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第三章 二级圆柱齿轮减速器的优化设计
3.1 减速器的数学模型
二级圆柱齿轮减速器的装配形式按输入轴和输出轴伸出端的不同可分为好几种类别。现选取其中异端输出的方式进行优化设计.
其装配简图如图3－1所示：

已知参数为传动比(TransmissionRatio），输入功率 kw(InputEfficiency），主动齿轮转速n r/min (InitiativeGearRotationalSpeed），求在零件的强度和刚度得到保证的条件下使减速器最轻时的各项设计参数。
齿轮宽度 mm （GearWidth）
分度圆直径 mm （FdyDiameter)
腹板大圆直径 mm (FbdyDiameter)
腹板孔分布直径 mm (FbkfbDiameter）
腹板圆直径 mm （FbCircleDiameter）
腹板小圆直径 mm （FbxyDiameter)
装配轴直径 mm(AxisDiameter)

大齿轮选用腹板结构的齿轮
（如图3－2所示)）

轮宽度 mm （GearWidth)腹板式结构的齿轮体积为:

小齿轮均采用实心结构（如图3－3所示）
齿轮宽度b mm （Gearwidth)
分度圆直径d mm （FdyDiameter）
装配轴直径 d1 mm（AxisDiameter）

实心结构齿轮的体积为:

轴一的体积为：
轴二的体积为：
轴三的体积为：
由于齿轮和轴的尺寸是决定减速器总成大小和质量的原始依据，因此可按它们的体积之和为最小的原则来建立目标函数，而不考虑箱体和轴承的体积或质量。根据以上所述，则齿轮及轴的体积和可近似的表达为

公式中：

由上式可以看出，若传动比已知，则齿轮和轴的体积之和仅由齿宽,，小齿轮齿数，，模数，，齿轮装配孔直径，，，，齿轮在两轴承间的支承距离，，设为相等取为，和齿轮的各级传动齿轮的传动比，所决定。即为这些参数的函数:

代入各条件得：

若取它们为设计变量并表达为

则目标函数可写为

即为：

3.2 计算传动装置的运动和动力参数
（1） 各轴转速

（2） 各轴输入功率

（3） 各轴输入转矩

3.3 减速器常规参数的设定
（1） 压力角的选择
由《机械原理》可知，增大压力角，轮齿的厚度及节点处的齿廓曲率半径亦皆随之增加，有利于提高齿轮传动的弯曲强度及接触强度。我国对一般用途的齿轮传动规定标准压力角为
（2） 齿顶高系数和顶隙系数
我国已标准化，其值齿顶高系数为，顶隙系数为
（3） 齿轮材料的确定及其各项参数
我们设计二级圆柱齿轮减速器材料一般定为小齿轮为40Cr（调质),硬度为280HBS，大齿轮定为45钢（调质),硬度为240HBS，二者的硬度差为40 HBS。
（4） 设计的二级圆柱齿轮减速器为一般工作机械，故选用7级精度.
3。4 约束条件的确定
（1） 确定设计变量的上下界限
综合考虑传动平稳，轴向力不可太大，能满足短期过载,高速级与低速级大齿轮浸油深度大致相近，轴齿轮的分度圆尺寸不能太小等因素，取

因此建立10个不等式约束条件

（2） 相对齿宽条件
由齿轮的强度计算公式可知，齿轮愈宽,承载能力愈高,因而齿轮不宜过窄；但 增大齿宽又会使齿面上的载荷更趋不均匀，故齿宽系数应取得适当。由《机械设计》 表10－7知，当两支承相对小齿轮作不对称布置时，齿宽系数取0。7～1。15。
又 故：，则有,

（3） 按高速级大齿轮与低速轴不干涉的条件
,
其中E为低速轴轴线与高速级大齿轮齿顶圆之间的距离，取E＝5mm。将式用设计变量代换得:

（4） 齿轮的接触应力应不大于其许用值
由《机械设计》公式10－8a知齿轮接触疲劳强度的校核公式为

由《机械设计》表10－6可知，弹性影响系数为
齿轮强度载荷系数
其中 -— 使用系数
-- 动载系数
—— 齿间载荷分配系数
—- 齿向载荷分配系数
使用系数是考虑齿轮啮合时外部因素引起的附加动载荷影响的系数,由《机械设计》表10－2知道，减速机均匀平稳工作时
已知选用7级精度齿轮， 动载系数见《机械设计》图10－8，可利用Matlab曲线拟合得到曲线的公式， 其中,Matlab源程序为：
v=［0,1。75,3,6，8,10,20，30,40,50，60，70］；
k=[1。0，1.05，1。1，1.15,1。17，1。185,1.25,1.3，1。34,1.35，1.35，1.35］；
p=polyfit(v，k，6）；
p（1）
p（2)
p（3)
p（4）
p（5)
p（6）
p(7）
x=0:2。5：70；
y=p(1)。*x.^6+p（2).＊x。^5+ p（3).＊x。^4+p(4）。*x。^3+p（5）.*x。^2+p(6).*x+p（7）；
subplot（2，1,1）；plot(v,k，'k:diamond');
grid on；
subplot(2，1，2）；plot(x,y，'r：square’);
grid on；
得到系数值为
ans =
—1.4090e—010
ans =
3.3099e—008
ans =
-3。0013e-006
ans =
1.3206e—004
ans =
—0。0030
ans =
0.0384
ans =
0。9993

效果图如图3－4所示:

得到

对于精度为7级的齿轮而言，经表面硬化处理由《机械设计》表10－3知齿间载荷分布系数取为
由《机械设计》表10－4查得7级精度，小齿轮相对支承非对称布置时，，齿高得故由《机械设计》图10－13得齿向载荷分布系数

待入各参数值，得到以下四个不等式：

（5） 齿轮的弯曲应力应不大于其许用值
由《机械设计》公式10－5知，齿根危险截面的弯曲强度条件式为

齿形系数及应力校正系数可由《机械设计》表10－5知与齿轮齿数有关可以通过Matlab曲线拟合的方法进行公式化;
的拟合源程序：
z=[17，18,19,20，21,22，23，24,25，26,27,28,29,30,35,40，45，50，60，70，80，90,100，150，200］；
ysa=［1。52，1。53,1.54,1。55，1.56,1。57，1。575,1.58，1.59,1.595,1.60，1.61，1.62,1.625，1.65，1.67,1。68,1。70,1。73,1.75，1.77，1.78，1。79，1.83,1。865,］;
y2=polyfit（z，ysa，5)；
y2
x=17：1:200;
subplot（2,2,2）;plot(z，ysa）；
subplot（2,2,4）；plot（z,ysa,'ro'，x,y2（1）.＊x.^5+y2(2）.*x。^4+y2(3）.*x。^3+y2（4）.＊x.^2+y2(5）.*x+y2（6))；
x=[17,18，19，20，21,22，23,24,25,26，27，28,29，30，35,40，45，50,60,70,80,90，100,150,200]
y2（1）.＊x.^5+y2(2）。*x.^4+y2（3）.*x。^3+y2（4）.＊x.^2+y2（5）.＊x+y2（6）
y2(1)
y2(2)
y2（3)
y2(4）
y2(5)
y2（6)

得到系数为：
ans =
2。4308e-011
ans =
-1。3553e—008
ans =
2.8989e-006
ans =
—3.0694e-004
ans =
0。0178
ans =
1.2953
得到拟合公式为：

拟合的源程序:
data=[17，2。97;
18，2。91；
19,2.85；
20,2.80;
21，2。76;
22，2.72;
23，2.69;
24，2.65;
25,2.62；
26，2.60；
27，2。57;
28,2。55;
29，2.53；
30,2.52；
35,2.45；
40，2。40；
45，2.35；
50，2。32;
60，2。28；
70，2.24；
80,2。22;
90，2.20;
100,2.18;
150,2。14;
200,2。12
］;
init_lambda=［0,0];
lambda=fminsearch(’fun_e3’,init_lambda，［］,data）;
x=data（：，1);
y=data(：，2）;
A=［exp（lambda（1）*x) exp（lambda(2）＊x)];
a=A\y;
estimated_y=a（1）*exp(lambda(1）*x)+a（2)*exp(lambda(2)＊x）
subplot（2,2，1);plot(x,y）;
subplot（2,2，3)；plot(x,y,'ro',x,estimated_y,’b-’)
lambda（1）
lambda（2)
a(1)
a(2）
得到系数为:
ans =
—4.8639e—004
ans =
—0.0794
ans =
2。3135
ans =
2.5255
得到拟合公式为：

效果图如图3－5所示：

待入各参数值可得到以下四个不等式:

（6） 轴的弯扭强度校核计算
由《机械设计》公式15－50知，轴的弯扭合成强度条件为

-—轴的计算应力，单位为Mpa；
M-—轴所受的弯矩，单位为

如图3－6所示为第二根轴的水平面或垂直面上的受力分析简图，则易知总弯矩的公式为：
小齿轮处的弯矩

大齿轮处的弯矩

图3－7为第一根轴的受力分析示意图 易知第一根轴的总弯矩公式

同理可知第三根轴的总弯矩公式为

T——轴所受的扭矩，单位为
W——轴的抗弯截面系数,单位为

因为扭转切应力为脉动循环变应力，故,待入各变量可得到以下4个不等式：

（7） 两轴承支承距离最小限额尺寸
由于轴的长度除了满足安装齿轮外，还需满足安装轴承，齿轮间的间隙和轴承台阶部分的长度等，所以，取=80mm; =150mm；代入变量得到：

由上分析可知可得到34个约束条件。
由所建立的目标函数和给出的约束条件可知，这是一个具有12个设计变量和29个不等式约束条件的最优化设计问题,可采用惩罚函数内点法进行计算,并采用单纯形法求惩罚函数的无约束最优解。详细的程序源代码见本文附录。