理论力学点的运动.ppt

第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 运运运运 动动动动 学学学学 西北工业大学西北工业大学西北工业大学西北工业大学点的运动点的运动第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 运 动 学目录12用矢量法表示点的速度和加速度 13用直角坐标法表示点的速度和加速度 11确定点的运动的基本方法点的运动方程14用自然法表示点的速度和加速度第一章 点的运动第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 自然法 坐标法 矢量法 第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 1-1 确定点的运动的基本方法确定点的运动的基本方法点的运动方程点的运动方程第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 （1 1 1 1）、定义：）、定义：）、定义：）、定义：以动点的运动轨迹作为一条曲线形式的坐标以动点的运动轨迹作为一条曲线形式的坐标 轴来确定动点位置的方法称为轴来确定动点位置的方法称为自然法。（）（）sOM1-1 确定点的运动的基本方法确定点的运动的基本方法点的运动方程点的运动方程（2 2 2 2）、运运运运动动动动方方方方程程程程：设设动动点点M 沿沿已已知知轨轨迹迹曲曲线线运运动动，在在轨轨迹迹曲曲线线上上任任选选一一定定点点O作作为为量量取取弧弧长长的的起起点点，并并规规定定由由原原点点O向向一一方方量量得得的的弧弧长长取取正正值值，向向另另一一方方量量得得的的弧弧长长取取负负值值。这这种种带带有有正正负负值值的的弧弧长长OM 称称为为动动点点的的弧坐标，用用s表表示示。点点在在轨轨迹迹上的位置可由弧坐标上的位置可由弧坐标s完全确定。完全确定。1.自然法第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 当当点点M沿沿已已知知轨轨迹迹运运动动时时，弧弧坐坐标标s随随时时间间而而变变，并并可可表表示为时间示为时间t的单值连续函数，即的单值连续函数，即 这个方程表示了点这个方程表示了点M沿已知轨迹的沿已知轨迹的运动规律，称为，称为自然自然法表示的点法表示的点M的运动方程。的运动方程。（）（）sOM 自然法自然法自然法自然法1-1 确定点的运动的基本方法确定点的运动的基本方法点的运动方程点的运动方程第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 这一组方程称为点这一组方程称为点M的的直角坐标形式的运动方程。动动点点M对对于于所所选选直直角角坐坐标标系系的的位位置置，可可由由它它的的三三个个坐坐标标x，y，z 决决定定。当当点点M 运运动动时时，这这些些坐坐标标一一般般地地可可以以表表示示为为时间时间t 的单值连续函数，即的单值连续函数，即MxyzxyzijkOr1-1 确定点的运动的基本方法确定点的运动的基本方法点的运动方程点的运动方程2.坐标法 通常采用直角坐标。通常采用直角坐标。若若函函数数f1，f2，f3都都是是已已知知的的，则则动动点点M 对对应应于于任任一一瞬瞬间间t 的位置即可完全确定。的位置即可完全确定。在运动方程的三个式子中消去在运动方程的三个式子中消去t t 即得直角坐标形式的即得直角坐标形式的轨迹方程。第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 矢径矢径r 唯一的决定了点唯一的决定了点M的位置。当的位置。当点点M 运动时，矢径运动时，矢径r 是随时间而变的矢量，是随时间而变的矢量，一般可表示为时间一般可表示为时间t t的单值连续函数的单值连续函数 由由定定点点O画画到到动动点点M的的有有向向线线段段OM=r称为动点称为动点M的的矢径，它的解析式为它的解析式为 这方程称为点这方程称为点M的的矢量形式的运动方程。MxyzxyzijkOr1-1 确定点的运动的基本方法确定点的运动的基本方法点的运动方程点的运动方程3.矢量法 矢径端点在空间描出的曲线称为矢径端点在空间描出的曲线称为矢端图，它就是动点的轨迹。它就是动点的轨迹。矢量法确定点的位置比直角坐标法简明，理论推导时常用。矢量法确定点的位置比直角坐标法简明，理论推导时常用。第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 矢量法矢量法矢量法矢量法1-1 确定点的运动的基本方法确定点的运动的基本方法点的运动方程点的运动方程矢量法实例矢量法实例第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 例例1-11-1 椭椭圆圆规规的的曲曲柄柄OA可可绕绕定定轴轴O转转动动，端端点点A以以铰铰链链连连接接于于规规尺尺BC；规规尺尺上上的的点点B和和C可可分分别别沿沿互互相相垂垂直直的的滑滑槽槽运运动动。求求规规尺尺上上任任一一点点M 的的轨轨迹方程迹方程。ACByOxMxy已知已知:例题例题例题例题1-11-11-1 确定点的运动的基本方法确定点的运动的基本方法点的运动方程点的运动方程例题1-1第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 运运 动动 演演 示示 例题例题例题例题1-11-11-1 确定点的运动的基本方法确定点的运动的基本方法点的运动方程点的运动方程第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 ACByOxMxy 考虑任意位置，考虑任意位置，M点的坐标点的坐标 x，y可以表示成可以表示成消去上式中的角消去上式中的角，即得即得M点的轨点的轨迹方程迹方程:解:例题例题例题例题1-11-11-1 确定点的运动的基本方法确定点的运动的基本方法点的运动方程点的运动方程第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 轨轨 迹迹 演演 示示 例题例题例题例题1-11-11-1 确定点的运动的基本方法确定点的运动的基本方法点的运动方程点的运动方程第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 M点的轨迹是什么曲线点的轨迹是什么曲线？思考题 例题例题例题例题1-11-11-1 确定点的运动的基本方法确定点的运动的基本方法点的运动方程点的运动方程第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 轨轨 迹迹 演演 示示 例题例题例题例题1-11-11-1 确定点的运动的基本方法确定点的运动的基本方法点的运动方程点的运动方程第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 xyOACBl 例例1-2 1-2 曲曲柄柄连连杆杆机机构构中中曲曲柄柄OA和和连连杆杆AB的的长长度度分分别别为为r和和l。且且lr，角角=t，其其中中是是常常量量。滑滑块块B可可沿沿轴轴Ox作往复运动。试求滑块作往复运动。试求滑块B的运动方程，速度和加速度。的运动方程，速度和加速度。例题例题例题例题1-21-21-1 确定点的运动的基本方法确定点的运动的基本方法点的运动方程点的运动方程例题1-2第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 运运 动动 演演 示示 例题例题例题例题1-21-21-1 确定点的运动的基本方法确定点的运动的基本方法点的运动方程点的运动方程第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 考虑滑块考虑滑块 B 在任意位置，由几何关系得滑块在任意位置，由几何关系得滑块 B 的坐标的坐标将将=t 代入上式得代入上式得令令=r/l，将上式中的根将上式中的根式展开，有式展开，有xyOACBl解:例题例题例题例题1-21-21-1 确定点的运动的基本方法确定点的运动的基本方法点的运动方程点的运动方程第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 略去略去4以及更高阶项，并利用关系以及更高阶项，并利用关系滑块滑块B的速度和加速度分别为的速度和加速度分别为xyOACBl则则可表示为可表示为 例题例题例题例题1-21-21-1 确定点的运动的基本方法确定点的运动的基本方法点的运动方程点的运动方程第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 位移 速度 加速度 1-2 用矢量法表示点的速用矢量法表示点的速度和加速度度和加速度第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 1-2 用矢量法表示点的速度和加速度用矢量法表示点的速度和加速度 设设有有一一点点M沿沿曲曲线线AB运运动动，在在任任一一瞬瞬时时t，该该点点之之位位置置可可由由如如下下矢矢径确定径确定显然，当动点显然，当动点M沿沿 AB 运动时运动时，r是一变矢量。是一变矢量。1.位 移 从从瞬瞬时时 t 到到 t+t，动动点点位位置置由由M改改变变到到M，其其矢矢径径分分别为别为r和和r。在时间间隔在时间间隔t内内，r 之变化量为之变化量为它表示在它表示在t时间内动点矢径之改变，称为动点在时间内动点矢径之改变，称为动点在t时间内的时间内的位移。BMOr0ABM0Mrrr第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 由由矢矢导导数数定定义义知知，动动点点之之速速度度v的的方方向向沿沿动动点点的的矢矢端端图图（即轨迹曲线即轨迹曲线）的切线方向，并与此点的运动方向一致。的切线方向，并与此点的运动方向一致。当当t0时时，v的的极极限限值值称称为为动动点点在瞬间在瞬间t 之速度之速度比值比值表示动点在表示动点在t时间内的平均速度。时间内的平均速度。即即点的速度等于它之矢径对时间的一阶导数。MrBOr0AM0Mrr1-2 用矢量法表示点的速度和加速度用矢量法表示点的速度和加速度2.速 度第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 设从某一固定点设从某一固定点O画出动点画出动点在连续瞬间在连续瞬间t0，t,t+t、t2.速度矢速度矢在在t时时间间内内，速速度度改改变变量量为为 ，比比值值 称称为在为在t 时间内之平均加速度时间内之平均加速度 连接各速度矢量之端点，可得一曲线，连接各速度矢量之端点，可得一曲线，称为速度矢端图，此时可视称为速度矢端图，此时可视v为一变矢量为一变矢量。va*Mv0M0MMvOv01-2 用矢量法表示点的速度和加速度用矢量法表示点的速度和加速度3.加 速 度（1 1）平均加速度）平均加速度第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 当当t0时，时，之极限称为动点在瞬时之极限称为动点在瞬时t t 之瞬时加速度。之瞬时加速度。即即动点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数，或等于它的矢径对时间的二阶导数。其其方方向向沿沿速速度度矢矢端端图图之之切切线线，并并指向速度矢端运动的方向。指向速度矢端运动的方向。又又则则a*vvOv0a 加加加加速度速度速度速度1-2 用矢量法表示点的速度和加速度用矢量法表示点的速度和加速度（2 2）瞬时加速度）瞬时加速度第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 直角坐标法表示点的速度直角坐标法表示点的加速度1-3 用直角坐标法表示点用直角坐标法表示点的速度和加速度的速度和加速度第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 由由于于沿沿固固定定轴轴的的单单位位矢矢i、j、k不不随随时时间间而而变变,它它们们对对时时间的导数都等于零间的导数都等于零,故得故得 1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度用直角坐标法表示点的速度和加速度已知动点的直角坐标形式的运动方程已知动点的直角坐标形式的运动方程由坐标原点由坐标原点O画出动点的矢径画出动点的矢径因而有速度的矢量法表达式因而有速度的矢量法表达式MxyzxyzijkOr1.直角坐标法表示点的速度第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 即即,点的速度在固定直角坐标系各轴上的投影,分别等于动点的对应坐标对时间的一阶导数。以以vx，vy，vz，代表速度代表速度v 在固定轴在固定轴x，y，z上的投影，则有上的投影，则有与前式比较，得与前式比较，得 速速速速 度度度度1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度用直角坐标法表示点的速度和加速度第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 已知动点速度的投影，可求出速度矢量已知动点速度的投影，可求出速度矢量v的大小和方向余弦。的大小和方向余弦。速速速速 度度度度1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度用直角坐标法表示点的速度和加速度第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 把速度把速度v 的表达式对时间的表达式对时间t 求导数，可得加速度的矢量表达式求导数，可得加速度的矢量表达式另一方面，有分解式另一方面，有分解式1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度用直角坐标法表示点的速度和加速度2.直角坐标法表示点的加速度速度速度v 的矢量表达式的矢量表达式第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 其其中中ax，ay，az是是加加速速度度a 在在固固定定轴轴x，y，z上上的的投投影影。比比较较上上列两式，得列两式，得即即，点的加速度在固定直角坐标系各轴上的投影，分别等于点的速度的对应投影对时间的一阶导数，或者等于对应坐标对时间的二阶导数。加加加加速度速度速度速度1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度用直角坐标法表示点的速度和加速度加速度的矢量表达式加速度的矢量表达式加速度的分解式加速度的分解式第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 已知动点加速度的投影，可求出加速度已知动点加速度的投影，可求出加速度a 的大小和方向余弦的大小和方向余弦 加加加加速度速度速度速度1-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度用直角坐标法表示点的速度和加速度第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 例例1-3 1-3 半半径径是是 r 的的车车轮轮沿沿固固定定水水平平轨轨道道滚滚动动而而不不滑滑动动（如如图图）。轮轮缘缘上上一一点点M，在在初初瞬瞬时时与与轨轨道道上上的的O点叠叠合合；在在瞬瞬时时t半半径径MC与与轨轨道道的的垂垂线线HC组组成成交交角角=t，其其中中是是常常量量。试试求求在车轮滚一转的过程中该在车轮滚一转的过程中该M点的运动方程，瞬时速度和加速度。点的运动方程，瞬时速度和加速度。O OH HC CD DMMx xy y 例题例题例题例题1-31-31-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度用直角坐标法表示点的速度和加速度例题1-3第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 O OA AH HB BC CD DMMx xy y 解：1.求M点的运动方程。在在M点的的运运动动平平面面内内取取直直角角坐坐标标系系Oxy如如图图所所示示：轴轴 x 沿沿直直线线轨轨道道，并并指指向向轮轮子子滚滚动动的的前前进进方方向向，轴轴 y 铅铅直直向向上上。考考虑虑车车轮轮在在任任意意瞬瞬时时位位置置，因因车车轮轮滚滚动动而而不不滑滑动动，故故有有OH=MH。于是，在图示瞬时动点于是，在图示瞬时动点M 的坐标为的坐标为 例题例题例题例题1-31-31-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度用直角坐标法表示点的速度和加速度第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 这这方方程程说说明明M点点的的轨轨迹迹是是滚滚轮轮线线（即即摆摆线线）。车车轮轮滚滚一一圈圈的的时时间间 T=2/，在在此此过过程程中中，M点点的的轨轨迹迹只只占占滚滚轮轮线线的的一一环环OEP，其两端其两端O和和P是尖点。是尖点。O OA AH HB BC CD DMMx xy y P P以以 代代入入，得得M点的点的运动方程运动方程 E 例题例题例题例题1-31-31-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度用直角坐标法表示点的速度和加速度第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 求坐标求坐标 x，y 对时间的一阶对时间的一阶导数，得导数，得 故得故得M点速度点速度 v 的大小和方向，有的大小和方向，有 M点的速度矢恒通过轮子的最高点点的速度矢恒通过轮子的最高点D。O OA AH HB BC CD DMMP Px xy y 2.求M点的瞬时速度。v v 例题例题例题例题1-31-31-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度用直角坐标法表示点的速度和加速度第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 求求vx，vy 对对时间的一阶导数，得时间的一阶导数，得 故得故得M点加速度点加速度 a 的大小和方向，有的大小和方向，有 x=0,y=0;当当t=0时，有时，有 这表示，当这表示，当M点接触轨道时，它的速度等于零，而加速度点接触轨道时，它的速度等于零，而加速度垂直于轨道。这是轮子沿固定轨道滚而不滑的特征。垂直于轨道。这是轮子沿固定轨道滚而不滑的特征。O OA AH HB BC CD DMMP PE Ex xy y a a3.求M点的瞬时加速度。例题例题例题例题1-31-31-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度用直角坐标法表示点的速度和加速度第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 轨轨 迹迹 演演 示示 例题例题例题例题1-31-31-3 用直角坐标法表示点的速度和加速度用直角坐标法表示点的速度和加速度第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 点的速度在自然轴上的投影 曲线的曲率自然轴系 点的加速度在自然轴上的投影1-4 自然法表示点自然法表示点的速度和加速的速度和加速度度第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 比值比值 可用来表示弧可用来表示弧MM的平均弯曲程度，并称为的平均弯曲程度，并称为平均曲率平均曲率。当当点点M趋趋近近于于点点M时时，平平均均曲曲率率的的极极限限值值称称为为曲曲线线在在点点M处处的的曲曲率率，用用k 表示，有表示，有TMTMsT1 （取取绝绝对对值值）称称为为曲曲线线对对应应于于弧弧 MM的的邻邻角角，可可用用来来说说明明该该曲线的弯曲程度。曲线的弯曲程度。1-4 自然法表示点的速度和加速度自然法表示点的速度和加速度1.曲线的曲率曲线的曲率 自然轴系自然轴系第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 曲曲线线在在点点M的的曲曲率率的的倒倒数数，称称为为曲曲线线在在点点M的的曲曲率率半半径径，用用表表示示，有有TMTMsT1 曲线的曲率曲线的曲率曲线的曲率曲线的曲率1-4 自然法表示点的速度和加速度自然法表示点的速度和加速度曲曲 率率第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 密切面密切面1-4 自然法表示点的速度和加速度自然法表示点的速度和加速度第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 在图中点在图中点M趋近于趋近于M，即即 趋近于零的过程中，包括直线趋近于零的过程中，包括直线 MT 和和MT1的平面，将绕的平面，将绕MT转动而趋近于某转动而趋近于某一极限位置；在这极限位置的平面称一极限位置；在这极限位置的平面称为曲线在点为曲线在点M的的密切面或曲率平面。TMTMsT11-4 自然法表示点的速度和加速度自然法表示点的速度和加速度 密切面密切面密切面密切面第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 通通过过点点M而而与与切切线线垂垂直直的的平面，称为曲线在点平面，称为曲线在点M 的的法面。法面主法线副法线M法面法面 法法面面与与密密切切面面的的交交线线MN称为称为主法线。法法面面内内与与主主法法线线垂垂直直的的直线直线MB称为称为副法线。密切面密切面1-4 自然法表示点的速度和加速度自然法表示点的速度和加速度第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 在点在点M处曲线的切线、处曲线的切线、主法线和副法线组成一个空主法线和副法线组成一个空间坐标架，称为点间坐标架，称为点M的的自然轴系；各各轴轴的的正正向向规规定定如如下下：设设用用et,en,eb代代表表这这三三个个轴轴的的轴轴向向单单位位矢矢，则则et指指向向弧弧坐坐标标增增加加的的一一方方，en指指向向曲曲线线的的凹凹边边，而而 eb=et en；M 自然轴系N NB BT Te eb be en ne et t1-4 自然法表示点的速度和加速度自然法表示点的速度和加速度第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 可可见见自自然然轴轴系系是是随随点点M的的位位置置而而改改变变的的直直角角空空间间坐坐标标架架，它它在在研研究究点点沿沿已已知知轨轨迹迹的的运运动动时有重要的意义。时有重要的意义。曲曲线线上上的的点点都都具具有有自自己己的的自自然然轴轴系系，故故et,en,eb都都是是方方向向随随点点M的的位位置置而而改改变变的的单单位位矢。矢。自然轴系自然轴系自然轴系自然轴系1-4 自然法表示点的速度和加速度自然法表示点的速度和加速度第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 MrsABMOrrsv()()O1M点的速度点的速度（矢量矢量）为为设设已知点已知点M的运动轨迹和运动方程的运动轨迹和运动方程大小大小大小大小1-4 自然法表示点的速度和加速度自然法表示点的速度和加速度2.点的速度在自然轴上的投影第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 MrsABMOrrsv()()O1 方向沿轨迹在方向沿轨迹在M处的切线处的切线et 并并指向弧坐标增加的一方。指向弧坐标增加的一方。et方向方向方向方向 可可见见，点点M的的速速度度是是沿沿轨轨迹迹切切线，并可表示为线，并可表示为 1-4 自然法表示点的速度和加速度自然法表示点的速度和加速度 速度的投影速度的投影速度的投影速度的投影第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 即：即：动点的速度在切线上的投影，等于它的弧坐标对时间的一阶导数。又沿轨迹切线，所以它在法线上的投影恒等于零。又沿轨迹切线，所以它在法线上的投影恒等于零。其其中中v 是是速速度度矢矢量量在在切切线线正正向向的的投投影影，大小等于大小等于 速度的投影速度的投影速度的投影速度的投影 MrsABMOrrsv()()O1t t1-4 自然法表示点的速度和加速度自然法表示点的速度和加速度第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 根据加速度的定义以及弧坐标中速度的表达式根据加速度的定义以及弧坐标中速度的表达式1-4 自然法表示点的速度和加速度自然法表示点的速度和加速度3.点的加速度在自然轴上的投影第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动?加速度的投影加速度的投影加速度的投影加速度的投影1-4 自然法表示点的速度和加速度自然法表示点的速度和加速度第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 大小大小大小大小1-4 自然法表示点的速度和加速度自然法表示点的速度和加速度 加速度的投影加速度的投影加速度的投影加速度的投影MetetetetMetetMet因为因为所以所以第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 en方向方向方向方向etMetetMet1-4 自然法表示点的速度和加速度自然法表示点的速度和加速度 加速度的投影加速度的投影加速度的投影加速度的投影 当当 0时时，et 和和 et以及以及 et 同处于同处于M点的密切面内，点的密切面内，这这时时，et 的极限方向垂直于的极限方向垂直于et ，亦即沿亦即沿 en方向方向。第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 1-4 自然法表示点的速度和加速度自然法表示点的速度和加速度 加速度的投影加速度的投影加速度的投影加速度的投影第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 加速度在自然轴系上的投影形式切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度1-4 自然法表示点的速度和加速度自然法表示点的速度和加速度 加速度的投影加速度的投影加速度的投影加速度的投影第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 切向加速度切向加速度表示速度矢量大小的变化率；表示速度矢量大小的变化率；法向加速度法向加速度表示速度矢量方向的变化率；表示速度矢量方向的变化率；即即 abeb=0,表明加速度表明加速度 a 在副法线在副法线方向没有分量；方向没有分量；还表明速度矢量还表明速度矢量v 和加速度矢量和加速度矢量a 都位于密切面内。都位于密切面内。讨论1-4 自然法表示点的速度和加速度自然法表示点的速度和加速度 加速度的投影加速度的投影加速度的投影加速度的投影第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 动动点点的的加加速速度度在在切切线线上上的的投投影影，等等于于速速度度在在切切线线上上的的投投影影对对时时间间的的导导数数；加加速速度度在在主主法法线线上上的的投投影影，等等于于速速度度的的平平方方除除以以轨轨迹迹在在动动点点处处的的曲曲率率半半径径；加加速速度度在在副副法法线线上上的投影恒等于零。的投影恒等于零。1-4 自然法表示点的速度和加速度自然法表示点的速度和加速度 加速度的投影加速度的投影加速度的投影加速度的投影 结结 论论第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 加加速速度度a与与主主法法线线所所成成的的角角度度（恒取绝对值恒取绝对值），由下式确定由下式确定 因因为为加加速速度度的的两两个个分分量量an 与与at 是是相相互互垂垂直直的的，故故得得加加速速度度a 的大小为的大小为TetaNMen()()anat加速度大小和方向1-4 自然法表示点的速度和加速度自然法表示点的速度和加速度 加速度的投影加速度的投影加速度的投影加速度的投影第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 例例1-4 1-4 飞飞机机在在铅铅直直面面内内从从位位置置M0处处以以s=250t+5t2 的的规规律律沿沿半半径径r=1 500 m的的圆圆弧弧作作机机动动飞飞行行（如如图图）。其其中中s以以m计计，t以以s计计。当当t=5s时时，试试求求飞飞机机在在轨轨迹迹上上的的位位置置M及及其速度和加速度。其速度和加速度。OM0Mr 例题例题例题例题1-41-41-4 自然法表示点的速度和加速度自然法表示点的速度和加速度例题1-4第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 OM0Mr(-)s(+)v v0 0v va at ta an na a解：因已知飞机沿圆弧轨迹的运动方程，宜用因已知飞机沿圆弧轨迹的运动方程，宜用 自然法求解。取自然法求解。取M0为弧坐标为弧坐标 s 的原点，的原点，s 的正的正 负方向如图所示。负方向如图所示。当当t=5 s时时，飞机的位置飞机的位置 M 可由弧坐标确定可由弧坐标确定 先求出飞机的速度和切向加速度、法向加速度先求出飞机的速度和切向加速度、法向加速度 例题例题例题例题1-41-41-4 自然法表示点的速度和加速度自然法表示点的速度和加速度第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 OM0Mr(-)s(+)v v0 0v va at ta an na a 故在这瞬时飞机的总加速度故在这瞬时飞机的总加速度 a 的大小和方向为的大小和方向为 代入代入 t=5s 得得 例题例题例题例题1-41-41-4 自然法表示点的速度和加速度自然法表示点的速度和加速度第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 当当 时时,，。又又 ,。可可见见,这时这时B点的加速度大小点的加速度大小且且a1沿切线的负方向。沿切线的负方向。当当 t1=1 s 时时,又又 可见，这可见，这时点时点B 的加速度大小的加速度大小且且 a2 沿半径沿半径 B2A。a a2 2=a a1n1nADB1B2R1Ea a1 1=a a1t1t 例题例题例题例题1-41-41-4 自然法表示点的速度和加速度自然法表示点的速度和加速度第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 例例1-5 1-5 试求例试求例 4中轮缘上中轮缘上M点的切向加速度和法向加点的切向加速度和法向加速度，并求轨迹的最大曲率半径。速度，并求轨迹的最大曲率半径。O OHCDMxyP Pa av v 例题例题例题例题1-51-51-4 自然法表示点的速度和加速度自然法表示点的速度和加速度例题1-5第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 解：因而它的切向加速度因而它的切向加速度 注注意意，当当 时时，而而当当 时时，；两两者者相相差差一一个个负负号号。在在 以以后后，M点点进进入入另另一一个个滚滚轮轮环环，这这里里出出现现尖尖点点，运运动动方方向向发发生生突然逆转，由突然逆转，由 突变为突变为 。OHCDMExy2v va at ta a1.求切向加速度 例题例题例题例题1-51-51-4 自然法表示点的速度和加速度自然法表示点的速度和加速度第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 矢量矢量 at 和和 an 的方向分别沿的方向分别沿MD 和和MH。M点的法向加速度大小点的法向加速度大小OHCDMExy2v va at ta aa an n2.求法向加速度已知已知 例题例题例题例题1-51-51-4 自然法表示点的速度和加速度自然法表示点的速度和加速度第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动 另一方面，另一方面，故轨迹的曲，故轨迹的曲率半径为率半径为 可可 见见，轨轨 迹迹 的的 最最 大大 曲曲 率率 半半 径径 ，对对应应于于轨轨迹迹的的最最高高点点 。OHCDMxy2v va at ta aa an nE E 3.求曲率半径 例题例题例题例题1-51-51-4 自然法表示点的速度和加速度自然法表示点的速度和加速度第一章第一章第一章第一章 点的运动点的运动点的运动点的运动