1)C(t+1)j=0t-1lt-jfB(j)z(-1)ei(j)+supt 0，T e-(t+1)C(t+1)j=0t-1lt-jffi(j)+fi(t)（34）对式（34）右侧各项进行分析可得supt 0，T e-(t+1)j=0t-1lt-jffi(j)supt 0，T e-(t+1)j=0t-1a(1-)t-2a(-1)j2e-jfi(t)a-21-a(1-)T2a(1-)T2-1fi(t)（35）式 中，fi(t)=supt 0，T e-tfi(t)；a2=max e，lf。因此可得supt 0，T e-(t+1)fi(t)e-fi(t)（36）supt 0，T e-(t+1)j=0t-1lt-jfB(j)z(-1)ei(j+1)z(-1)ei(j+1)a-(t+1)2bBj=0t-1at-j+(j+1)21-a(1-)T2a(1-)T2-1bBz(-1)ei(j+1)（37）式中，bB=supt 0，TB(t)为B(t)的界。supt 0，T e-(t+1)j=0t-1lt-jfB(j)z(-1)ei(j)e-1-a(1-)T2a(1-)T2-1bBz(-1)ei(j+1)（38）根据以上结果代入式（36）得ei+1(t+1)j=1m+1hzj-C(t+1)B(t)zjei-j+1(t+1)+bCbBj=1m+1|zjei-j+1(t+1)+lfbCxi+1(t)-Hz(-1)xi(t)+bCfi(t)（39）式中，bC=supt 0，TC(t)为C(t)的界。ei+1(t+1)j=1m+1hzjIm-C(t+1)B(t)zjei-j+1(t+1)+(2+1)a-2bCbBj=1m+1|zjei-j+1(t)+lfbCxi+1(t)-Hz(-1)xi(t)+2bCbBj=1m+1|zj|ei-j+1(t+1)+(2bB+1)a-2bCfi(t)（40）令i=(2bB+1)a-2bCfi(t)i，j=hz(i+1-j)Im-C(t+1)B(t)z(i+1-j)+2bCbB|z(i+1-j)|i，j=(2+1)a-2bCbB|z(i+1-j)|将式（40）在t 0，T 上展开，令Ei+1=ei+1(1)ei+1(T+1)T+1=0Ti=0，i0001，i1，i00 00T，iT，i可以得到Ei+1=j=0iiEj-1+T+1（41）根据假设4，xk(t)是有界的，当足够大时，2为极小的常数。进而ek+1(t+1)的特征多项式可以决定ek+1(t+1)的收敛特性P(z)=zm+1-j=0mzjt，i-j（42）式 中，t,j=hz(i+1-j)-C(t)B(t-1)z(i+1-j)。有limi ei(t)，是任意小的常数。由于f(xk)是非线性的，若P(z)的所有特征的特征值位于单位圆内，则有limi ei(t)，为任意小的正常数；由于ei(t)ei(t)，则有limi ei(t)0，0为任意小的正常数。5 仿真实验在Matlab-Simlink中搭建三关节机器人的仿真模型，设计具体参数如表2所示。表2中，m为质量；l为连杆长度；d为重心到旋转轴的距离。考虑了在迭代变化参考轨迹中的一个 2阶内部模型H(-1)=2cos(0.1)-1（43）表2三关节机器人杆件参数Tab.2Member parameters of three joint robots关节123mi/g2 2759893 421li/mm82313231di/mm12015010624第1期周秦源，等：基于高阶内模迭代学习的关节机器人控制研究追踪的关节空间参考轨迹为yri+1(t)=2cos(10)yri-1(t)-yri-2(t)（44）第一次和第二次迭代的追踪轨迹分别为yr1(t)=-0.22(60t3-302t4-30t2)yr2(t)=-0.22(60t3-312t4-28t2)（45）输出追踪参考轨迹中内含的2阶内模系数为h1=2cos(10)，h2=-1在迭代域和时域下变化的参考轨迹如图2所示。参考轨迹满足多项式（46）的特征根，是一对位于单位圆上的共轭复根；参考轨迹在迭代域上不断变化，不会重复，且不会收敛到0。H(z)=z2-2cos(10)z+1（46）选择学习增益为1=28/，2=-15.8/，则高阶内模迭代学习控制律设计为ui(t)=2cos(10)ui-1(t)-ui-2(t)+28ei-1(t)-15.8ei-2(t)（47）假 设 初 始 输 入 为u1(t)=0和u2(t)=1，t 0，T。使 用 最 大 绝 对 跟 踪 误 差（|ei|max=max|ei(t)|）来评估控制性能，控制结果如图 3所示。最大跟踪误差随着迭代次数增加而减小并收敛。设置目标精度e为1 10-5，经过测试得出，P、D型迭代学习算法分别在第48次、第27次迭代收敛到目标精度e，而2阶内模迭代学习算法在第8次迭代就收敛到目标精度 e。当完成 50次迭代后，P、D型及 2阶内模迭代学习算法的最终误差分别为8.8 10-6、1.2 10-6和1.15 10-11。由以上实验数据看出，相较于传统的P、D型迭代学习算法，高阶内模迭代学习算法有着更快的收敛速度，同时收敛精度更高，充分体现了高阶内模迭代学习算法的优越性。图4与图5分别为机器人各关节轨迹跟踪曲线图与各关节误差曲线图。由图4、图5可知，在经过高阶内模迭代学习控制并完成15次迭代后，机器人三关节的最终跟踪曲线能够很好地跟上期望曲线，且关节误差逐渐收敛于0，证明高阶内模迭代学习算法能解决系统中的非重复性问题，完成对机器人的控制。为了进一步说明高阶内模法在系统控制时的优越性，在其他参数不变、只提高内模阶数的情况下，进行了3阶及5阶内模的仿真实验，如图6所示。同样，设置目标精度e为10-5，3阶及5阶内模法分别在图4各关节跟踪曲线Fig.4Tracking curves of each joint图5各关节误差曲线Fig.5Error curves of each joint图2迭代变化的关节空间参考轨迹簇Fig.2Iterative joint space reference trajectory cluster图3误差收敛曲线Fig.3Error convergence curves25第48卷第6次和第4次迭代时收敛到目标精度e，且完成50次迭代后，跟踪误差分别为3.69 10-16和2.29 10-33，能够看出，随着内模阶数提高，误差的收敛速度与跟踪精度均得到提升，证明了高阶内模迭代学习算法的优越性。三关节机器人在不同的作业环境中存在不确定扰动的影响，在控制中加入白噪声扰动来模拟每个关节的随机干扰，设置经典P、D型迭代学习控制与2阶、3阶及5阶的高阶内模迭代学习的对比仿真实验，如图 7 所示。4 种算法分别在第 4 次、第 7 次、第10次、第23次时收敛到目标精度。证明了当系统存在不确定扰动时，高阶内模迭代学习算法能够快速准确地跟踪目标轨迹，具有良好的控制品质，可改善工业中因不确定扰动带来的影响。6 结论以三关节机器人为研究对象，依据机器人各关节对参考轨迹的跟踪情况，研究了高阶内模迭代学习算法对机器人的控制。仿真结果表明：1）P、D型迭代学习算法与2阶、3阶及5阶内模迭代学习算法分别在第48次、第27次、第8次、第6次、第4次迭代时跟踪上期望轨迹完成收敛。越少的迭代次数表示收敛速度越快，即高阶内模迭代学习算法收敛速度优于传统算法。2）在完成50次迭代后，P、D型迭代学习算法与2阶、3阶及5阶内模迭代学习算法的最终误差分别是8.8 10-6、1.2 10-6、1.15 10-11、3.69 10-16、2.29 10-33。最终误差越小表示收敛精度越高，证明高阶内模迭代学习算法跟踪精度优于传统算法。3）在加入白噪声扰动后，高阶内模迭代学习算法的收敛速度及收敛精度均优于经典P、D型迭代学习算法，证明高阶内模迭代学习算法具有良好的抗干扰性，可有效改善工业环境中的不确定扰动影响。通过上述分析得知，高阶内模迭代学习算法在关节机器人的控制中具有较好的控制品质和有效的优化机器人性能。在关节机器人这类具有非重复性、非线性的系统控制中，高阶内模迭代学习算法的研究具有积极的意义。参考文献1刘宜成，熊宇航，杨海鑫.基于RBF神经网络的多关节机器人固定时间滑模控制 J.控制与决策，2022，37（11）：2790-2798.LIU Yicheng，XIONG Yuhang，YANG Haixin.Fixed time sliding mode control of joint robot based on RBF neural network J.Control and Decision，2022，37（11）：2790-2798.2马莉丽，钟斌.基于模型分块逼近的三关节机器人鲁棒滑模控制J.西安理工大学学报，2016，32（4）：437-442.MA Lili，ZHONG Bin.Robust sliding mode control of three joint robot based on model block approximation J.Journal of Xian University of Technology，2016，32（4）：437-442.3刘金琨.机器人控制系统的设计与MATLAB仿真 M.北京：清华大学出版社，2008：14-20.LIU 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R，HUANG X，et al.Research on the design of skiving tool for machining involute gears J.Journal of Mechanical Science and Technology，2014，28（12）：5107-5115.9SHIH Y P，LI Y J，LIN Y C，et al.A novel method for producing a conical skiving tool with error-free flank faces for internal gear manufacture J.Journal of Mechanical Design，2018，140（4）：043302.10 GUO Z，MAO S M，DU X F，et al.Influences of tool setting errors on gear skiving accuracyJ.The International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2017，91（9/10/11/12）：3135-3143.11 GUO E，REN N F，LIU Z L，et al.Influence of sensitive pose errors on tooth deviation of cylindrical gear in power skiving J.Advances in Mechanical Engineering，2019，11（4）：1-12.12 REN Z，FANG Z，KOBAYASHI G，et al.Influence of tool eccentricity on surface roughness in gear skivingJ.Precision Engineering，2020，63：170-176.13 陈永鹏，曹华军，李先广，等.圆柱齿轮滚切多刃断续切削空间成形模型及应用 J.机械工程学报，2016，52（9）：176-183.CHEN Yongpeng，CAO Huajun，LI Xianguang，et al.The model of spatial forming with 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