资源描述
1.反比例函数概念
一般地,如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成 (k为常数,k 0)的形式,那么称y是x的反比例函数.反比例函数的自变量x不能为 .
2.反比例函数的等价形式
y是x的反比例函数⇔y=kx(k≠0)⇔y=kx-1(k≠0)⇔xy=k(k≠0).
探究一:反比例函数的概念
【例1】 若函数y=(m+1)xm2+3m+1是反比例函数,则m的值为( )
(A)m=1 (B)m=-2
(C)m=-2或m=-1 (D)m=2或m=1
【导学探究】
判断形如y=kx(k≠0)的反比例函数时,要特别注意:①自变量x的指数是 ,②k的取值范围是 .
反比例函数y=kx(k≠0)中应注意三点:(1)k≠0;(2)x≠0;(3)其解析式的另外两种写法是xy=k,y=kx-1(k≠0),其中(1)是最容易被忽视的.
变式训练1-1:下列各式中的两个字母都表示变量,哪些式子中的两个变量可以成反比例函数关系?每一个反比例函数相应的常数“k”值是多少?
(1)y=x3;(2)xy=-6;
(3)s=-3p;(4)y=3x+1.
变式训练1-2:写出下列问题中y与x之间的函数关系式,并判断是否为反比例函数.
(1)三角形的面积为36 cm2,底边长y(cm)与该边上的高x(cm);
(2)圆锥的体积为60 cm3,它的高y(cm)与底面的面积x(cm2).
探究二:求反比例函数解析式
【例2】 已知y是x的反比例函数,(2,-2)是它图象上的一点,该图象是否经过点-6,13?
【导学探究】
1.设函数关系式为 .
2.把点 代入关系式.
确定反比例函数的关系式:(1)设:设出关系式y=kx(k≠0);(2)代:把一组x、y的值代入;(3)写:写出函数关系式.
变式训练2-1:已知y与x成反比例,并且当x=-1时,y=3,那么该函数的表达式为( )
(A)y=-3x (B)y=-3x
(C)y=-13x (D)y=13x
变式训练2-2:已知函数y=y1+y2,y1与x成正比例,y2与x成反比例,且当x=1时,y=4;当x=2时,y=5.
(1)求y与x的函数表达式;
(2)当x=4时,求y的值.
1.(2013温州)已知点P(1,-3)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上,则k的值是( )
(A)3 (B)-3 (C)13 (D)-13
2.下列函数中,能表示y是x的反比例函数的是 ( )
(A)y=2x (B)y=1x+1
(C)y=13x (D)y=2x
3.(2013邵阳)下列四个点中,在反比例函数y=-6x的图象上的是( )
(A)(3,-2) (B)(3,2)
(C)(2,3) (D)(-2,-3)
4.已知函数y=(m-2)xm2-5是反比例函数,则m的值为 .
5.某市举办“珍珠节”,需要生产4000个珍珠纪念品,一名工人一天的产量为5至8个,若要在40天内完成任务,那么大约需要多少工人?
1.下列各选项中所列举的两个变量之间的关系,是反比例函数关系的是( )
(A)直角三角形中,30°角所对的直角边y与斜边x之间的关系
(B)等腰三角形,顶角y与底角x之间的关系
(C)圆的面积S与它的直径d之间的关系
(D)面积为20的菱形,其中一条对角线y与另一条对角线x的关系
2.在函数①y=3x;②y=2x;③y=-5x;
④y=-5x;⑤s=vt;⑥v=st;⑦S=πR2;
⑧t=100v;⑨I=220R中.反比例函数有( )
(A)4个 (B)3个
(C)5个 (D)6个
3.(2013遂宁)已知反比例函数y=kx的图象经过点(2,-2),则k的值为( )
(A)4 (B)-12
(C)-4 (D)-2
4.已知y与x成正比例,z与y成反比例,则z与x之间( )
(A)成正比例
(B)成反比例
(C)既成正比例又成反比例
(D)既不成正比例也不成反比例
5.已知反比例函数y=-2x的图象经过点(a,-a),则a的值为( )
(A)2 (B)-2
(C)±2 (D)±2
6.已知函数y=(m+2)x|m|-3是反比例函数,则m的值为 .
7.(2013扬州)在温度不变的条件下,一定质量的气体的压强p与它的体积V成反比例,当V=200时,p=50,则当p=25时,V= .
8.已知A(x1,y1),B(x2,y2)都在反比例函数y=6x的图象上.若x1x2=-3,则y1y2的值为 .
9.已知函数y=(m-2)xm2-3.
(1)若y是x的正比例函数,求m的值.
(2)若y是x的反比例函数,求m的值.
10.生物学习小组欲建一个一边长为x m,面积是30 m2的三角形生物养殖区.若这条边上的高为y m,
(1)求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围.
(2) y关于x的函数是不是反比例函数?如果是,请说出它的比例系数.
第1课时 反比例函数的图象
1.反比例函数的图象
反比例函数y=kx(k≠0)的图象是双曲线.
2.反比例函数图象画法的注意事项
(1)反比例函数的图象不是直线,“两点法”是不能画的;
(2)选取的点越多,画的图越准确.
3.反比例函数图象的性质
(1)当k>0时,两支曲线分别位于第 象限内.
(2)当k<0时,两支曲线分别位于第 象限内.
探究一:反比例函数图象性质
【例1】 已知如图所示的曲线是函数y=m-5x(m为常数)图象的一支.
(1)求常数m的取值范围;
(2)若该函数的图象与正比例函数y=2x的图象在第一象限的交点为A(2,n),求点A的坐标及反比例函数的解析式.
【导学探究】
由题中图象可知反比例函数y=m-5x的两个分支分别位于 .可判断m-5 0.
反比例函数y=kx图象的位置决定于k的符号.
变式训练1-1:已知反比例函数y=1-mx的图象如图所示,则实数m的取值范围是( )
(A)m>1 (B)m>0
(C)m<1 (D)m<0
变式训练1-2:反比例函数y=mx2m2+3m-6图象在第二、四象限,那么m= .
探究二:反比例函数与一次函数的结合
【例2】 已知反比例函数y=kx的图象与一次函数y=3x+m的图象相交于点(1,5).
(1)求这两个函数的关系式;
(2)求这两个函数图象的另一个交点的坐标.
【导学探究】
1.把点 代入y=kx和y=3x+m.
2.两函数图象的交点坐标,即求方程组 的解.
变式训练2-1:(2013汕头)已知k1<0<k2,则函数y=k1x-1和y=k2x的图象大致是( )
变式训练2-2:如图,已知直线y=-x+2与反比例函数y=kx的图象相交于点A(-1,a),并且与x轴相交于点B.
(1)求a的值;
(2)求反比例函数的表达式;
(3)求△AOB的面积.
1.(2013兰州)当x>0时,函数y=-5x的图象在( )
(A)第四象限 (B)第三象限
(C)第二象限 (D)第一象限
2.(2013沈阳)在同一平面直角坐标系中,函数y=x-1与函数y=1x的图象可能是( )
3.若双曲线y=kx与直线y=2x+1的一个交点的横坐标为-1,则k的值为( )
(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2
4.(2013厦门)已知反比例函数y=m-1x的图象的一支位于第一象限,则常数m的取值范围是 .
5.(2013岳阳)如图,反比例函数y=kx与一次函数y=x+b的图象,都经过点A(1,2)
(1)试确定反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求一次函数图象与两坐标轴的交点坐标.
1.(2013随州)正比例函数y=kx和反比例函数y=-k2+1x(k是常数且k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
2.(2013铜仁)已知矩形的面积为8,则它的长y与宽x之间的函数关系用图象大致可以表示为( )
3.(2013大理)若ab>0,则一次函数y=ax+b与反比例函数y=abx在同一坐标系中的大致图象是( )
4.关于反比例函数y=4x的图象,下列说法正确的是( )
(A)必经过点(1,1)
(B)两个分支分布在第二、四象限
(C)两个分支关于x轴成轴对称
(D)两个分支关于原点成中心对称
5.(2013毕节)一次函数y=kx+b与反比例函数y=kx在同一直角坐标系下的大致图象如图所示;则k、b的取值范围是( )
(A)k>0,b>0
(B)k<0,b>0
(C)k<0,b<0
(D)k>0,b<0
6.(2013无锡)已知双曲线y=k+1x经过点(-1,2),那么k的值等于 .
7.(2013陕西)如果一个正比例函数的图象与反比例函数y=-6x的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,那么(x2-x1)(y2-y1)的值为 .
8.已知反比例函数y=m2x的图象过点(-4,-9),且反比例函数y=mx的图象位于第一、三象限,求m的值.
9.如图,直线y=kx+k(k≠0)与双曲线y=m-5x在第一象限内相交于点M,与x轴交于点A.
(1)求m的取值范围和点A的坐标;
(2)若点B的坐标为(3,0),AM=5,S△ABM=8,求双曲线的函数表达式.
第2课时 反比例函数的性质
1.反比例函数的增减性
反比例函数y=kx(k≠0)的图象,当k>0时, ,y的值随x值的增大而 ;当k<0时, ,y的值随x值的增大而 .
2.反比例函数图象的对称性
反比例函数的图象双曲线既是轴对称图形,也是中心对称图形.(对称轴为直线 ,对称中心为 ).
探究一:反比例函数的增减性
【例1】 如图是反比例函数y=2n-4x的图象的一支,根据图象回答下列问题:
(1)图象的另一支在哪个象限?常数n的取值范围是什么?
(2)若函数的图象经过点(3,1),求n的值.
(3)在这个函数图象的某一支上任取点A(a1,b1)和点B(a2,b2),如果a1<a2,试比较b1和b2的大小.
【导学探究】
1. 函数过 象限,所以2n-4 .
2.在每个分支上,y随x的增大而 ,由a1<a2可得b1 b2.
反比例函数的增减性要注意:
(1)前提是在每个象限内,(2)与一次函数增减性相反.
变式训练1-1:
(2013凉山州)如图,正比例函数y1与反比例函数y2相交于点E(-1,2),若y1>y2>0,则x的取值范围在数轴上表示正确的是( )
变式训练1-2:(2013海南)点(2,y1),(3,y2)在函数y=-2x的图象上,则y1 y2(填“>”或“<”或“=”).
探究二:反比例函数的几何意义
【例2】
如图所示,A、B是函数y=2x的图象上关于原点对称的任意两点,BC∥x轴,AC∥y轴,且交x轴于D,求△ABC的面积.
【导学探究】
从反比例函数y=kx(k≠0)的图象上任一点向两坐标轴作垂线(如图所示),与两坐标轴围成的矩形的面积等于 ,三角形面积(S△AOB)等于 .
变式训练2-1:
(2013永州)如图,两个反比例函数y=4x和y=2x在第一象限内的图象分别是C1和C2,设点P在C1上,PA⊥x轴于点A,交C2于点B,则△POB的面积为 .
变式训练2-2:如图所示,设A为反比例函数y=kx图象上一点,且长方形ABOC的面积为3,求这个反比例函数的解析式.
1.(2013义乌)已知两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)在反比例函数y=3x的图象上,当x1>x2>0时,下列结论正确的是( )
(A)0<y1<y2 (B)0<y2<y1
(C)y1<y2<0 (D)y2<y1<0
2.(2013滨州)若点A(1,y1)、B(2,y2)都在反比例函数y=kx(k>0)的图象上,则y1、y2的大小关系为( )
(A)y1<y2 (B)y1≤y2
(C)y1>y2 (D)y1≥y2
3.如图,已知A点是反比例函数y=kx(k≠0)的图象上一点,AB⊥y轴于B,且△ABO的面积为3,则k的值为 .
4.如图,点A在双曲线y=3x上,点B在双曲线y=5x上,C,D在x轴上,若四边形ABCD为矩形,则它的面积为 .
5.
(2013郴州)已知:如图,一次函数的图象与y轴交于点C(0,3),且与反比例函数y=2x的图象在第一象限内交于A、B两点,其中A(1,a),
求这个一次函数的解析式.
1.(2013兰州)已知A(-1,y1),B(2,y2)两点在双曲线y=3+2mx上,且 y1>y2,则m的取值范围是( )
(A)m>0 (B)m<0
(C)m>-32 (D)m<-32
2.反比例函数y=2x图象上的两点为(x1,y1),(x2,y2),且x1<x2,则下列关系成立的是( )
(A)y1>y2 (B)y1<y2
(C)y1=y2 (D)不能确定
3.(2013潍坊)设点A(x1,y1)和B(x2,y2)是反比例函数y=kx图象上的两个点,当x1<x2<0时,y1<y2,则一次函数y=-2x+k的图象不经过的象限是( )
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
4.如图所示,两个反比例函数y=1x和y=-2x的图象分别是l1和l2.设点P在l1上,PC⊥x轴,垂足为C,交l2于点A,PD⊥y轴,垂足为D,交l2于点B,则三角形PAB的面积为( )
(A)3 (B)4 (C)92 (D)5
5.
如图,点A是反比例函数y=-6x(x<0)的图象上的一点,过点A作平行四边形ABCD,使点B、C在x轴上,点D在y轴上,则平行四边形ABCD的面积为( )
(A)1 (B)3 (C)6 (D)12
6.(2013内江)如图,反比例函数y=kx(x>0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M,分别与AB、BC相交于点D、E,若四边形ODBE的面积为9,则k的值为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
7.如图所示,一次函数y1=-x-1与反比例函数y2=-2x的图象交于点A(-2,1),B(1,-2),则使y1>y2的x的取值范围是 .
8.(2013黄冈)已知反比例函数y=6x在第一象限的图象如图所示,点A在其图象上,点B为x轴正半轴上一点,连接AO、AB,且AO=AB,则S△AOB= .
9.如图是反比例函数y=5-2mx图象的一支.根据图象回答下列问题:
(1)图象的另一支在哪个象限?常数m的取值范围是什么?
(2)若点A(m-3,b1)和点B(m-4,b2)是该反比例函数图象上的两点,请你判断b1与b2的大小关系,并说明理由.
1.反比例函数的应用主要体现在三个方面
(1)根据图象或其他信息,写出函数的解析式.
(2)由已知条件画出函数的图象.
(3)运用反比例函数的性质解决实际问题.
2.应用反比例函数解决问题的注意事项
(1)设出函数表达式,不要忘记系数的取值范围.
(2)在求解中注意自变量的取值范围.
(3)有些问题也可借助于图象或图表来解决,使问题更直观、条理.
探究一:反比例函数的应用
【例1】 某汽车的功率P(瓦)为一定值,汽车行驶时的速度v(米/秒)与它所受的牵引力F(牛)之间的函数关系如图所示.
(1)这辆汽车的功率是多少?请写出v关于F的函数表达式;
(2)当它所受牵引力为1200牛时,汽车的速度为多少千米/时?
(3)如果限定汽车的速度不超过30 米/秒,那么F在什么范围内?
【导学探究】
1.由题图象知,v与F是 函数,所以可设 .
2.v随F的增大而 .
变式训练1-1:近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例,已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25 m,则y与x的函数关系式为( )
(A)y=400x (B)y=14x
(C)y=100x (D)y=1400x
变式训练1-2:在对物体做功W一定的情况下,力F(牛)与此物体在力的方向上移动的距离s(米)成反比例函数关系,其图象如图所示,P(5,1)在图象上,则当力达到10牛时,物体在力的方向上移动的距离是 米.
探究二:反比例函数与一次函数的综合应用
【例2】
如图所示,直线y=k1x+b与双曲线y=k2x相交于A(1,2),B(m,-1)两点.
(1)求直线和双曲线的解析式;
(2)若A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)为双曲线上的三点,且x1<x2<0<x3,请直接写出y1,y2,y3的大小关系式;
(3)观察图象,请直接写出不等式k1x+b>k2x的解集.
【导学探究】
1.由A点的坐标,可求出 ,从而可求出m= .
2.借助 求出不等式的解集.
反比例函数与一次函数的综合应用的常见类型:(1)求关系式;(2)求交点坐标;(3)求三角形面积;(4)比较函数值大小.
变式训练2-1:(2013天水)函数y1=x和y2=1x的图象如图所示,则y1>y2的x取值范围是( )
(A)x<-1或x>1
(B)x<-1或0<x<1
(C)-1<x<0或x>1
(D)-1<x<0或0<x<1
变式训练2-2:
已知平面直角坐标系xOy,直线y=12x+b经过第一、二、三象限,与y轴交于点B,点A(2,t)在直线y=12x+b上,连接AO,△AOB的面积等于1.
(1)求b的值;
(2)如果反比例函数y=kx(k是常量,k≠0)的图象经过点A,求这个反比例函数的解析式.
1.(2013泉州)为了更好保护水资源,造福人类,某工厂计划建一个容积V(m3)一定的污水处理池,池的底面积S(m2)与其深度h(m)满足关系式:V=Sh(V≠0),则S关于h的函数图象大致是( )
2.(2013三明)如图,已知直线y=mx与双曲线y=kx的一个交点坐标为(3,4),则它们的另一个交点坐标是 ( )
(A)(-3,4) (B)(-4,-3)
(C)(-3,-4) (D)(4,3)
3.
(2013荆州)如图,在平面直角坐标系中,直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点,以AB为边在第一象限作正方形ABCD,沿x轴负方向平移a个单位长度后,点C恰好落在双曲线上,则a的值是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
4.(2013枣庄)若正比例函数y=-2x与反比例函数y=kx图象的一个交点坐标为(-1,2),则另一个交点的坐标为 .
5.(2013新疆)如图,已知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=mx的图象交于A(2,4)、B(-4,n)两点.
(1)分别求出y1和y2的解析式;
(2)写出y1=y2时,x的值;
(3)写出y1>y2时,x的取值范围.
1.在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳,当改变容器的体积时,气体的密度也会随之改变,密度ρ(单位:kg/m3)是体积V(单位:m3)的反比例函数,它的图象如图所示,当V=10 m3时,气体的密度是 ( )
(A)5 kg/m3 (B)2 kg/m3
(C)100 kg/m3 (D)1 kg/m3
2.三角形的面积为8 cm2,这时底边上的高y(cm)与底边长x(cm)之间的函数关系用图象来表示是( )
3.(2013南充)如图,函数y1=k1x与y2=k2x的图象相交于点A(1,2)和点B,当y1<y2时,自变量x的取值范围是( )
(A)x>1
(B)-1<x<0
(C)-1<x<0或x>1
(D)x<-1或0<x<1
4.(2013黔东南州)如图,直线y=2x与双曲线y=2x在第一象限的交点为A,过点A作AB⊥x轴于B,将△ABO绕点O旋转90°,得到△A'B'O,则点A'的坐标为( )
(A)(1,0)
(B)(1,0)或(-1,0)
(C)(2,0)或(0,-2)
(D)(-2,1)或(2,-1)
5.如图所示,一次函数y1=ax+b(a≠0)与反比例函数y2=kx(k≠0)的图象交于A(1,4)、B(4,1)两点,若y1>y2,则x的取值范围是 .
6.兰州是拉面的故乡.在做拉面的过程中渗透着数学知识:一定体积的面团做成拉面,面条的总长度y(m)是面条的粗细(横截面积)S(mm2)的反比例函数,其图象如图所示.若工人师傅将面团拉成160根,每根长0.5 m时为成品,则此时拉面粗 mm2.
7.如图所示,直线y=2x-4交y轴于点A,交x轴于点B,交双曲线y=kx于点D,DC⊥x轴于点C且S△OAB=4S△BCD,则D点坐标为 .
8.(2013宿迁)在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=13x+2与反比例函数y=5x(x>0)图象交点的横坐标为x0.若k<x0<k+1,则整数k的值是 .
9.(2013钦州)如图,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于A(-2,m),B(4,-2)两点,与x轴交于C点,过A作AD⊥x轴于D.
(1)求这两个函数的解析式:
(2)求△ADC的面积.
10.(2013湘西)如图,在平面直角坐标系xOy中,正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=2x的图象有一个交点A(m,2).
(1)求m的值;
(2)求正比例函数y=kx的解析式;
(3)试判断点B(2,3)是否在正比例函数图象上,并说明理由.
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