2021-2022学年高中数学-第5章-三角函数-5.1.2-弧度制巩固练习新人教A版必修第一册.docx

2021-2022学年高中数学 第5章 三角函数 5.1.2 弧度制巩固练习新人教A版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第5章 三角函数 5.1.2 弧度制巩固练习新人教A版必修第一册

年级：
姓名：

5.1.2　弧度制
课后训练巩固提升
A组
1.将315°化为弧度为(　　)
A.4π3 B.5π3 C.7π6 D.7π4
解析:315°=315π180=7π4.
答案:D
2.与角2π3终边相同的角是(　　)
A.11π3 B.2kπ-10π3(k∈Z)
C.2kπ-2π3(k∈Z) D.(2k+1)π+2π3(k∈Z)
解析:选项A错误,11π3=2π+5π3,与角5π3终边相同;选项B正确,2kπ-10π3,k∈Z,当k=2时,2×2π-10π3=2π3,与2π3有相同的终边;选项C错误,2kπ-2π3,k∈Z,当k=1时,2×π-2π3=4π3,与4π3有相同的终边;选项D错误,(2k+1)π+2π3,k∈Z,当k=0时,(2×0+1)π+2π3=5π3.
答案:B
3.设角α=-2弧度,则α所在的象限为(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:∵-π<-2<-π2,
∴2π-π<2π-2<2π-π2,即π<2π-2<3π2,
∴2π-2为第三象限角,∴α为第三象限角.
答案:C
4.下列转化结果错误的是(　　)
A.60°化成弧度是π3 B.-10π3化成角度是-600°
C.π12化成角度是15° D.-150°化成弧度是-7π6
解析:选项A正确,60°=60×π180=π3;选项B正确,-10π3=-103×180°=-600°;选项C正确,π12=112×180°=15°;选项D错误,-150°=-150×π180=-5π6.
答案:D
5.已知角α=π4,则与α终边相同的角β的集合是　　　　　　　　　　　　　　　. 
答案:ββ=π4+2kπ,k∈Z
6.-27π4是第　　　　　象限的角. 
解析:因为-27π4=-6π-3π4,而-3π4是第三象限的角,所以-27π4是第三象限的角.
答案:三
7.用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合.

解:如图,330°角的终边与-30°角的终边相同,-30°=-π6,而75°=75×π180=5π12,
故终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为θ2kπ-π6<θ<2kπ+5π12,k∈Z.
8.已知α=1 690°,
(1)把角α写成2kπ+β(k∈Z,β∈[0,2π))的形式;
(2)求角θ,使角θ与α终边相同,且θ∈(-4π,4π).
解:(1)1690°=4×360°+250°=4×2π+25π18.
(2)因为θ与α终边相同,所以θ=2kπ+25π18(k∈Z).
又因为θ∈(-4π,4π),所以-4π<2kπ+25π18<4π,
解得-9736<k<4736(k∈Z).
所以k=-2,-1,0,1.
所以θ的值是-47π18,-11π18,25π18,61π18.
9.如图,已知一长为3 dm,宽为1 dm的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚,翻滚到第四次时被一小木板挡住,使木块的宽与桌面所成的角为30°.求点A走过的路程及走过的弧度所对扇形的总面积.

解:由题意可知圆弧AA1的半径是2dm,圆心角为π2;圆弧A1A2的半径是1dm,圆心角为π2;圆弧A2A3的半径是3dm,圆心角为π3,故点A走过的路程即为3段圆弧之和,即2×π2+1×π2+3×π3=9+236π(dm);扇形的总面积是12×2×π+12×π2+12×3×3π3=7π4(dm2).
B组
1.下列各组角中,终边相同的角是(　　)
A.20π3,87π9 B.-π3,22π3
C.3π2,-3π2 D.-7π9,-25π9
解析:20π3=6π+2π3,87π9=10π-π3,终边不相同,选项A错误;
22π3=7π+π3,与-π3的终边不相同,选项B错误;
3π2的终边在y轴的负半轴上,而-3π2的终边在y轴的正半轴上,终边不相同,选项C错误;
因为-25π9=-2π-7π9,所以-7π9和-25π9的终边相同,选项D正确.
答案:D
2.已知圆O与直线l相切于点A,点P,Q同时从点A出发,点P沿着直线l向右、点Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动,当点Q和点P在如图所示的位置同时停止运动,连接OQ,OP(如图),则阴影部分面积S1,S2的大小关系是(　　)

A.S1=S2
B.S1≤S2
C.S1≥S2
D.先S1<S2,再S1=S2,最后S1>S2
解析:因为直线l与圆O相切,所以OA⊥AP,
所以S△AOP=12·AP·OA.
又因为S扇形OAQ=12lAQ·R=12·lAQ·OA,
且AQ的长与线段AP的长相等,所以S扇形OAQ=S△AOP.
所以S扇形OAQ-S扇形OAB=S△AOP-S扇形OAB,即S1=S2.
答案:A
3.《九章算术》是中国古代著名的数学专著,其中记载了计算弧田(弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形)的面积所用的经验公式:弧田面积=12(弦×矢+矢×矢),公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为2π3,弦长为403 m的弧田,其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为(　　)(参考数据:π≈3,3≈1.73)
A.15 m2 B.16 m2 C.17 m2 D.18 m2
解析:因为圆心角为2π3,弦长为403m,所以圆心到弦的距离为20,半径为40.
因此根据经验公式计算出弧田的面积为12(403×20+20×20)=4003+200,
实际面积等于扇形面积减去三角形面积,即12×2π3×402-12×20×403=1600π3-4003.
因此两者之差为1600π3-4003-(4003+200)≈16.
答案:B
4.时钟的分针从1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为　　　　　. 
解析:因为分针每分钟转6°,所以分针从1点到3点20分这段时间里转过的度数为-6°×(2×60+20)=-840°.
所以-840°×π180°=-14π3.
答案:-14π3
5.如图,以正方形ABCD的顶点A为圆心,边AB的长为半径作扇形AEB.若图中两块阴影部分的面积相等,则∠EAD的弧度数大小为　　　　　. 

解析:设正方形的边长为a,∠EAD=α.
由已知可得a2-14πa2=12αa2,解得α=2-π2.
答案:2-π2
6.在Rt△PBO中,∠PBO=90°,以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分△POB的面积,且∠AOB=α弧度,则αtanα=　　　　　. 
解析:设扇形的半径为r,则扇形的面积为12αr2.在Rt△POB中,PB=rtanα,则△POB的面积为12r·rtanα.
由题意得12r·rtanα=2×12αr2,即tanα=2α,故αtanα=12.
答案:12
7.某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌,铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).已知OA=10,OB=x(0<x<10),线段BA,CD与BC,AD的长度之和为30 m,圆心角为θ弧度.

(1)求θ关于x的函数解析式;
(2)记铭牌的截面面积为y,试问x取何值时,y的值最大?并求出最大值.
解:(1)根据题意,可算得lBC=x·θ(m),lAD=10θ(m).
因为BA+CD+lBC+lAD=30,
所以10-x+10-x+xθ+10θ=30.
所以θ=2x+10x+10(0<x<10).
(2)依据题意,可知y=S△OAD-S△OBC=12θ×102-12θx2,化简得y=-x2+5x+50=-x-522+2254.
所以当x=52时,ymax=2254(m2).
答:当x=52m时,铭牌的面积最大,且最大面积为2254m2.