北京大学高等数学D2015年高数期中试题.doc

2015~2016秋 高等数学（D类）期中考试试题
一、 判断下列叙述是否正确，如果错误，说明理由（每题2分，总共10分）
1. 极值点是导数为0的点；
2. 闭区间上的连续函数必能取得介于最大值和最小值之间的任何值；
3. 在某一极限过程中，若x为无穷小量，且x≠0，则 1x 是无穷大量；
4. 函数f(x)=fx= xsin1x, &x≠00 , &x=0 在x=0处不连续；
5. 极限limx→∞sinxx=1。

二、 选择题，从四个选项中选择一个最恰当的（每题4分，总共20分）
1. 设xn≤zn≤yn，且limn→∞yn- xn=0，则limn→∞zn（ ）
（A）存在且为零； （B）存在但不一定为零； （C）不一定存在； （D）一定不存在.
2. 函数y=e-x2（ ）
（A）没有拐点； （B）有一个拐点； （C）有两个拐点； （D）有三个拐点.
3. 函数f(x)=x+2x2-3x-4 的间断点为（ ）
（A）x=-1和x=4； （B）x=4和x=-2； （C）x=1和x=-2； （D）不存在.
4. 设函数f(x) 满足关系式y''-2y'+4y=0，且f(x)>0，f’(x0)=0，则f(x)在x0点处（ ）
（A）取得极大值； （B）取得极小值；
（C）在x0某邻域内单调上升； （D）在x0某邻域内单调下降.
5. 设f(x)在x= a 处可导，那么limh→0fa+h-f(a-3h)h=（ ）
（A）3f’(a)； （B）4f’(a)； （C）f’(a)； （D）13f’(a).
三、 填空题（每题4分，总共20分）
1． 对于隐函数cosy+xey-xy2=0，有dydx=____________.
2． 函数y=2-ln⁡(ex-3)的反函数是____________.
3． 如果limx→∞(x+ax-a) x-a=e2，则a的值为____________.
4． 如果limx→1x2+bx+a1-x =5，则a=____________，b=____________.
5． x-y平面上曲线的参数方程为x=2et,y=e-t，在t=0处该曲线的切线斜率为____________.

四、 计算题（每题5分，总共30分）
1. 计算函数极限limx→∞xπ2-arctanx;
2. 计算数列极限limn→∞11×2+12×3+…+1nn+1;
3. 计算函数的一阶导数y=arctan2x1-x2;
4. 函数y=y(x)由
5. 计算近似值arccos(0.002);
6. 计算函数y=x3-3x2+6x-2在区间[-1,1]上的最大值和最小值。

五、证明题（每题5分，总共10分）
1. 利用拉格朗日中值定理证明不等式|arctanz1-arctanz2|≤|z1-z2|.
2. 已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)上可导，并且满足0<f(x)<1，f’(x)≠1。证明在(0,1)内有且只有一个ξ，使得f(ξ)= ξ.

六、绘制函数f(x)=4(x+1)x2-2的图形（本题10分，要求：写出定义域、极值点、单调区间，列出表格，求出渐近线，作出图形）