学法大视野·数学·九年级上册(湘教新版)·第1章-反比例函数.docx

1.反比例函数概念一般地,如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成(k为常数,k0)的形式,那么称y是x的反比例函数.反比例函数的自变量x不能为.2.反比例函数的等价形式y是x的反比例函数y=kx(k0)y=kx-1(k0)xy=k(k0).探究一:反比例函数的概念【例1】 若函数y=(m+1)xm2+3m+1是反比例函数,则m的值为()(A)m=1(B)m=-2(C)m=-2或m=-1(D)m=2或m=1【导学探究】判断形如y=kx(k0)的反比例函数时,要特别注意:自变量x的指数是,k的取值范围是. 反比例函数y=kx(k0)中应注意三点:(1)k0;(2)x0;(3)其解析式的另外两种写法是xy=k,y=kx-1(k0),其中(1)是最容易被忽视的.变式训练1-1:下列各式中的两个字母都表示变量,哪些式子中的两个变量可以成反比例函数关系?每一个反比例函数相应的常数“k”值是多少?(1)y=x3;(2)xy=-6;(3)s=-3p;(4)y=3x+1.变式训练1-2:写出下列问题中y与x之间的函数关系式,并判断是否为反比例函数.(1)三角形的面积为36 cm2,底边长y(cm)与该边上的高x(cm);(2)圆锥的体积为60 cm3,它的高y(cm)与底面的面积x(cm2).探究二:求反比例函数解析式【例2】 已知y是x的反比例函数,(2,-2)是它图象上的一点,该图象是否经过点-6,13?【导学探究】1.设函数关系式为.2.把点代入关系式. 确定反比例函数的关系式:(1)设:设出关系式y=kx(k0);(2)代:把一组x、y的值代入;(3)写:写出函数关系式.变式训练2-1:已知y与x成反比例,并且当x=-1时,y=3,那么该函数的表达式为()(A)y=-3x(B)y=-3x(C)y=-13x(D)y=13x变式训练2-2:已知函数y=y1+y2,y1与x成正比例,y2与x成反比例,且当x=1时,y=4;当x=2时,y=5.(1)求y与x的函数表达式;(2)当x=4时,求y的值.1.(2013温州)已知点P(1,-3)在反比例函数y=kx(k0)的图象上,则k的值是()(A)3(B)-3(C)13(D)-132.下列函数中,能表示y是x的反比例函数的是()(A)y=2x(B)y=1x+1(C)y=13x(D)y=2x3.(2013邵阳)下列四个点中,在反比例函数y=-6x的图象上的是()(A)(3,-2)(B)(3,2)(C)(2,3)(D)(-2,-3)4.已知函数y=(m-2)xm2-5是反比例函数,则m的值为.5.某市举办“珍珠节”,需要生产4000个珍珠纪念品,一名工人一天的产量为5至8个,若要在40天内完成任务,那么大约需要多少工人?1.下列各选项中所列举的两个变量之间的关系,是反比例函数关系的是()(A)直角三角形中,30角所对的直角边y与斜边x之间的关系(B)等腰三角形,顶角y与底角x之间的关系(C)圆的面积S与它的直径d之间的关系(D)面积为20的菱形,其中一条对角线y与另一条对角线x的关系2.在函数y=3x;y=2x;y=-5x;y=-5x;s=vt;v=st;S=R2;t=100v;I=220R中.反比例函数有()(A)4个(B)3个(C)5个(D)6个3.(2013遂宁)已知反比例函数y=kx的图象经过点(2,-2),则k的值为()(A)4(B)-12(C)-4(D)-24.已知y与x成正比例,z与y成反比例,则z与x之间()(A)成正比例(B)成反比例(C)既成正比例又成反比例(D)既不成正比例也不成反比例5.已知反比例函数y=-2x的图象经过点(a,-a),则a的值为()(A)2(B)-2(C)2(D)26.已知函数y=(m+2)x|m|-3是反比例函数,则m的值为.7.(2013扬州)在温度不变的条件下,一定质量的气体的压强p与它的体积V成反比例,当V=200时,p=50,则当p=25时,V=.8.已知A(x1,y1),B(x2,y2)都在反比例函数y=6x的图象上.若x1x2=-3,则y1y2的值为.9.已知函数y=(m-2)xm2-3.(1)若y是x的正比例函数,求m的值.(2)若y是x的反比例函数,求m的值.10.生物学习小组欲建一个一边长为x m,面积是30 m2的三角形生物养殖区.若这条边上的高为y m,(1)求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围.(2) y关于x的函数是不是反比例函数?如果是,请说出它的比例系数.第1课时反比例函数的图象 1.反比例函数的图象反比例函数y=kx(k0)的图象是双曲线.2.反比例函数图象画法的注意事项(1)反比例函数的图象不是直线,“两点法”是不能画的;(2)选取的点越多,画的图越准确.3.反比例函数图象的性质(1)当k0时,两支曲线分别位于第象限内.(2)当k1(B)m0(C)m1(D)m0变式训练1-2:反比例函数y=mx2m2+3m-6图象在第二、四象限,那么m=.探究二:反比例函数与一次函数的结合【例2】 已知反比例函数y=kx的图象与一次函数y=3x+m的图象相交于点(1,5).(1)求这两个函数的关系式;(2)求这两个函数图象的另一个交点的坐标.【导学探究】1.把点代入y=kx和y=3x+m.2.两函数图象的交点坐标,即求方程组的解.变式训练2-1:(2013汕头)已知k100时,函数y=-5x的图象在()(A)第四象限(B)第三象限(C)第二象限(D)第一象限2.(2013沈阳)在同一平面直角坐标系中,函数y=x-1与函数y=1x的图象可能是()3.若双曲线y=kx与直线y=2x+1的一个交点的横坐标为-1,则k的值为()(A)-1(B)1(C)-2(D)24.(2013厦门)已知反比例函数y=m-1x的图象的一支位于第一象限,则常数m的取值范围是.5.(2013岳阳)如图,反比例函数y=kx与一次函数y=x+b的图象,都经过点A(1,2)(1)试确定反比例函数和一次函数的解析式;(2)求一次函数图象与两坐标轴的交点坐标.1.(2013随州)正比例函数y=kx和反比例函数y=-k2+1x(k是常数且k0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()2.(2013铜仁)已知矩形的面积为8,则它的长y与宽x之间的函数关系用图象大致可以表示为()3.(2013大理)若ab0,则一次函数y=ax+b与反比例函数y=abx在同一坐标系中的大致图象是()4.关于反比例函数y=4x的图象,下列说法正确的是()(A)必经过点(1,1)(B)两个分支分布在第二、四象限(C)两个分支关于x轴成轴对称(D)两个分支关于原点成中心对称5.(2013毕节)一次函数y=kx+b与反比例函数y=kx在同一直角坐标系下的大致图象如图所示;则k、b的取值范围是()(A)k0,b0(B)k0(C)k0,b0,b0时,y的值随x值的增大而;当k0时,y的值随x值的增大而.2.反比例函数图象的对称性反比例函数的图象双曲线既是轴对称图形,也是中心对称图形.(对称轴为直线,对称中心为).探究一:反比例函数的增减性【例1】 如图是反比例函数y=2n-4x的图象的一支,根据图象回答下列问题:(1)图象的另一支在哪个象限?常数n的取值范围是什么?(2)若函数的图象经过点(3,1),求n的值.(3)在这个函数图象的某一支上任取点A(a1,b1)和点B(a2,b2),如果a1a2,试比较b1和b2的大小.【导学探究】1. 函数过象限,所以2n-4.2.在每个分支上,y随x的增大而,由a1y20,则x的取值范围在数轴上表示正确的是()变式训练1-2:(2013海南)点(2,y1),(3,y2)在函数y=-2x的图象上,则y1y2(填“”或“x20时,下列结论正确的是()(A)0y1y2(B)0y2y1(C)y1y20(D)y2y10)的图象上,则y1、y2的大小关系为()(A)y1y2(D)y1y23.如图,已知A点是反比例函数y=kx(k0)的图象上一点,ABy轴于B,且ABO的面积为3,则k的值为.4.如图,点A在双曲线y=3x上,点B在双曲线y=5x上,C,D在x轴上,若四边形ABCD为矩形,则它的面积为.5.(2013郴州)已知:如图,一次函数的图象与y轴交于点C(0,3),且与反比例函数y=2x的图象在第一象限内交于A、B两点,其中A(1,a),求这个一次函数的解析式.1.(2013兰州)已知A(-1,y1),B(2,y2)两点在双曲线y=3+2mx上,且 y1y2,则m的取值范围是()(A)m0(B)m-32(D)m-322.反比例函数y=2x图象上的两点为(x1,y1),(x2,y2),且x1y2(B)y1y2(C)y1=y2(D)不能确定3.(2013潍坊)设点A(x1,y1)和B(x2,y2)是反比例函数y=kx图象上的两个点,当x1x20时,y1y2,则一次函数y=-2x+k的图象不经过的象限是()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限4.如图所示,两个反比例函数y=1x和y=-2x的图象分别是l1和l2.设点P在l1上,PCx轴,垂足为C,交l2于点A,PDy轴,垂足为D,交l2于点B,则三角形PAB的面积为()(A)3(B)4(C)92(D)55.如图,点A是反比例函数y=-6x(x0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M,分别与AB、BC相交于点D、E,若四边形ODBE的面积为9,则k的值为()(A)1(B)2(C)3(D)47.如图所示,一次函数y1=-x-1与反比例函数y2=-2x的图象交于点A(-2,1),B(1,-2),则使y1y2的x的取值范围是.8.(2013黄冈)已知反比例函数y=6x在第一象限的图象如图所示,点A在其图象上,点B为x轴正半轴上一点,连接AO、AB,且AO=AB,则SAOB=.9.如图是反比例函数y=5-2mx图象的一支.根据图象回答下列问题:(1)图象的另一支在哪个象限?常数m的取值范围是什么?(2)若点A(m-3,b1)和点B(m-4,b2)是该反比例函数图象上的两点,请你判断b1与b2的大小关系,并说明理由. 1.反比例函数的应用主要体现在三个方面(1)根据图象或其他信息,写出函数的解析式.(2)由已知条件画出函数的图象.(3)运用反比例函数的性质解决实际问题.2.应用反比例函数解决问题的注意事项(1)设出函数表达式,不要忘记系数的取值范围.(2)在求解中注意自变量的取值范围.(3)有些问题也可借助于图象或图表来解决,使问题更直观、条理.探究一:反比例函数的应用【例1】 某汽车的功率P(瓦)为一定值,汽车行驶时的速度v(米/秒)与它所受的牵引力F(牛)之间的函数关系如图所示.(1)这辆汽车的功率是多少?请写出v关于F的函数表达式;(2)当它所受牵引力为1200牛时,汽车的速度为多少千米/时?(3)如果限定汽车的速度不超过30 米/秒,那么F在什么范围内?【导学探究】1.由题图象知,v与F是函数,所以可设.2.v随F的增大而.变式训练1-1:近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例,已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25 m,则y与x的函数关系式为()(A)y=400x(B)y=14x(C)y=100x(D)y=1400x变式训练1-2:在对物体做功W一定的情况下,力F(牛)与此物体在力的方向上移动的距离s(米)成反比例函数关系,其图象如图所示,P(5,1)在图象上,则当力达到10牛时,物体在力的方向上移动的距离是米.探究二:反比例函数与一次函数的综合应用【例2】 如图所示,直线y=k1x+b与双曲线y=k2x相交于A(1,2),B(m,-1)两点.(1)求直线和双曲线的解析式;(2)若A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)为双曲线上的三点,且x1x20k2x的解集.【导学探究】1.由A点的坐标,可求出,从而可求出m=.2.借助求出不等式的解集. 反比例函数与一次函数的综合应用的常见类型:(1)求关系式;(2)求交点坐标;(3)求三角形面积;(4)比较函数值大小.变式训练2-1:(2013天水)函数y1=x和y2=1x的图象如图所示,则y1y2的x取值范围是()(A)x1(B)x-1或0x1(C)-1x1(D)-1x0或0xy2时,x的取值范围.1.在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳,当改变容器的体积时,气体的密度也会随之改变,密度(单位:kg/m3)是体积V(单位:m3)的反比例函数,它的图象如图所示,当V=10 m3时,气体的密度是()(A)5 kg/m3(B)2 kg/m3(C)100 kg/m3(D)1 kg/m32.三角形的面积为8 cm2,这时底边上的高y(cm)与底边长x(cm)之间的函数关系用图象来表示是()3.(2013南充)如图,函数y1=k1x与y2=k2x的图象相交于点A(1,2)和点B,当y11(B)-1x0(C)-1x1(D)x-1或0xy2,则x的取值范围是.6.兰州是拉面的故乡.在做拉面的过程中渗透着数学知识:一定体积的面团做成拉面,面条的总长度y(m)是面条的粗细(横截面积)S(mm2)的反比例函数,其图象如图所示.若工人师傅将面团拉成160根,每根长0.5 m时为成品,则此时拉面粗mm2.7.如图所示,直线y=2x-4交y轴于点A,交x轴于点B,交双曲线y=kx于点D,DCx轴于点C且SOAB=4SBCD,则D点坐标为.8.(2013宿迁)在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=13x+2与反比例函数y=5x(x0)图象交点的横坐标为x0.若kx0k+1,则整数k的值是.9.(2013钦州)如图,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于A(-2,m),B(4,-2)两点,与x轴交于C点,过A作ADx轴于D.(1)求这两个函数的解析式:(2)求ADC的面积.10.(2013湘西)如图,在平面直角坐标系xOy中,正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=2x的图象有一个交点A(m,2).(1)求m的值;(2)求正比例函数y=kx的解析式;(3)试判断点B(2,3)是否在正比例函数图象上,并说明理由.17 / 17