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2021-2022学年高中数学 第5章 三角函数 习题课—三角恒等变换巩固练习新人教A版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第5章 三角函数 习题课—三角恒等变换巩固练习新人教A版必修第一册

年级：
姓名：

习题课——三角恒等变换
课后训练巩固提升
A组
1.已知sin α-cos α=65,则sin 2α=(　　)
A.-1425 B.-1125 C.1125 D.1425
解析:因为sinα-cosα=65,
所以(sinα-cosα)2=3625,
即sin2α+cos2α-2sinαcosα=3625,
即1-sin2α=3625.所以sin2α=-1125.
答案:B
2.函数f(x)=2sinx2sinx2+cosx2-1的最小正周期为(　　)
A.π2 B.π C.2π D.4π
解析:由题意可知f(x)=2sinx2sinx2+cosx2-1=|sinx-cosx|=2sinx-π4.
结合函数f(x)=2sinx-π4的图象,可得函数f(x)的最小正周期为π,故选B.
答案:B
3.已知sin 2α=23,则cos2α+π4等于(　　)
A.16 B.13 C.12 D.23
解析:因为cos2α+π4=1+cos2α+π42=1+cos2α+π22=1-sin2α2=1-232=16,
所以选A.
答案:A
4.函数y=cos2x-π12+sin2x+π12-1是(　　)
A.周期为2π的奇函数 B.周期为π的偶函数
C.周期为π的奇函数 D.周期为2π的偶函数
解析:∵y=cos2x-π12+sin2x+π12-1
=1+cos2x-π62+1-cos2x+π62-1
=cos2x-π6-cos2x+π62
=cos2xcosπ6+sin2xsinπ6-cos2xcosπ6+sin2xsinπ62
=sin2x2,
∴函数的周期为2π2=π,且sin(-2x)=-sin2x.故选C.
答案:C
5.若函数f(x)=12cos ωx-32sin ωx(ω>0)在区间[0,π]内的值域为-1,12,则ω的取值范围为(　　)
A.23,43 B.0,43 C.0,23 D.(0,1]
解析:由题意可知f(x)=12cosωx-32sinωx=cosωx+π3,且ω>0,
当x∈[0,π]时,f(x)∈-1,12,
故-1≤cosωx+π3≤12,
可得π≤ωx+π3≤5π3,
解得23≤ω≤43,故ω的取值范围为23,43.
答案:A
6.已知a=22(sin 16°+cos 16°),b=2cos214°-1,c=sin 37°·sin 67°+sin 53°·sin 23°,则a,b,c的大小关系为　　　　　. 
解析:∵a=cos45°sin16°+sin45°cos16°=sin61°,b=cos28°=sin62°,c=sin37°cos23°+cos37°sin23°=sin60°,又函数y=sinx在区间0,π2内单调递增,
∴c<a<b.
答案:c<a<b
7.sin250°1+sin10°=　　　　　. 
解析:sin250°1+sin10°=1-cos100°2(1+sin10°)=1-cos(90°+10°)2(1+sin10°)=1+sin10°2(1+sin10°)=12.
答案:12
8.已知函数f(x)=acosπ2-x-cos 2x,其中a>0,
(1)比较fπ6和fπ2的大小;
(2)求函数f(x)在区间-π2,π2上的最小值.
解:(1)因为fπ6=a2-12,fπ2=a+1,
所以fπ2-fπ6=(a+1)-a2-12=a2+32.
因为a>0,所以a2+32>0,
所以fπ2>fπ6.
(2)因为f(x)=asinx-cos2x=asinx-(1-2sin2x)=2sin2x+asinx-1,
设t=sinx,x∈-π2,π2,
所以y=2t2+at-1,t∈[-1,1],其图象的对称轴为直线t=-a4.
当t=-a4<-1,即a>4时,在t=-1时函数y取得最小值1-a;
当t=-a4≥-1,即0<a≤4时,在t=-a4时函数y取得最小值-a28-1.
综上可知,当a>4时,函数f(x)在区间-π2,π2上的最小值为1-a;当0<a≤4时,函数f(x)在区间-π2,π2上的最小值为-a28-1.
9.如图,在平面直角坐标系xOy中,角α,β的始边均为x轴正半轴,终边分别与圆O交于A,B两点.若α∈7π12,π,β=π12,且点A的坐标为(-1,m).

(1)若tan 2α=-43,求实数m的值;
(2)若tan∠AOB=-34,求sin 2α的值.
解:(1)由题意可得tan2α=2tanα1-tan2α=-43,
解得tanα=-12或tanα=2.
∵α∈7π12,π,∴tanα=-12.
又角α的终边与圆O交于点A(-1,m),
∴tanα=m-1,即m-1=-12.∴m=12.
(2)∵tan∠AOB=tan(α-β)=tanα-π12=sinα-π12cosα-π12=-34,
又sin2α-π12+cos2α-π12=1,
α-π12∈π2,11π12,
∴sinα-π12=35,cosα-π12=-45.
∴sin2α-π6=2sinα-π12cosα-π12=-2425,cos2α-π6=2cos2α-π12-1=725.
∴sin2α=sin2α-π6+π6=sin2α-π6·cosπ6+cos2α-π6sinπ6=7-24350.
B组
1.在△ABC中,sin Asin B=cos2C2,则下列等式一定成立的是(　　)
A.A=B B.A=C C.B=C D.A=B=C
解析:∵C=π-(A+B),
∴sinAsinB=cos2C2=1+cosC2=12-12cos(A+B)=12-12(cosAcosB-sinAsinB).
∴12cosAcosB+12sinAsinB=12.
∴cos(A-B)=1.
∵0<A<π,0<B<π,∴-π<A-B<π.
∴A-B=0.∴A=B.
答案:A
2.已知tanπ4+θ=3,则sin 2θ-2cos2θ=(　　)
A.-1 B.-45 C.45 D.-34
解析:∵tanπ4+θ=tanθ+11-tanθ=3,∴tanθ=12.
∴sin2θ-2cos2θ=sin2θ-2cos2θ1=2sinθcosθ-2cos2θsin2θ+cos2θ=2tanθ-2tan2θ+1=-45.
答案:B
3.已知函数f(x)=3sin ωxcos ωx-4cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π,且f(θ)=12,则fθ-π2=(　　)
A.-52 B.-92 C.-112 D.-132
解析:由题意可得f(x)=3sinωxcosωx-4cos2ωx
=32sin2ωx-2(1+cos2ωx)
=52sin(2ωx-φ)-2其中tanφ=43,
故f(x)max=52-2=12,
f(x)min=-52-2=-92.
因为f(θ)=12,所以当x=θ时,函数f(x)取得最大值.
又因为函数的周期为π,所以当x=θ-π2时,函数f(x)应取得最小值-92,即fθ-π2=-92.
答案:B
4.已知tan(α-β)=23,tanπ6-β=12,则tanα-π6=(　　)
A.14 B.78 C.18 D.74
解析:∵tan(α-β)=23,tanπ6-β=12,
∴tanα-π6=tan(α-β)-π6-β=tan(α-β)-tanπ6-β1+tan(α-β)tanπ6-β=23-121+23×12=18.
答案:C
5.若cos2αsinα+π4=23,则sin αcos α=　　　　　. 
解析:∵cos2αsinα+π4=23,∴cos2α-sin2α22(sinα+cosα)=23,
即(cosα-sinα)(sinα+cosα)22(sinα+cosα)=23.
∴cosα-sinα=13.
∴两边平方,得1-2sinαcosα=19,
即sinαcosα=49.
答案:49
6.已知α∈0,π4,sinα+π4=45,则tan α=　　　　　. 
解析:因为0<α<π4,所以π4<α+π4<π2.
又因为sinα+π4=45,
所以cosα+π4=1-452=35.
所以tanα+π4=43.
所以tanα=tanα+π4-π4=43-11+43×1=17.
答案:17
7.已知函数f(x)=2cos2x+23sin xcos x.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若f(x)在区间-π6,m上的值域为[0,3],求m的取值范围.
解:(1)f(x)=2cos2x+23sinxcosx
=cos2x+3sin2x+1=2sin2x+π6+1,
由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z),
得kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z),所以f(x)的单调递增区间是kπ-π3,kπ+π6(k∈Z).
(2)由(1)知f(x)=2sin2x+π6+1.
由x∈-π6,m,知2x+π6∈-π6,2m+π6.
要使得f(x)在区间-π6,m上的值域为[0,3],即y=sin2x+π6在区间-π6,m上的值域为-12,1.
故π2≤2m+π6≤7π6,即π6≤m≤π2.
8.如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(管道构成Rt△FHE,H是直角顶点)来处理污水.管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道的接口H是AB的中点,E,F分别落在线段BC,AD上.已知AB=20米,AD=103米,记∠BHE=θ.

(1)试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数,并写出定义域;
(2)当θ取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度L.
解:(1)由题意可得EH=10cosθ,FH=10sinθ,且θ为锐角,故EF=EH2+FH2=10sinθcosθ.
∵BE=10tanθ≤103,AF=10tanθ≤103,
∴33≤tanθ≤3.∴θ∈π6,π3.
∴L=10cosθ+10sinθ+10sinθcosθ,θ∈π6,π3,
即L=10×sinθ+cosθ+1sinθcosθ,θ∈π6,π3.
(2)设sinθ+cosθ=t,则sinθcosθ=t2-12.
∵θ∈π6,π3,
∴t=sinθ+cosθ=2sinθ+π4∈3+12,2.
∴L=20t-1.
∵L=20t-1在区间3+12,2上单调递减,
∴当t=3+12,即θ=π6或θ=π3时,L取得最大值为20(3+1)米.