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高中数学基础知识与基本技能数学（3） 第二章 统计（续）五、基础知识和基本技能评估试题 第二章 统计 测试卷（本卷用时100分钟）（一）、选择题（共50分，每小题5分，其中只有一个是正确的）：1、下列几项调查，适合作普查的是（ ） （A）调查全省食品市场上某种食品的色素是否超标（B）调查中央电视台“焦点访谈”节目的收视率（C）调查你所住单元各家庭订阅报刊杂志情况（D）调查本市小学生每人每天的零花钱2、刘翔在出征雅典奥运会前刻苦进行110米栏训练，教练对他某段时间的训练成绩进行统计分析，判断他的成绩是否稳定，教练需要知道这些成绩的（ ）（A）平均数 （B）方差 （C）中位数（D）众数3、为了了解某地5000名学生的语文测试水平，从中抽取了200学生的成绩进行统计分析。在这个问题中，下列说法不正确的是（ ） （A）5000名学生成绩的全体是总体 （B）每个学生的成绩是个体 （C）抽取200学生成绩的集体是总体的一个样本 （D）样本的容量是50004、一个容量为的样本分成若干组，已知某组的频数和频率分别是80和0.125，则的值为（ ） （A）800 （B）1250 （C）1000 （D）6405、如果一组数据的方差是，将每个数据都乘以2，所得新数据的方差是 ( )（A） （B） （C） （D）6、为了保证分层抽样时每个个体被抽到的概率都相等，则要求（ ）（A）每层等可能抽样 （B）每层抽取同样的样本容量（C）每层用同一抽样方法等可能抽样 （D）不同的层用不同的方法抽样7、若是常数，下列有关连加符号的运算，其中错误的个数是（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）38、下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ）（）角度和它的余弦值 （）正方形边长和面积（）正边形的边数和它的内角和（）人的年龄和身高9、若样本，的平均数、方差分别为、，则样本，的平均数、方差分别为（ ） （A）、 （B）、 （C）、 （D）、10、“回归”一词是在研究子女的身高与父母的身高之间的遗传关系时由高尔顿提出的，他的研究结果是子代的平均身高向中心回归。根据他的结论，在儿子的身高与父亲的身高的回归方程中，的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D） （二）、填空题（共40分，每小题4分）：11、在一些比赛中经常采用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”再取平均分的做法，这个方法的好处是 ，其不足之处则是 。12、某住宅小区有老年人280人，中年人400人，青年人320人，为了调查他们身体状况的某项指标，现采取分层抽样的方法从中抽取一个容量为50的样本，那么老年人、中年人、青年人各应抽取的人数是 。13、在一次射击练习中，甲、乙两人5次射击的环数分别为 甲：10，8，10，10，7 ；乙：7，10，9，9，10，则在这次练习中， 的成绩较为稳定。14、在频率分布直方图中，数据落在各组的频率是由图中小长方形的 来表示的。15、宁波港是一个多功能、综合性的现代化大港，年货物吞吐量位居中国大陆第二，世界排名第五，成功跻身于国际大港行列，下图是宁波港1994年至2004年货物吞吐量统计图。-500015000100002000025000584976388706115471539822000货物吞吐量(万吨)年份199419961998200020022004从此图你能发现哪些信息，请说出两条：（1） ，（2） 。16、将一副已洗好的扑克牌（52张）随机确定一张为起始牌，然后按次序发牌，对任何一家来说，都是从52张总体中抽取一个13张的样本，这种抽样方法是。17、若样本，的方差等于64，且，则 。18、某公司工人的月工资与生产效率挂钩，若工人的月工资（元）关于生产效率（千元/月）变化的回归直线方程是，现生产效率每月提高500元，则工人的月工资增加 元。19、抽取高二某班其中20名同学，记录 5 8 6各位同学一分钟脉搏次数，其茎叶图如右， 6 4 0 1 7左端的数字表示脉搏次数的十位数，则这7 2 2 3 6 8 2 5 6些同学一分钟脉搏次数的平均数、众数、8 1 4 6 2 0中位数分别是 、 、 。 9 020、在一次知识竞赛中，抽取10名选手的成绩如下表：成绩4分5分6分7分8分9分10分人数分布2013211这组样本的方差是 。 （三）、解答题（共60分，解答应有必要的文字说明）：21、（本题满分12分）改革开放以来，我国的劳动者结构比例发生了显著变化。1952年第一（农业）、第二（工业）、第三（其他各业）产业劳动者构成比例为83.5%，7.4%，9.1%；1994年第一、第二、第三产业劳动者构成比例分别为54.3%，22.7%，23.0%，试绘制1952年、1994年我国劳动者构成比例的统计表和圆形统计图。22、（本题满分12分） 为检测某种电子产品的质量，抽取了一个容量为60的样本，检测结果为一级品10件，二级品16件，三级品26件，次品8件列出样本频率分布表；画出表示样本频率分布的条形图；根据上述结果，估计此种商品为二级品或三级品的概率约是多少？23、（本题满分12分）某人有40万元，有两种投资方案：一是购买房产，期望房产增值获取收益，二是存入银行获取利息。买房产的收益取决于经济形势，假设可分为三种状态：形势好、形势中等、形势不好。若形势好可获利4万元，若形势中等可获利1万元，若形势不好要亏损2万元。如果存入银行，一年定期的年利率为2.25%又设经济形势好、中、差的概率分别为30%，50%，20%，已知投资效益的期望值=成功的概率成功所产生的利润+失败的概率失败所造成的亏损若以一年为期，试问应选择哪一种投资方案？24、（本题满分12分）全班有52位同学，现要从中选取7人，若采用系统抽样方法来选取，请写出抽样过程，并用概率知识说明每位同学被选取的机会是相等的。25（本题满分12分）、下表是对某种产品进行表面腐蚀线试验时，得到的腐蚀深度与腐蚀时间之间对应的一组数据：时间t(s)5101520304050607090120深度y(m)610101316171923252946(1)画出散点图，根据散点图分析两个变量是正相关还是负相关；(2)假设变量与存在线性相关关系，试求腐蚀深度对时间的回归直线方程。关于试卷的几点说明（一）、本卷命题意图1、本卷涉及的基础知识：（1）抽样方法及其特点如第1、6、12、16、24题；（2）样本的数字特征如第2、5、9、11、13、19题；（3）样本情况的有关概念如第3题；（4）样本频率分布的有关概念如第4、14、19、22题；（5）统计表、统计图如第15、21题；（6）变量之间的两类关系如第8、25题；（7）期望的概念如第23题；（8）线性相关、散点图、回归直线如第25题。2、本卷涉及的基本技能：（1） 用简单随机抽样、系统抽样、分层抽样从总体中抽取样本，并对三种抽样方法进行比较和判断如第6、16、24题；(2) 样本频率的计算如第4、22题；(3) 用样本的频率分布和数字特征估计总体分布如第13、19、22题；(4) 用多种方法绘制统计表和统计图如第15、21题；(5) 根据方差的有关性质计算方差如第5、9、13、17、20题；(6) 利用计算器计算平均数、标准差、方差、回归系数等如13、19、20、25题；(7) 作出数据较少的两个变量的散点图，根据散点图的特点判断正相关、负相关如第25题；(8) 连加符号的简单运算如第7、25题；(9) 利用计算器和计算机有关软件求回归直线方程如第25题；(10) 用统计初步知识分析、解决简单的实际问题如第1、2、10、11、12、13、23、25题。（二）本卷达标要求：1、本卷如得分在88分以下，则该同学还没有掌握本章的基础知识和基本技能，因为我们认为：选择题中，第1、2、3、4、5、6、7、8等题；填空题中，第12、13、14、15、16、18等题；解答题中，第21、22等题，均属基本题，应该熟练掌握，因此，该同学还需要进一步努力；2、本卷如得分在89117分之间，则该同学基本掌握了本章的基础知识和基本技能，如选择题的第9题；填空题的第11、19题；解答题的第23题、第25（1）题，都涉及到一定的基础知识和基本技能；3、本卷如得分在118133分之间，则该同学较好地掌握了本章的基础知识和基本技能，如填空题的第17、20题，解答题的第25（2）题，均对方差计算、线性回归方程等有较高要求。4、本卷如得分在133分以上，则该同学已很好地掌握了本章的基础知识和基本技能；六、发展与提高在掌握了基础知识和基本技能的前提下，本章在能力方面还可作如下发展和提高：1、总体期望值：总体期望值就是总体中所有观察值的总和除以个体总数所得的商，也称总体算术平均数。 总体期望值能反映总体分布中大量数据向某一点集中的情况，利用总体期望值可以对两个总体的差异进行比较。2、总体期望值的估计：在实际操作过程中，有些总体的算术平均数难以求得，这就需要抽取样本，用样本的算术平均数来推断总体的算术平均数。样本的算术平均数公式是其中是样本容量，,分别是样本中个体的观察值。值得注意的是，通过样本估计总体多少都有偏差，有时还会出现错误，减少偏差、避免出错的最有效办法就是扩大样本容量。但是，有些调查或者试验具有破坏性，如关于获取灯泡的使用寿命的试验，都是一次性的试验，具有破坏性，所以我们只能在条件许可的情况下，适当增加样本容量，并在取样的过程中尽可能提高取样的代表性。3、算术平均数的计算简化方法：（1）若每一个原始数据同时乘(或者同时除)以一个数，那么算术平均数的变化也同样是乘(或者除)以这个常数；（2）若每一个原始数据同时加上(或者减去)一个常数，那么算术平均数的变化也同样是加上(或者减去)这个常数。利用算术平均数的以上两条性质有时可以简化计算。4、样本方差的简便计算：使用样本方差公式，需要求样本数据的算术平均数，并需要求各个数据与算术平均数的差，而算术平均数本身往往是一个小数，计算起来显得很麻烦，利用公式（推导参见本章典型例题之例5），就避免了这些计算，所以能有效地减少运算量。5、样本方差的估计值：我们常用样本方差来估计总体的方差，还可以用来估计总体的方差。当很大时，两者实际上并无多大区别，并且有，在一些常见的科学计算器上，同时设有这两种估计量的计算键。6、总体密度曲线的性质：总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示式中的实数、是参数，分别表示总体的平均数与标准差，其分布叫做正态分布，函数称为正态函数，的图象称为正态曲线分析函数解析式，不难发现正态曲线具有以下的性质：（1）曲线在轴的上方，与轴不相交；（2）曲线关于直线对称；（3）当时，曲线位于最高点 ；（4）当时，曲线上升（增函数）；时，曲线下降（减函数），并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐近线，向它无限靠近 ；（5）当一定时，曲线的形状由确定 。越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体分布越集中综上，它的图象具有“两头低，中间高，左右对称”的特征（下图为时的简图）正态分布是自然界中最常见的一种分布，具有许多良好的性质，很多分布都可以用正态分布来近似描述或通过它导出，因此，正态分布在概率统计的理论研究中十分重要，我们将在后续学习中看到这一点.统计教材为我们提供了许多丰富多彩的案例，这是整个中学统计的一个指导思想。提出问题，收集数据，整理数据，解释数据，研究数据特征，作出统计判断，正是本章所学的基本内容。为此我们建议：1、不死背公式和概念，不单纯记忆图表的制作、数字特征的计算，不机械地套用公式。而应该从提取信息的角度比较各种方法的优劣，了解它们的适用范围，体会用统计方法处理问题的全过程。2、理解统计中重要概念的实际意义，通过实际问题的解决去理解统计基本思想，加强统计知识的实践性，建议真正动手去做，深刻感受统计知识的广泛应用，使数学知识更直接地服务于各项工作和生活之中。3、梳理本章知识内容，强化知识间的内在联系，提高综合运用知识解决问题的能力。由于抽样方法、总体分布的估计、线性回归等这些内容与现实生活联系密切，日后必将逐渐成为高考的热点。例1 我们来看课本“阅读与思考”中提到的著名案例：1936年，美国总统选举前，一份颇有名气的杂志文学摘要的工作人员做了一次民意测验，调查共和党的兰登（当时任堪萨斯州州长）和民主党的罗斯福（当时的总统）谁将当选下一届总统。为了了解公众意向，调查者从电话号码簿和俱乐部会员名单上选取了1000万人调查，收回240万份调查问卷。通过分析收回的调查表，显示兰登非常受欢迎（两者之比57%43%），于是该杂志预测兰登将在选举中胜出，并大力进行宣传。最后结果却是罗斯福以62%38%的巨大优势获胜连任总统，预测失败使杂志社威信扫地，不久只得关门停刊，被称作抽样中的泰坦尼克事件。请你分析失败的原因，并谈谈你的体会。解： 预测失败主要有两方面原因，原因之一是抽取的样本不具代表性。在1936年，美国家庭电话尚未普及，大约仅有100万部左右，有条件参加社会俱乐部的人，多数为经济上富有、政治上保守的选民，当时经济萧条期刚过，贫困与失业人数较多。“罗斯福新政”动用行政手段干预市场经济，损害了部分富人的利益，但广大的美国人民从中得到了好处。该杂志抽取的样本没有很好地反映出各阶层的利益需要，有失公平性。原因之二是问卷回收率较小，一半以上的问卷意见没有得到真实反映。因此，预测失败也就不足为奇了。评注: 以上事例说明，在抽样调查中，样本的选择至关重要，样本能否代表总体，直接影响着统计结果的可靠性。再如，一些心理学实验是由志愿人员完成的，可能缺乏代表性。一些医疗广告中的数据可能只来自某个医院，并非随机抽样，也有可能产生误导。例2 某养鱼场对放养一年的某种鱼的生长状况进行调查，现随机捞取该类鱼40尾称量出它们的体重作为样本，获得的数据如下(单位：g)：1020 1130 1200 980 1010 1310 1200 1200 1080 1290 1290 11001170 1160 1080 1050 1000 1040 1150 1150 1100 1210 1180 1020 1090 1070 1160 1110 1300 1030 1000 1200 1210 1280 1040 1060 1090 1130 1170 1170 估计总体的算术平均数，并尝试对算术平均数的计算加以简化。解 显然我们无法直接获得总体的算术平均数，所以只有求得样本的算术平均数来推断总体，将上述数据代入算术平均数公式，得=1130.75，所以该类鱼的体重平均约1130.75g。 我们注意到其中的40个数据的个位数字都是0，所以可以直接计算去掉个位数字0以后的数据的算术平均数为113.075，然后将结果乘以10，就得所求的算术平均数为1130.75g。我们还可将除掉尾数后的数据都减去100得如下数据：2 13 20 -2 1 31 20 20 8 29 29 10 17 16 8 5 0 4 15 15 10 21 18 2 9 7 16 11 30 3 0 20 21 28 4 6 9 13 17 17 求得其算术平均数为13.075，然后加上100得到113.075，再乘以10得到所求的算术平均数为1130.75 g。评注：通过“同乘除”、“同加减”原理减少计算位数，从而简化计算。另外，统计计算较复杂，要求充分运用科学计算器，以提高解决问题的效率。例3 对某批电子元件进行寿命追踪调查，抽取一个容量为200的样本，情况如下：寿命（）100200200300300400400500500600个数2030804030 (1) 列出频率分布表；(2) 画出频率分布直方图和频率分布折线图；(3) 估计电子元件寿命在100400以内的概率；(4) 估计这批电子元件的平均寿命解：(1) 样本频率分布表：寿命频数频率100200200.1200300300.15300400800.40400500400.20500600300.15合计2001 (2) 频率分布直方图和频率分布折线图：频率分布折线图-0.003寿命3002001005004006000.0010.0020.004-频率分布直方图-0.003寿命3002001005004006000.0010.0020.004- (3) 从频率分布表和频率分布图可以看出，寿命在100400的电子元件出现的频率为0.1+0.15+0.40=0.65，所以我们估计电子元件寿命在100400的概率为0.65 .(4) 取各组的中值，可近似估计总体的平均值为.估计这批电子元件的平均寿命为365小时评注: 本例在频率分布表、频率分布直方图和频率分布折线图等知识基础上，要求学生深入体会统计的基本思想，熟练地利用样本的分布，近似地估计总体的分布，利用样本在某一范围的频率，近似地估计总体在这一范围的概率，利用样本的平均值，近似地估计总体的平均值，利用样本的方差，近似地估计总体的方差。例4 投资总是有风险的，可能成功，也可能失败。人们常把按以下公式算得的值作为决策时的重要依据：成功的概率成功所产生的利润+失败的概率失败所造成的亏损，这样算得的值叫做投资的期望值。在许多情况下，人们总是投资期望值较高的项目。 现有两种新产品，各需要投资50万元，某公司准备选择其中一种进行生产。在确定选哪一种新产品之前，分别对两种新产品进行了50次小型的试制实验，其中产品试制成功次数为40次，产品试制成功次数30次。产品如果生产成功，当年可盈利75万元，如果失败将亏损40万元；产品如果生产成功，当年可盈利100万元，如果失败，将亏损全部投资。试问该公司应该选择生产哪一种产品，可使投资的期望值更高？解：由已知得， 生产产品成功的概率约为4050=，则失败的概率约为； 生产产品成功的概率约为，则失败的概率约为， 所以，投资生产产品的期望值(万元)；投资生产产品的期望值(万元)。 投资生产产品的期望值为52万元，投资生产产品的期望值为40万元。因此，该公司应该选择生产产品，可使投资的期望值更高。评注：概率论与数理统计的联系十分紧密，这些知识在气象预报、商业活动、经济普查、投资决策等实际问题中应用非常广泛。本例涉及概率统计中离散型随机变量的数学期望，又称随机变量的平均数、概率平均值，将在统计的后续学习中详细介绍，读者可结合概率初步知识，与样本平均数进行比较，体味它们的联系和区别。例5 已知一个样本共有个数据，其中前个数据的平均数为，方差为；后个数据的平均数为，方差为设该总体样本的平均数为，方差为求证：（）；（）证明：(1) 设个数据分别为，则， .(2) , , .评注:样本平均数、方差、标准差作为描述总体波动大小的特征量，本身具有许多性质，对这些性质要从本质上去理解和把握，而不要停留在机械地套用公式的层面上。发展与提高练习题1、以下统计量中可以描述总体稳定性的是（ ）A样本均值B样本中位数C样本方差D样本最大数2、总体期望值的估计是（ ）A样本均值 B样本极差C样本方差 D样本平均差3、已知一个容量为10的样本的方差是，则样本方差的估计值 。4、一次测量活动中，7名同学测得某建筑物高如下(单位：m)29.8 30.0 30.0 30.0 30.0 30.2 44.0 你认为此建筑物的实际高度大约是多少？5、某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况如下。甲的得分：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50。乙的得分：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，51。（1）将上述的数据可以用茎叶图来表示，要求中间数字表示得分的十位数，两边数字分别表示两个人各场比赛得分的个位数；（2）根据茎叶图对两名运动员的成绩进行比较。6、下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：气温/杯数2620182413341038450164（1）将上表中的数据制成散点图。（2）你能从散点图中发现气温与饮料杯数近似成什么关系吗？（3）如果近似成线性关系的话，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系。（4）如果某天的气温是-5 ，预测这天小卖部卖出热茶的杯数。第二章 统计（参考答案）基础知识和基本技能训练题（参考答案）（一）、选择题1 D 2A B D A 6D A CC 10B(二)、填空题11频率分布，容量越大 1278 13相应各组的频率 1455%1518% 160.9 17 18系统抽样 1981.52067.5 215700 2276(三)、解答题23用分层抽样方法抽取样本，大、中、小型商店各抽3家、5家、12家，抽样过程略.24(1) 相同点：两段台阶路台阶高度的平均数相同，均为15cm；不同点：两段台阶路台阶高度的众数、中位数、方差和极差均不相同(2) 甲路段走起来更舒服一些，因为它的台阶高度的方差较小(3) 建议尽可能使每个台阶高度接近15cm，使得方差尽可能小25第1组频数为，第2组频数为3，前4组人数依此为1，3，9，27，后6组总人数为100（1+3+9）=87人，故等差数列的公差为，后6组的人数依此为27，22，17，12，7，2，所以第3组的频率为最大，视力在.6到5.0之间的学生数为27+22+17+12=78.26 (1) 瓦，瓦；（2）根据抽样数据，两厂合格品的比例分别是95%，90%； （3），故甲厂的生产情况比较稳定。27 频数自上至下空格为8，16，14，50，频率自上至下空格为0.2，0.32；频率分布直方图中第二组、第四组小矩形的高分别是第一组小矩形高的4倍、8倍（图略）28（1）略；（2）略；（3）不及格人数约为，优秀人数约为.29（1）60件；（2）第四组上交的作品数量最多，有18件；（3）第六组获奖率较高.30(1) 略；(2)正相关，基础知识和基本技能评估试题（参考答案）（一）、选择题1、C 2、B 3、D 4、D 5、B6、A 7、A 8、D 9、C 10、B（二）、填空题11、防止个别偏差大的数据造成的影响；损失了两个数据； 12、14，20，16；13、乙； 14、面积； 15、货物吞吐量逐年递增；2004货物吞吐量为22000万吨；16、系统抽样； 17、； 18、160； 19、73.15，72，74； 20、3.4；（三）、解答题21、解： 1952年、1994年我国劳动者构成比例的统计表产业年份第一产业（%）第二产业（%）第三产业（%）1952年83.57.49.11994年54.322.723.0 (4分) 1952年我国劳动者 1994年我国劳动者构成比例圆形统计图 构成比例圆形统计图83.5%第一产业9.1%7.4%第二产业第三产业54.3%第一产业22.7%第二产业23.0%第三产业(8分) (12分)22、解：样本的频率分布表为产品频数频率一级品100.17二级品160.27三级品260.43次品80.13(4分)样本频率分布的条形图如右： (10分)此种产品为二级品或三级品的概率为0.27+0.43=0.7 . (12分)23、解：如果投资购买房产，收益的期望值=400000.3+100000.5+(-20000) 0.2=13000元, (4分)如果存入银行，即可获利息4000002.25%=9000元， (8分)因此，投资购买房产收益较高，但风险较大；存入银行比较保险，但收益相对较低。 (12分)24、解：首先，将全班52位同学用随机方式编号，因为不是整数，用随机数表法从总体中剔除3个，(4分) 再将余下的49人，按00，01，02，47，48重新编号并分成7段，每段7人，在第一段的7个编号00，01，02，06中，随机定一起始号，则，就是所抽取的一个样本。 (8分)在52人中剔除3人的概率为，即不被剔除的概率为，再将49人随机分成7组，然后从每个小组的7人中选取1人，其概率为，由此可见，每位同学被选取的概率均是。 (12分)25、解：(1)散点图略，呈直线形。 这些点散布在从左下角到右上角的区域，因此两个变量呈正相关。 (4分)(2)经计算可得 (8分) ，故所求的回归直线方程为 (12分) （说明：有条件的读者可用软件验证上述回归直线方程） 发展与提高练习题（参考答案）1、C 2、A 3、24、由于其中有一个特别大的数据44.0，估计是由于操作不正确或仪器故障造成的，因此它们的平均数32.0 m不能正确地反映该建筑物的实际高度，用中位数或众数来代表该建筑物的高比较合理，上面的7个数据中的中位数、众数均是30.0，因此我们有理由认为此建筑物的实际高度大约是30.0 m。5、（1）（2）从这个茎叶图上可以看出，甲运动员的得分情况是大致对称的，中位数是36；乙运动员的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称，中位数是26。因此甲运动员发挥比较稳定，总体得分情况比乙好。6、提示：当运用直线近似表示温度与杯数的关系时，可选择能反映直线变化的两个点，例如（4，50），（18，24）确定一条直线；也可以取一条直线，使得直线一侧和另一侧点的个数基本相同；还可能多取几组点，确定几条直线方程，再分别算出各条直线斜率、截距的算术平均值，作为所求直线的斜率、截距，答案略。15 / 15