七年级有理数培优题(有答案).pdf

1有理数培优题基础训练题一、填空：1、在数轴上表示2 的点到原点的距离等于（）。2、若a=a,则 a（）0.3、任何有理数的绝对值都是（）。4、如果 a+b=0,那么 a、b 一定是（）。5、将 0.1 毫米的厚度的纸对折 20 次，列式表示厚度是（）。6、已知，则（）|3,|2,|abababab7、的最小值是（）。|2|3|xx8、在数轴上，点 A、B 分别表示，则线段 AB 的中点所表示的数是（）。2141，9、若互为相反数，互为倒数，P 的绝对值为 3，则（）。,a b,m n20102abmnpp10、若 abc0，则的值是（）.|abcabc11、下列有规律排列的一列数：1、，其中从左到右第 100 个数是（43328553）。二、解答问题：1、已知 x+3=0,|y+5|+4 的值是 4，z 对应的点到-2 对应的点的距离是 7，求 x、y、z 这三个数两两之积的和。3、若的值恒为常数，求满足的条件及此时常数的值。2|45|1 3|4xxxx4、若为整数，且，试求的值。,a b c20102010|1abca|caabbc5、计算：216512720930114213561572176、应用拓展：将七只杯子放在桌上，使三只口朝上，四只口朝下。现要求每次翻转其中任意四只，使它们杯口朝向相反，问能否经有限次翻转后，让所有杯子杯口朝下？能力培训题知识点一：数轴例例 1 1：已知有理数在数轴上原点的右方，有理数在原点的左方，那么（）abA B C Dbab bab 0ba0ba拓广训练：拓广训练：1、如图为数轴上的两点表示的有理数，在中，负数的个数有（）ba,abbaabba,2,（“祖冲之杯”邀请赛试题）Oab2A1 B2 C3 D43、把满足中的整数表示在数轴上，并用不等号连接。52 aa2 2、利用数轴能直观地解释相反数；、利用数轴能直观地解释相反数；例例 2 2：如果数轴上点 A 到原点的距离为 3，点 B 到原点的距离为 5，那么 A、B 两点的距离为 。拓广训练：拓广训练：1 1、在数轴上表示数的点到原点的距离为 3，则a._3a2 2、已知数轴上有 A、B 两点，A、B 之间的距离为 1，点 A 与原点 O 的距离为 3，那么所有满足条件的点 B与原点 O 的距离之和等于 。（北京市“迎春杯”竞赛题）3 3、利用数轴比较有理数的大小；、利用数轴比较有理数的大小；例例 3 3：已知且，那么有理数的大小关系是 。（用“0,0ba0bababa,”号连接）（北京市“迎春杯”竞赛题）拓广训练：拓广训练：1、若且，比较的大小，并用“”号连接。0,0nmnm mnnmnmnm,例例 4 4：已知比较与 4 的大小 5aa拓广训练：拓广训练：1、已知，试讨论与 3 的大小 3aa 2、已知两数，如果比大，试判断与的大小ba,abab4 4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。、利用数轴解决与绝对值相关的问题。例例 5 5：有理数在数轴上的位置如图所示，式子化简结果为（）cba,cbbabaA B C Dcba32cb 3cb bc 拓广训练：拓广训练：1、有理数在数轴上的位置如图所示，则化简cba,Oab1cOab-11c3的结果为 。ccabba112、已知，在数轴上给出关于的四种情况如图所示，则成立的是 。bbaba2ba,3、已知有理数在数轴上的对应的位置如下图：则化简后的结果是（）cba,bacac1（湖北省初中数学竞赛选拨赛试题）A B C D1b12bacba221bc 21三、培优训练三、培优训练1、已知是有理数，且，那以的值是（）012122yxyx A B C或 D或212321231232、（07 乐山）如图，数轴上一动点向左移动 2 个单位长度到达点，再向右移动 5 个单位长度到达点AB若点表示的数为 1，则点表示的数为（）CCA73323、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距 1 个单位，点 A、B、C、D 对应的数分别是整数且，那么数轴的原点应是（）dcba,102 adAA 点 BB 点 CC 点 DD 点4、数所对应的点 A，B，C，D 在数轴上的位置如图所示，那么与的大小关系是（dcba,ca db）A B C D不确定的dbcadbcadbca5、不相等的有理数在数轴上对应点分别为 A，B，C，若，那么点 B（cba,cacbba）A在 A、C 点右边 B在 A、C 点左边 C在 A、C 点之间 D以上均有可能6、设，则下面四个结论中正确的是（）（全国初中数学联赛题）11xxyA没有最小值 B只一个使取最小值yxyC有限个（不止一个）使取最小值 D有无穷多个使取最小值xyxy7、在数轴上，点 A，B 分别表示和，则线段 AB 的中点所表示的数是 。31518、若，则使成0,0bababxax立的的取值范围是 。x0ab0ab0ab0abOab-1c10A2B5CDCBABC0DA49、是有理数，则的最小值是 。x22195221100 xx10、已知为有理数，在数轴上的位置如图所示：dcba,且求的值。,64366dcbacbabda2232311、（南京市中考题）（南京市中考题）(1)阅读下面材料：点 A、B 在数轴上分别表示实数，A、B 两点这间的距离表示为，当 A、B 两点中有一点在原点时，ba,AB不妨设点 A 在原点，如图 1，；当 A、B 两点都不在原点时，babOBAB如图 2，点 A、B 都在原点的右边；baababOAOBAB如图 3，点 A、B 都在原点的左边；baababOAOBAB如图 4，点 A、B 在原点的两边。bababaOBOAAB综上，数轴上 A、B 两点之间的距离。baAB（2）回答下列问题：数轴上表示 2 和 5 两点之间的距离是 ，数轴上表示-2 和-5 的两点之间的距离是 ，数轴上表示 1 和-3 的两点之间的距离是 ；数轴上表示和-1 的两点 A 和 B 之间的距离是 ，如果，那么为 ；x2ABx当代数式取最小值时，相应的的取值范围是 ；21xxx求的最小值。1997321 xxxx聚焦绝对值聚焦绝对值一、阅读与思考一、阅读与思考绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面：1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法。去绝对值符号法则：0000aaaaaa2、恰当地运用绝对值的几何意义OabdcBAOaboB(A)OobBAOobaBAOoba5从数轴上看表示数的点到原点的距离；表示数、数的两点间的距离。aaba ab3、灵活运用绝对值的基本性质 0a222aaabaab0bbabababababa二、知识点反馈二、知识点反馈1 1、去绝对值符号法则、去绝对值符号法则例例 1 1：已知且那么 。3,5baabbaba拓广训练：拓广训练：1、已知且，那么 。（北京市“迎春杯”竞赛题）,3,2,1cbacba2cba2、若，且，那么的值是（）5,8ba0baba A3 或 13 B13 或-13 C3 或-3 D-3 或-132 2、恰当地运用绝对值的几何意义、恰当地运用绝对值的几何意义例例 2 2：的最小值是（）11xxA2 B0 C1 D-1解法 1、分类讨论当时，；1x 221111xxxxx当时，；11x21111xxxx当时。1x221111xxxxx比较可知，的最小值是 2，故选 A。11xx解法 2、由绝对值的几何意义知表示数所对应的点与数 1 所对应的点之间的距离；表示数1xx1x所对应的点与数-1 所对应的点之间的距离；的最小值是指点到 1 与-1 两点距离和的最x11xxx小值。如图易知当时，的值最小，最小值是 2 故选 A。11x11xx拓广训练：拓广训练：1 1、已知的最小值是，的最大值为，求的值。23xxa23xxbba 三、培优训练三、培优训练x-1x1x61、如图，有理数在数轴上的位置如图所示：ba,则在中，负数共有（）（湖北省荆州市竞赛题）4,2,2,babaababbaA3 个 B1 个 C4 个 D2 个2、若是有理数，则一定是（）mmm A零 B非负数 C正数 D负数3、如果，那么的取值范围是（）022xxxA B C D2x2x2x2x4、是有理数，如果，那么对于结论（1）一定不是负数；（2）可能是负数，其中ba,babaab（）（第 15 届江苏省竞赛题）A只有（1）正确 B只有（2）正确 C（1）（2）都正确 D（1）（2）都不正确5、已知，则化简所得的结果为（）aa21aaA B C D1132 aa236、已知，那么的最大值等于（）40 aaa32A1 B5 C8 D97、已知都不等于零，且，根据的不同取值，有（）cba,abcabcccbbaaxcba,xA唯一确定的值 B3 种不同的值 C4 种不同的值 D8 种不同的值8、满足成立的条件是（）（湖北省黄冈市竞赛题）babaA B C D0ab1ab0ab1ab9、若，则代数式的值为 。52 xxxxxxx225510、若，则的值等于 。0abababbbaa11、已知是非零有理数，且，求的值。cba,0,0abccbaabcabcccbbaa12、已知是有理数，且，求的值。dcba,16,9dcba25dcbacdab13、阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，现在我们可以用这0000 xxxxxx-10a-2b17一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分21xx01x02 x别求得（称分别为与的零点值）。在有理数范围内，零点值和2,1xx2,11x2x1x可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下 3 种情况：2x（1）当时，原式=;1x 1221xxx（2）当时，原式=；21x321xx（3）当时，原式=。2x1221xxx综上讨论，原式=221112312xxxxx通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）分别求出和的零点值；（2）化简代数式2x4x42xx14、（1）当取何值时，有最小值？这个最小值是多少？（2）当取何值时，有最大值？x3xx25 x这个最大值是多少？（3）求的最小值。（4）求的最小值。54xx987xxx15、某公共汽车运营线路 AB 段上有 A、D、C、B 四个汽车站，如图，现在要在 AB 段上修建一个加油站M，为了使加油站选址合理，要求 A，B，C，D 四个汽车站到加油站 M 的路程总和最小，试分析加油站 M在何处选址最好？16、先阅读下面的材料，然后解答问题：在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供应站 P，使这台机床到供应1nnn站 P 的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：如图，如果直线上有 2 台机床（甲、乙）时,很明显 P 设在和之间的任何地方都行,因为甲和乙分1A2A别到 P 的距离之和等于到的距离.1A2A如图,如果直线上有 3 台机床(甲、乙、丙)时，不难判断，P 设在中间一台机床处最合适，因为如果2AP 放在处，甲和丙分别到 P 的距离之和恰好为到的距离；而如果 P 放在别处，例如 D 处，那么2A1A3A甲和丙分别到 P 的距离之和仍是到的距离，可是乙还得走从到 D 近段距离，这是多出来的，因1A3A2A此 P 放在处是最佳选择。不难知道，如果直线上有 4 台机床，P 应设在第 2 台与第 3 台之间的任何地2AADCBA1A2丙丙PA3（P（A1A2丙丙D丙8方；有 5 台机床，P 应设在第 3 台位置。问题（1）：有机床时，P 应设在何处？n问题（2）根据问题（1）的结论，求的最小值。617321 xxxx有理数的运算有理数的运算一、阅读与思考一、阅读与思考在小学里我们已学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算符号演算。数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速成度，有理数的计算常用的技巧与方法有：1、利用运算律；2、以符代数；3、裂项相消；4、分解相约；5、巧用公式等。二、知识点反馈二、知识点反馈1 1、利用运算律：加法运算律、利用运算律：加法运算律乘法运算律乘法运算律 cbacbaabba加法结合律加法交换律 acabcbacbacbaabba乘法分配律乘法结合律乘法交换律例例 1 1：计算：32775.2324523解：原式=15.175.56.4375.26.432775.23246.4拓广训练：拓广训练：1、计算（1）（2）115292.011275208.06.04941911764131159431例例 2 2：计算：计算：5025249解：原式解：原式=49825005025150105025110拓广训练：拓广训练：1、计算：5141312154322 2、裂项相消、裂项相消（1 1）；（；（2 2）；baabba1111111nnnn（3 3）mnnmnnm119（4 4）21111212nnnnnnn例例 3 3、计算、计算201020091431321211 解：原式解：原式=201012009141313121211 =201012009141313121211 =20102009201011拓广训练：拓广训练：1、计算：200920071751531311 3 3、以符代数、以符代数例例 4 4：计算：计算：39385271781712133937111712727717解：分析：解：分析：397610393711,17242617127,27341627717令令=，则，则A3938527178171213A23976101724262734163937111712727717原式原式=22 AA拓广训练：拓广训练：1、计算：200513121200613121120051312112006131214 4、分解相约、分解相约例例 5 5：计算：计算：293186293142842421 nnnnnn解：原式=293193129314214212421 nn22193121421 nn =72964931421210三、培优训练三、培优训练1、是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，则=。ab200820092007ba2、计算：（1）=；199919971971751531 （2）=。243431622825.03、若与互为相反数，则=。ababba1997991898224、计算：=。98979839816563614341215、计算：=。109876543222222222226、这四个数由小到大的排列顺序是 。9998,19991998,9897,199819977、（“五羊杯”）计算：=（）86.66.68686.06284.3114.3A3140 B628 C1000 D12008、（“希望杯”）等于（）3028864215144321 A B C D414121219、（“五羊杯”）计算：=（）45.41892235.2465A B C D2531092094010、（2009 鄂州中考）为了求的值，可令 S，则 2S20083222212008322221，因此 2S-S，所以仿照以上推理200943222221220092008322221122009计算出的值是（）2009325551A、B、C、D、1520091520104152009415201011、都是正数，如果，2004321,aaaa 200432200321aaaaaaM ，那么的大小关系是（）200332200421aaaaaaN NM,A B C D不确定NM NM NM 12、设三个互不相等的有理数，既可表示为的形式，又可表示为的形式，求aba,1bab,0的值（“希望杯”邀请赛试题）20001999ba13、计算11（1）（2009 年第二十届“五羊杯”竞赛题）000000164.05700006.019.000036.07.5（2）（北京市“迎春杯”竞赛题）2423431625.6134313825.014、已知互为相反数，互为负倒数，的绝对值等于，nm,ba,x3求的值20032001231abxnmxabnmx15、已知，求的值022aab 2006200612211111 bababaab（香港竞赛）16、（2007，无锡中考）图 1 是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了层将图 1 倒置后与原图 1 拼成图 2 的形状，这样我们可n以算出图 1 中所有圆圈的个数为(1)1232n nn 图图 2图 3图 4如果图 1 中的圆圈共有 12 层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图 3 的方式填上一串连续的正整数，则最底层最左边这个圆圈中的数是；（2）我们自上往下，在每个圆圈中都12 3 4，按图 4 的方式填上一串连续的整数，求图 4 中所有圆圈中各数的绝对值之和232221【专题精讲专题精讲】【例例 1】计算下列各题计算下列各题 32333333251233()0.750.5()(1)()4()44372544 12713923(0.125)(1)(8)()35 【例例 2】计算：1 23456789 10 11 122005200620072008 【例例 3】计算：11111126122030990011111 33 55 799 101反思说明：一般地，多个分数相加减，如果分子相同，分母是两个整数的积，且每个分母中因数差相同，可以用裂项相消法求值。第 2 层第 1 层第 n 层12 111(1)1n nnn11 11()()n nkk nnk 1111(1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn1111()(1)(1)211nnnn【例例 4】（第 18 届迎春杯）计算：11112481024【例例 5】计算：11212312341235859()()()()23344455556060606060【例例 6】（第 8 届“希望杯”）计算：11111111111111(1)()(1)()23200923420102320092010232009【例例 7】请你从下表归纳出的公式并计算出：的值。333331234n33333123450【实战演练实战演练】1、用简便方法计算：999 998998999998 9999999982、（第 10 届“希望杯”训练题）11111(1)(1)(1)(1)(1)200420031002100110003、已知则 1999 199919992000200020002001 20012001,1998 199819981999 19991999200020002000abc abc 4、计算：11111 13 1513 15 1729 31 335、（“聪明杯”试题）21 2 42 4 824()1 3 92 6 1839nnnnnn 12345246810369121548121620510152025136、的值得整数部分为（）11111(1)(1)(1)(1)(1)1 32 43 51998 20001999 2001A1 B2 C3 D4提示：22(1)21nnn7、481216401 33 55 77 919 218、计算：23201012222S 9、计算的值.111112123123100 10、计算：的值。111132010241111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)22323423201014参考答案参考答案基础训练题基础训练题一、填空。1、2；2、；3、非负数；4、互为相反数；5、毫米；200.1 26、5 或 1；7、5；8、；9、8；10、3，1；1811、。101200二、解答题。1、25 或 87；3、当时，常数值为 7；4、2；5、1435x196、不可能，因为每次翻转其中任意 4 个，无论如何翻转，杯口朝上的个数都是奇数个，所以不可能让杯口朝上的杯子个数为偶数零，故不可能。能力培训题能力培训题知识点一：数轴例 1、D 拓广训练：1、B；3、因为，所以25,52aa 543345 例 2、8 或 2拓广训练：1、0 或6；2、12例 3、baab 拓广训练：1、题目有误。例 4、解：当时，；当时，；当时，.45a4a 44a 4a 4a 4a 15拓广训练：略。例 5、C拓广训练：1、2；2、3、D三、培优训练1、C 2、D 3、B 4、A 5、C 6、D7、；8、；9、115bxa19522110、5；11、3，3，4；，1 或3；9970021x 12x 聚焦绝对值例 1、2 或8.拓广训练：1、4 或 0；2、A例 2、A拓广训练：1、通过零点值讨论得 a=5,b=5;所以 a+b=10.三、培优训练1、A;2、B；3、D;4、A;5、A;6、B；7、B；8、C9、1；10、1 或3；11、0；12、7；13、零点值分别为2，4.略。(分三种情况讨论)14、3；、-2；、1；、215、加油站应建在 D,C 两汽站之间(包括 D,C 两汽车站)16、95172有理数的运算例 1、拓广训练：1.2；1621116例 2、拓广训练：34例 3、拓广训练：10042009例 4、拓广训练：12006三、培优训练1、1；2、，8；3、1；4、；5、6；9985997122526、；7、C；8、D；9、B；199819979897199919989998 10、(原题无答案)；11、A;2010521412、0；解析如下：由题意：10bababa且 00aba或0(0)a又不能为 分母不能为 01bababa 11,1ba 又即11ba ，199920000ab13、，9231.8468 1014、28 或26；15、；16、67，120920072008专题讲解专题讲解例 1、4096277225例 2、0 例 3、4910050101例 4、10231024例 5、885 解析如下：17 122 1233332 4442，123592原式例 6、12010解析如下：111232009111120102010aaaaa设原式=例 7、，212n n 21275解析如下：实战演练1、1997.解析如下原式=999(998998998+1)998(9999999991)2、3336683、1，4、分析如下：2013299 1111222822aa aaaa5、647293323332233332129(12)12336(123)1123(123)2n nn +n18解析：2333321123(123)2n nn+n2331 24 181 3 9 18nn 原式6、A 解析如下222122211 33131333124824144413 515352233442000400013243520012001原式7、2021解析如下：8、2011219、200101解析如下1111111111221212312342 1212312346122011111111111121236505023650502612100 101 原式10、2010201141181140111 313 3 5351921192111111111111120133519211335192121，原式19解析如下：解析如下：1111121231234122010原式