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初等代数研究课后习题答案.doc

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1、初等代数研究课后习题20071115033 数学院 07(1) 杨明1、证明自然数的顺序关系具有对逆性与全序性,即(1)对任何,当且仅当时,.(2)对任何,在,中有且只有一个成立.证明:对任何,设,(1)“” ,则,使,,“” ,则,使,,综上 对任何,(2)由(1) 与不可能同时成立,假设与同时成立,则,使且,与B为有限集矛盾,与不可能同时成立,综上,对任何,在,中有且只有一个成立.2、证明自然数的加法满足交换律.证明:对任何设M为使等式成立的所有b组成的集合先证 ,设满足此式的组成集合k,显然有1+1=1+1成立,设,则 , 取定,则,设,则 对任何,3、证明自然数的乘法是唯一存在的 证明

2、:唯一性:取定,反证:假设至少有两个对应关系,对,有 ,设是由使成立的所有的组成的集合, 设则, 即,乘法是唯一的存在性:设乘法存在的所有组成集合 当时, ,设,有与它对应,且,对,令 即乘法存在p245、解:满足条件的有, , 基数和为p246、证明:,中的与中的对应, p248、证明:1)3+4=7 2) p2412、证明:1) 2)p2636、已知对任何满足 求证:1)2)3) 证明:1)当时,结论成立,假设时,结论成立,即,当时,所以对一切自然数结论都成立2)当时,结论成立假设时,结论成立,即当时,所以对一切自然数结论都成立3)当时,结论成立假设时,结论成立,即当时, 所以对一切自然数

3、结论都成立p621、证明定理2.1证明:,因为自然数加法满足交换律而,以为自然数满足加法结合律即整数加法满足交换律和结合律p622、已知,求证的充要条件是 证明:“” 已知则“” 已知则, p624、已知,求证z证明: p625、已知,求证证明:左边 右边 所以左边等于右边p627、已知,求证当且仅当时证明:“” 已知, 因为 是负数, “” 已知则因为是负数,p629、已知,求证:1) ,2) 证明:设 1) 而 2) 而p6312、名棋手每两个比赛一次,没有平局,若第名胜负的次数各为,求证:证明:对于,必存在一个使得 p6316、已知,求证证明:由已知:使, p6317、设2不整除,求证证

4、明:因为2不整除,所以存在唯一一对,使,其中 , p6320、设,求证是奇数的平方证明:肯定一奇一偶肯定为偶数肯定为奇数p6322、证明:前n个自然数之和的个位数码不能是2、4、7、9证明:前n个自然数的和为 因为:n个自然数的和仍为自然数 1+n与n中必定一个为奇数一个为偶数 若个位数码为2 则1+n与n的个位数码只能是1,4或4,1 而(1+n)- n=1 个位数码不能为2 若个位数码为4 则1+n与n的个位数码只能是1,8或8,1也不可能成立 若个位数码为7 则1+n与n的个位数码有2种可能,则2,7或1,14 也不可能成立,若个位数码为9 则1+n与n的个位数码有2种可能,即2,9或1

5、,18 也不可能成立, 综上,前n个自然数和的个位数码不能是2,4,7,9p6326、证明2.3定理1()=() 证明:因为:()是的公因数中的最大数 所以R需考虑非负整数 ()=()p6329、证明2.3定理4的推论的充要条件是有使得 证明:因为 不全为0 “” 由定理4 使“” 设则, p6330、证明2.3定理6及其推论。定理6:若,则证明:若都为0,则显然成立 若不全为零,则使 而 因为, 而 推论:设是的公因数,则的充要条件是证明:“” 是的公因数 “” 因为 ,使 ,使p6432、证明2.3定理七及其推论定理七:若,中至少有一个不为0,则证明:中至少有一个不为0 使 因为 因为 推

6、论:若,则证明:因为,不为零 p6433、已知是奇数,求证证明:因为 ,因为是奇数, p6436、已知,求证证明: p6440、已知,求证中的倍数的个数等于证明:当时,结论成立,当时,令,则可改写为因为所以其中一定包括都是的倍数,共有个p6442、已知是异于3的奇素数,求证证明:是异于3的奇素数,为偶数, 其中都为合数,且都大于3 都可被2、3中的一个整除,若,则由,因为 p6444、已知整数都大于1,是素数,求证且是素数证明:反证 不是素数 当时不是素数与已知矛盾,所以是素数p6445、求不大于50的一切素数解:平方不大于50的素数是2,3,5,7则不大于50的一切素数 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47p6446、求下列各数的标准分解式:1)82798848 解:82798848=p6449、已知整数都大于1,求证证明:p6669、已知是奇素数,求证1) 2) 证明:1)因为 ,因为 2),p6670、设是相异素数,求证证明:, 同理 即p6672、已知是素数,求证证明:因为是素数,所以因为 p6673、计算解:66150的标准分解式为 p6674、已知整数,求证证明:设的标准分解式为,其中为素数 ,若显然,当时,一定且为偶数,综上所述时

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