2016全国卷Ⅱ高考理科数学试卷及答案(word版).doc

2016年普通高等学校招生全统一考试
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24题，共150分
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是
（A）（，） （B）（，） （C）（，） （D）（，）
（2） 已知集合，，则
（A） （B） （C） （D）
（3） 已知向量，且，则
（A） （B） （C） （D）
（4） 圆的圆心到直线的距离为1，则
（A） （B） （C） （D）
（5） 如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
（A）24
（B）18
（C）12
（D）9
（6） 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（A）20π （B）24π
（C）28π （D）32π
（7） 若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的对称轴为
（A） （B）
否
是

输入
输出
开始

结束

输入

（C） （D）
（8） 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，,依次输入的为2，2，5，则输出的
（A）7 （B）12 （C）17 （D）34
（9） 若，则
（A） （B） （C） （D）
（10） 以从区间随机抽取个数，构成个数对，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为
（A） （B） （C） （D）
（11） 已知是双曲线：的左,右焦点，点在上，与轴垂直，，则的离心率为
（A） （B） （C） （D）
（12） 已知函数满足，若函数与图像的交点为，则
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)～(21)题为必考题，每个试题都必须作答。第(22)～(24)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
（13） 的内角的对边分别为，若，则 ．
（14） 是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：
①如果，，，那么．
②如果，，那么．
③如果，，那么．
④如果，，，那么与所成的角和与所成的角相等．
其中正确的命题有 ．（填写所有正确命题的编号）
（15） 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．
（16） 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17） （本小题满分12分）
为等差数列的前项和，且．记，其中表示不超过的最大整数，如，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求数列的前1000项和.

（18） （本小题满分12分）
某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次数

保 费

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数

概 率

（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．

（19） （本小题满分12分）
如图，菱形的对角线与交于点，，，点分别在上，，交于点.将沿折到的位置，.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值．

（20） （本小题满分12分）
已知是椭圆：的左顶点，斜率为的直线交于两点，点在上，.
（Ⅰ）当，时，求的面积；
（Ⅱ）当时，求的取值范围.

（21） （本小题满分12分）
（Ⅰ）讨论函数的单调性，并证明当时，；
（Ⅱ）证明：当时，函数有最小值．设的最小值为，求函数的值域．

请考生在第（22）～（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
（22） （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，在正方形中，分别在边上（不与端点重合），且,过点作,垂足为.
（Ⅰ）证明：四点共圆；
（Ⅱ）若，为的中点，求四边形的面积.

（23） （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的方程为.
（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；
（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数），与交于两点，，求的斜率.

（24） （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，为不等式的解集.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）证明：当时，.

2016年全国卷Ⅱ高考数学（理科）答案
一.选择题：
（1）A （2）C （3）D （4）A （5）B （6）C
（7）B （8）C （9）D （10）C （11）A （12）C
二、填空题
(13) (14) ②③④ （15）1和3 （16）
三.解答题
（17）（本题满分12分）
（Ⅰ）设的公差为，据已知有，学.科.网解得
所以的通项公式为

（Ⅱ）因为
所以数列的前项和为
（18）（本题满分12分）
（Ⅰ）设表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1，故
（Ⅱ）设表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于3，故
又，故
因此所求概率为
（Ⅲ）记续保人本年度的保费为，则的分布列为

因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为
（19）（本小题满分12分）
（I）由已知得，，又由得，故.
因此，从而.由,得.
由得.所以，.
于是，，
故.
又，而，
所以.

（II）如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.于是， .因此二面角的正弦值是.
（20）（本小题满分12分）
（I）设，则由题意知，当时，的方程为，.
由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为.
将代入得.解得或，所以.
因此的面积.
（II）由题意，，.
将直线的方程代入得.
由得，故.
由题设，直线的方程为，故同理可得，
由得，即.
当时上式不成立，
因此.等价于，
即.由此得，或，解得.
因此的取值范围是.
（21）（本小题满分12分）
（Ⅰ）的定义域为.

且仅当时，，所以在单调递增，
因此当时，
所以
（II）
由（I）知，单调递增，对任意
因此，存在唯一使得即，
当时，单调递减；
当时，单调递增.
因此在处取得最小值，最小值为

于是，由单调递增
所以，由得
因为单调递增，对任意存在唯一的
使得所以的值域是
综上，当时，有，的值域是
（22）（本小题满分10分）
（I）因为,所以
则有
所以由此可得
由此所以四点共圆.
（II）由四点共圆，知，连结，
由为斜边的中点，知,故
因此四边形的面积是面积的2倍，即

（23）（本小题满分10分）
（I）由可得的极坐标方程
（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为
由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得

于是

由得，
所以的斜率为或.
（24）（本小题满分10分）
（I）先去掉绝对值，再分，和三种情况解不等式，即可得；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当，时，．
试题解析：（I）
当时，由得解得；
当时， ；
当时，由得解得.
所以的解集.
（II）由（I）知，当时，，从而
，
因此
理科数学试卷 第11页（共5页）