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第七讲：分式的概念及其基本运算
知识点1、分式的概念：
1、在所给式子：,4x2,，，,0,，中,分式有（ ).
A、 5个 B、 4个 C、 3个 D、 2个

2、取何值时,下列各式有意义?
（1）； (2)； (3)。 (4） (5）

知识点2、分式的基本性质：
3、下列等式成立的是（ )。
A、 B、 C、D、

4、化简下列各式：
(1） (2)

5、根据分式的基本性质,分式可变形为( )。
A、 B、 C、 D、

6、计算： （ ).
A、 B、 C、 D、

知识点3、分式的运算法则
（1）加减法： ， .
（2)乘除法： ， .
（3)乘方： = . (为正整数，)
7、指出下列等式的右边是怎样从左边得到的？
（1); （2)

8、如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值( ）.
A、扩大3倍 B、缩小3倍 C、缩小6倍 D、不变

9、分式的最简公分母为 .
10、若分式不论取什么实数总有意义，则的取值范围是 。
A、 B、 C、 D、

11、(1）先化简,再求值:，其中。

（2)先化简,再求值：·¸，其中.

知识点4、分式方程: 分母中含有 　　　 的方程叫分式方程。
解分式方程的一般步骤：
(1)去分母，在方程的两边都乘以 　 ，约去分母，化成整式方程；
（2)解这个整式方程；
（3）验根，把整式方程的根代入 　 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根,必须舍去。
12、下列关于的方程中，是分式方程的有（ ）.
①；②;③；④；⑤（t是的常数).
A、 2个 B、 3个 C、 4个 D、5个

13、解下列方程:
(1） （2）

14、 如果分式方程有增根,则增根是____________.

15、当为何值时，关于x的方程会产生增根？

知识点5:列分式方程解简单的实际应用问题的方法和步骤与列一元一次方程解应用题基本相同．简单地可分为：设、找、列、解、检、答等六个步骤．
16、 某人驾车从A地到B地，出发2小时后，车子出了点毛病，耽搁半小时修好了车，为了弥补耽搁的时间，他将车速增加到原来的1.6倍，结果按时到达.已知A、B两点的距离为100千米，求某人原来驾车的速度.

17、便民服装店的老板在株洲看到一种夏季衬衫,就用8000元购进若干件，
以每件58元的价格出售，很快售完，又用17600元购进同种衬衫，数量是第一次的2倍每件进价比第一次多了4元,服装店仍按每件58元出售,全部售完，问该服装店这笔生意盈利多少元?

第八讲 一元二次方程
【知识要点】
1． 一元二次方程的概念
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.
2。一元二次方程的一般形式
(）是一元二次方程的一般形式.
3．一元二次方程的解法主要有直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。
4．解一元二次方程，直接开平方法是一种特殊方法，配方法与求根公式法是一般方法，对于任何一元二次方程都可使用.解题的关键是要根据方程系数的特点及方程的不同形式，选择适当的方法，使解法简捷．
【经典例题】
例1．判断下列方程是不是一元二次方程：
（1) (2） （3） （4）

（5）（、k是常数） （6）
例2．用直接开方法解下列方程：
（1） (2) （3)

例3．用配方法解下列方程：
(1） （3)

例4 用公式法解下列方程:
(1） （2)

例5、用因式分解法解下列方程:
（1) (2) （3）

例6、证明：代数式的值不大于。

第九讲 根的判别式
【知识要点】
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况：
(1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；
(3)当Δ＜0时，方程无实数根。
2。根据根的情况，也可以逆推出Δ的情况，这方面的知识主要用来求取值范围等问题.

【经典例题】
例1 已知关于x的方程（m—2)x2-2（m-1)x+m+1=0，当m为何非负整数时：
(1)方程只有一个实数根；(2）方程有两个相等的实数根；(3)方程有两个不等的实数根.

例2 已知关于x的方程x2+2(a—3)x+a2-7a—b+12=0
有两个相等的实根，且满足2a—b=0.
(1)求a、b的值;
（2)已知k为一实数，求证：关于x的方程(-a+b）x2+bkx+2k-(a+b)=0有两个不等的实根。

例3 关于x的方程kx2+（k+1)x+k/4=0有两个不相等的实数根。
（1）求k的取值范围；
(2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在,求出k的值；若不存在,说明理由。

例4 已知：a、b、c是△ABC的三边，若方程有两个等根，试判断△ABC的形状。

例5 已知：m、n为整数，关于x的二次方程x2+(7—m）x+3+n=0有两个不相等的实数解，x2+（4+m)x+n+6=0有两个相等的实数根，x2-(m-4)x+n+1=0没有实数根,求m、n的值。

例6 若方程有两个不相等的实数根，则实数P的取值范围是（ )。
A． B。 C。 D。

第十讲 根与系数的关系
【知识要点】
一元二次方程根与系数的关系
1．如果是方程的两个根，则。
2．应用一元二次方程根与系数的关系式时，是前提，这一点易被忽视.
3．常数项为0，两根积必为0,因为的分子为0.同理,当一次项系数为0时，两根和为0。
已知一元二次方程和一个根，求另一个根.
1．当一元二次方程的二次项系数为1时，如是方程的两个根时，则，.
2．由本例的两个解法进行比较，可知应用根与系数求解要比应用根的定义求解简捷。
求含根的对称式的值
不解方程，利用根与系数关系,求已知一元二次方程两根的某些代数式的值,应把代数式经恒等变形,化为含有两根和、两根积的形式，再代入求值。
【典型例题】
例1.写出下列方程的两根和与两根积。
(1） (2）

（3） （4）

例2．已知方程的一个根是—1，求的值与另一根.

例3．已知，不解这个方程,求：（1)两根的倒数和；（2）两根的平方和.

例4．已知关于的方程。
（1）求证:方程有两个实数根;
（2）设方程的两个实数根为，且有，求的值。

例5．阅读下列解题过程:已知：方程x2+3x+1=0的两个根为α、β，求的值。
解：∵△＝32—4×1×1＝5〉0
∴α≠β （1）
由一元二次方程的根与系数的关系，得
α+β＝-3， αβ＝1 (2）
∴ （3)
阅读后回答问题:上面的解题过程是否正确？若不正确，指出错在哪一步，并写出正确的解题过程：

例6．已知方程不解这个方程,利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程使它的根分别是:（1）已知方程各根的倒数； （2）已知方程各根的平方；

例7.已知关于的方程。
（1）当取何值时，方程有两个不相等的实数根？
(2）设方程的两实根分别为，当，求的值。

第十一讲 平行四边形的性质
知识要点：
1、两组对边分别平行的四边形叫平行四边形,平行四边形用符号表示为“□”。
注意:平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角,邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边,对角是指一条边的对角．
2、理解并能运用平行四边形的性质。 平行四边形性质1　　平行四边形的对边相等．
平行四边形性质2 平行四边形的对角相等．
例题：
A
B
D
C
O
1、在平行四边形ABCD中,∠A+∠C=140º,则∠A=_____度,∠D=_____度。
2、□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=24，
BD=18,BC=10，求△AOD的周长。

3、平行四边形的一边长为5 cm，则它的对角线可能是( ）
A、4cm和6cm B、4cm和14cm C、4cm和8cm D、12cm和2cm
4、在□ABCD中，∠B的平分线交对边于点E，分对边为3cm和4cm两段，则这个平行四边形的周长为___________。

5、已知:平行四边形ABCD中，AC＝2cm，BD＝6cm，CA⊥AB，则平行四边形的周长是＿＿＿，面积＿＿＿。
6、已知:平行四边形ABCD的周长是30cm,对角线AC，BD相交于点O,△AOB的周长比△BOC的周长多5cm ,则这个平行四边形的各边长为 。

7、已知平行四边形的周长是132，相邻两边上的高分别为5和6，则它的面积是______。
A
B
D
C
O

8、□ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,
△AOB的面积为12，则△BOC的面积为_________。

A
B
C
D
9、如图所示，□ABCD中，AC⊥CD，且AB：BC=1：2,
则∠ ABC与∠ BCD之比为（   ）
A、1:1    B、1：2   C、1:3    D、1:4
10、如图，已知BD平分∠ABC，ED∥BC，EF∥AC，求证：BE＝CF.

11、把边长为3cm,5cm和7cm的两个三角形拼成一个四边形，一共能拼成几种不同的四边形？其中有几种是平形四边形？

B
C
A
D
x
O
y
12、如图所示,□ABCD的边BC长为6，中点为原点,AB长为2，∠ABC=60º，求它的四个顶点的坐标。

A
B
D
C
M
13、如图：在平形四边形ABCD中，BM平分∠ABC，
且M为CD的中点，求证：AM平分∠DAB.

14、如图，在□ABCD中,AC与DB相交于点O,∠ODA＝90°，OA＝6㎝,OB＝3㎝。
A
B
D
C
O
求：AC，AD的长

第十二讲 平行四边形的判定
知识要点：
1、两组对边分别平行的四边形叫平行四边形,平行四边形用符号表示为“□”.
2、理解并能运用平行四边形的判定方法：
① 定义证明; ② 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
④ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ⑤ 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
3、连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线，中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
例题精讲：
1、在四边形ABCD中，若AB=CD，请你补充一个条件，使四边形ABCD是平行四边形。你补充的条件是 。(只需填一个你认为正确的条件即可）
2、能判定一个四边形是平行四边形的条件是（ ）
A、一组对边平行,另一组对边相等 B、一组对边平行，一组对角相等
C、一组对边平行，两条对角线相等 D、两条对角线垂直且相等
3、如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，说明四边形ABCD也是平行四边形。

A
B
D
C
E
F
4、如图，平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF,连结B、F、D、E、B，用多种方法证明四边形BEDF是平行四边形。

A
B
C
D
E
F
G
H
5、已知:如图所示,□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF经过点O并且分别和AB、CD相交于点E、F，又知G、H分别为OA、OC的中点．
求证：四边形EHFG是平行四边形．

6、顺次连结一个任意四边形的各边中点，形成的四边形是_____________。
A
B
E
CC
F
1
2
7、已知：如图,∠1=∠2,AE⊥BE，EF∥BC，求证:EF＝（BC－AB)

8、已知一个四边形的边长分别为a、b、c、d，其中a、c为对边,且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则这个四边形是（ )
A、任意四边形 B、梯形 C、平行四边形 D、对角线互相垂直的四边形

第十三讲 矩 形
知识要点：
1、有一个角是直角的平行四边形叫矩形。
2、矩形的性质：除具有一般平行四边形的性质，还具有 ①四个角都是直角．②对角线相等．
3、矩形的判定：
① 有一个角________________的平行四边形是矩形；
② 对角线__________________的平行四边形是矩形；
③ _______________________的四边形是矩形；④ ______________________的四边形是矩形。
例题：
1. 一个平行四边形,如果一个内角等于 时，这个平行四边形变成矩形．如果两条对角线 时．这个平行四边形变成矩形.
2. 下列命题中，真命题有 （只填序号）.
（1）对角线相等的四边形是矩形； （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形； (4）有三个角都相等的四边形是矩形；
（5)有三个角是直角的四边形是矩形; （6）四个角都相等的四边形是矩形；
(7)对角线相等且有一角是直角四边形是矩形（8）一组对角互补的平行四边形是矩形;
（9)对角线相等且互相垂直的四边形是矩形;
（10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形.
3。 四边形ABCD的对角线相交于点O，在下列条件中，不能判别它是矩形的是（ ）
A。 AB=CD，AD=BC．∠BAD=90° B. ∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180°
C。 AO=CO，BO=CO．AC=BD D。 ∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90°

4. 下列说法错误的是( ）
A。有一个内角是直角的平行四边形是矩形 B。矩形的四个角都是直角，并且对角线相等
C。对角线相等的平行四边形是矩形 D。有两个角是直角的四边形是矩形

5. 如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，四边形ABCD应具备的条件是（ ）．

A.一组对边平行而另一组对边不平行； B.对角线相等
C.对角线互相垂直; D。对角线互相平分

6.下列条件：①已知矩形的一边长和一条对角线长；②已知矩形一条对角线长和对角线的夹角;
③已知矩形一边的长和对角线的夹角；④已知矩形的周长．能确定矩形的形状和大小的条件是（ )
A．①② B．①③ c．③④ D．①②③

7. 平行四边形内角平分线能够围成的四边形是 。

8、矩形一个角的平分线分矩形一边为3cm和4cm两部分,则这个矩形的面积为______.

9、顺次连结四边形各边的中点得到矩形，则原四边形的两条对角线＿＿＿＿＿.

10、已知平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O，△AOB是等边三角形，平行四边形是矩形吗？说明你的理由。

11、已知：如图在△ABC中,AB=AC，P是BC上一动点,PE⊥AB于E，PF⊥AC于F,CG⊥AB于G．求证:PE+PF=CG．

O
A
D
C
P
B

12. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点Ｏ，点Ｐ是四边形外一点,且PA⊥PC,PB⊥PD，垂足为Ｐ。求证:四边形ABCD为矩形.

13、如图所示,折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线)BD，再折叠使AD边与对角线BD重合,得折痕DG．若AB=4,BC=3，求AG．

14、如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是边AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F,则PE＋PF的值为_________.

A
B
C
D
E
15、如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，CD＝2,AD＝，求BE的长.

16、如左下图,在矩形ABCD中,AC、BD相交于O，AE平分∠BAD,交BC于E，若
∠CAE=15°,求∠BOE的度数.

第十四讲 菱 形
知识要点：
1、有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。
2、菱形的性质：除具有一般平行四边形的性质，还具有 ①四条边__________；②对角线_______。
3、菱形的判定:
① 一组邻边________________的平行四边形是菱形；
② 对角线__________________的平行四边形是菱形;
③ _______________________的四边形是菱形；
④ ___________________的四边形是菱形.
例题:
1、要判断一个四边形是菱形,可以首先判断它是___________,然后再判定这个四边形的一组_________________或两条对角线________________。

2、将菱形四边中点顺次连结,形成的四边形是____________;将矩形四边中点顺次连结，
形成的四边形是_____________。

A
E
B
O
F
C
D

3、如图，在□ABCD中,O是对角线AC的中点，过点O作OC的垂线与边AD、BC分别交于E、F，求证：四边形AECF是菱形.

4. 下列条件中能判断一个四边形为菱形的是 （ )．
A。不是矩形的平行四边形 B。对角线互相垂直

C.有一条对角线垂直平分另一条对角线 D。对角线互相垂直平分的四边形

5. 如图所示,在直角梯形ABCD中,AB⊥BC，AD=1,BC=3，
CD=4，EF为梯形的中位线，DH为梯形的高且交EF于G。下列结论：
① G为EF的中点；②△EHF为等边三角形；③四边形EHCF为菱形;
④S△BEH=S△CFH.其中正确的结论有( )
A。1个 B。2个 C.3个 D.4个

6. 已知□ABCD，AC、BD是对角线,下列结论中不一定正确的（ );
A。AB=CD B.AC=BD C。AC⊥BD时，它是菱形 D。 当∠ABC=90°时，它是矩形

7. 顺次连结矩形的各边中点，所得四边形是（ ）
A.平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

8。 下列说法中，错误的是 （ ）
A。平行四边形的对角线互相平分 B。对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.菱形的对角线互相垂直 D。对角线互相垂直的四边形是菱形
9。下列图形中,能找到一点,使该点到各边距离都相等的图形为（ ）
A.平行四边形 B。矩形 C。菱形 D.任意四边形

10. 已知:如图，BD是△ABC的角平分线，EF是BD的垂直平分线,且交AB于E，交BC于点F。求证:四边形BFDE是菱形.

11。如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点.
（1)求证:四边形MENF是菱形；
（2)若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论。
A
M
E

F
N
C
B
D

12.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC=16 cm，BD=12 cm，求菱形ABCD的高DH。

第十五讲 正方形
知识要点:
1、正方形是最特殊的平行四边形,既是矩形又是菱形。
①有一组邻边相等的平行四边形 (菱形）
②有一个角是直角的平行四边形 （矩形）
2、正方形四条边都相等,四个角都相等。
例题：
1、判断
1。有一个角是直角的平行四边形是矩形 2。有一个角是直角的菱形是正方形
3。两条对角线互相垂直的矩形是正方形 4。四边都相等的矩形是正方形
5.正方形具有矩形和菱形的所有性质 6。既是矩形又是菱形的图形是正方形
2.正方形的性质：①正方形的四个角________ __，四条边__________，
②正方形的两条对角线__________，并且__________.
3。正方形的对角线长为10 cm，则正方形的边长是__________.
4。正方形的判定方法：①____________的菱形是正方形.②____________的矩形是正方形.
5。正方形以对角线的交点为中心，在平面上旋转最少__________度可以与原图形重合.
6。下列命题正确的是
A。四角相等且两边相等的四边形是正方形B.对角线相等的平行四边形是正方形
C。对角线垂直的平行四边形是正方形D。对角线和一边的夹角是45°的菱形是正方形
7.如图，正方形ABCD的对角线AC是菱形AEFC的一边，则∠FAB等于
A。135° B.45° C.22。5° D.30°
8.（1）顺次连结平行四边形四边中点所组成的图形是什么四边形?
（2)顺次连结矩形、菱形、正方形各边中点,分别组成什么四边形？
9.正方形具有而矩形不一定有的性质是（ ）
A。对角线相等且互相平分 B.对角线互相垂直且平分每一组对角
C.每一内角均为直角 D。对边平行且相等
10。□ABCD是正方形需增加的条件是（ ）
A。邻边相等 B.邻角相等 C。对角线互相垂直 D。对角线互相垂直且相等
11。矩形各内角的平分线若能围成一个四边形,则这个四边形一定是（ ）
A.平行四边形 B.矩形 C。正方形 D。菱形
12.矩形的对角线长10 cm，顺次连结矩形四边中点所得四边形的周长为（ ）
A.40 cm B.10 cm C.5 cm D。20 cm

13.

如图，分别以△ABC的边AB和AC为边作正方形ABDE和ACFG,四边形EAGH是平行四边形.试讨论下列问题，并简单说明理由。
⑴当△ABC满足什么条件时，四边形EAGH是矩形？
⑵当△ABC满足什么条件时，四边形EAGH是正方形？

14、如图点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点,PE⊥MC，PF⊥BM，垂足分别为E、F。
M
A
B
C
D
P
E
F

（1）当矩形ABCD的长AB与宽AD满足什么条件时，四边形PEMF为矩形，请猜想并说明理由.
(2)在（1）中,当点P运动到什么位置时，
矩形PEMF变为正方形？为什么？

15、如图，在△ABC中，AB=10,AC=6,BC=8,∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E,DF⊥AC于点F。求证： 四边形CFDE是正方形．

16.如图，E为正方形ABCD边BC延长线上一点,且CE=BD，AE交DC于F，则∠AFC=_________。

17。如图，四边形ACDE、BAFG是以△ABC的边AC、AB为边向△ABC外所作的正方形.
求证：(1)EB=FC。（2）EB⊥FC.

第十六讲 梯 形
知识要点：
1、一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫梯形.平行的两边叫底，其中长的叫下底,短的叫上底；不平行的两边叫腰。
2、两腰相等的梯形叫等腰梯形，有一个角是直角的梯形叫直角梯形.
3、等腰梯形的性质：
① 等腰梯形同一底边上的两个角相等 ② 等腰梯形的两条对角线相等
4、等腰梯形的判定：
① 定义证明； ② 同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
例题：
1。 识别四边形ABCD是等腰梯形的条件是（ ）
A。AD∥BC，AB=CD B。∠A：∠B：∠C：∠D=3:2：3：2
C。AD∥BC，AD≠BC，AB=CD D。∠A+∠B=180o，AD=BC

2。 有两个角相等的梯形是（ ）
A.等腰梯形 B．直角梯形 C．一般梯形 D．等腰梯形或直角梯形

3. 下列说法正确的是（ 　）
A．一组对边平行的四边形是梯形；B．有两个角是直角的四边形是直角梯形；
C．只有相邻的两个角是直角的四边形是直角梯形；
D．一组对边平行另一组对边相等的四边形是等腰梯形

4. 四边形ABCD的四个内角∠A、∠B、∠C、∠D的度数比是2：3：3：4，则这个四边形是（　 )
A．等腰梯形 B．直角梯形 C．平行四边形 D．不能确定

5. 下列说法不正确的是（ ）
A。对角线相等且互相平分的四边形是矩形； B。对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
C.一组对边平行且不相等的四边形是梯形; D.同一边上的两角相等的梯形是等腰梯形

6、已知如图，梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD，∠B=60°，AD=10,BC=18,求梯形ABCD的周长。

7、已知直角梯形的一腰长10 cm,这条腰与一个底所成的角是30°，求另一条腰的长.

8、等腰梯形对角线的长为17，底边的长为10和20，则该梯形的面积是_________。
4、已知:梯形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点，则S梯形ABCD是S△ABE的2倍吗？为什么？

9、如图,在梯形ABCD中，AB∥CD,M、N分别为CD和AB的中点，且MN⊥AB。
求证:四边形ABCD是等腰梯形.

10、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别为CD、AB中点，且MN⊥AB.梯形ABCD一定为等腰梯形，请你用两种不同的方法说明理由.

11.在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，若AD=2，BC=8，BD=6,求：（1)对角线AC的长；(2）梯形ABCD的面积.

12、如图,在锐角△ABC中，AB〈AC，AD⊥BC,交BC于点D,E、F、G分别是BC、CA、AB的中点，求证:四边形DEFG是等腰梯形。

13、如图，梯形ABCD中,AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm。点P 从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度移动.点Q从点C开始沿CB向点B以2cm/s 的速度移动,如果P、Q分别从A、C同时出发，设移动的时间为ts,问t为何值时,梯形PQCD 是等腰梯形?

14、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点P为边BC上一动点，PE⊥AB，PF⊥CD，点B到直线CD的距离为BG，且BG=PE+PF，求证：梯形ABCD为等腰梯形。

A
B
D
P
C
E
Q

G
F