1、普通高中课程标准实验教材(选修2-2)数学综合测试时量 100 分钟满分 100 分拟题:增城中学李祥钧一选择题(本大题8 小题,每题4 分,共 32 分,每小题所给选项中只有一项符合题目要求)1 一物体沿直线作匀速直线运动,其位移与时间的关系为62ts,则在某时间段的平均速度与任一时刻的瞬时速度(A)A)相等B)不等C)有时相等D)无法比较2复数immm)1(322(mR)为纯虚数,则(C)A)m=1,m=-3 B)m=1 C)m=-3 D)m=3 3.曲线)1,1(1323在点xxy处的切线方程为(B)A)3x-y-4=0 B)3x+y-2=0 C)4x+y-3=0 D)4x-y-5=0
2、4曲线 y=cosx(0 x)与坐标轴所围成的面积是(C)A)0 B)1 C)2 D)3 5下列在演绎推理中可以作为证明数列nnna1上是递增数列的大前题的有(D)个A)0 B)1 C)2 D)3 函数 y=f(x)在对于区间(a,b)中任意两个数,1x2x若21xx都有)(1xf)(2xf则函数为增函数,函数y=f(x)在对于区间(a,b)中的导数)(xf0 则函数为增函数,数列na中若对任意正整数都有1nana6.函数 y=13xax有极值的充要条件是(B)A)a0B)a0C)a0D)a0 7.如图所示是函数y=f(x)的导函数y=)(xf图象,则下列哪一个判断是正确的(C)A)在区间(-
3、2,1)内 y=f(x)为增函数B)在区间(1,3)内 y=f(x)为减函数C)在区间(4,5)内 y=f(x)为增函数D)当 x=2 时 y=f(x)有极小值8做一个底面为正三角形的体积为V的直棱柱,要求其表面积最小,则底面边长为(C)A)3VB)32VC)34VD)23V二填空题(本大题共6 个小题,每小题4 分,满分24 分)9dxxx)23(230 36 10复数 3+5i 的共轭复数为 3-5i 11归纳推理,类比推理,演绎推理中从一般到特殊的推理过程的是演绎推理12关于 x 的方程033axx有三个不同的根,则a 的取值范围是 (-2,2)-2 1 2 3 4 13设n27的个位数
4、为na,如,.9,.721aa则2007a 3 14不等式241)1ln(xxM恒成立,则M的最小值为41题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案A C B C D B C C 9 36 10 3-5i 11 演绎推理12 (-2,2)13 3 1441三.解答题(本大题共4 题,满分 34 分)15.已知 a.b 都是正数,求证abba11.这 2 个数中至少有一个不小于2 (6分)证明:假设abba11.这两个数都小于2,则abba114 但与baabbaba11114 矛盾,故假设不成立。即证16 已知函数bxaaxxxf2233132)(a 0)(8分)(1)当 y=f(x)的极小值为
5、1 时求 b 的值(2)若 f(x)在区间 1,2上是减函数,求a 的范围解:(1),令0)(xf有axax;由函数的单调性可知,函数在x=3a 处取极小值,即133)3(2)3()3(22331baaaaaaf所以 b=1(2)3)(34)(22axaxaaxxxf,要使 f(x)在区间 1,2上是减函数,则导数在 1,2小于等于0,所以132a17.已知函数cbxaxxxf23)(在131xx和处取得极值,(1)求 a,b 的值及其单调区间,(2)若对 x-1,2不等式f(x)2c恒成立,求c 的取值范围 (10)解:(1)由题意有023)(2baxxxf的两根为131xx和,则a=-1,
6、b=-1.1023)(312xbaxxxf则故函数的单调减区间为(1,31),单增区间为(31,)和(1,)(2)cxxxxf23)(x-1(-1,31)31(31,1)1(1,2)2 f(x)0 0 f(x)c-1 C+275c-1 C+2 函数的最大值是C+2,则只需C+22c则 c-1 或 c2 18.已知复数sincosiZ(1)计算432,ZZZ,(2)猜想nZ并用数学归纳法证明(10)(备用公式Sin(+)=sin cos+cossin cos(+)=cos cos-sin sin 解:2sin2coscossin2sincos)sin(cos2222iiiZsin2sincos2
7、cos)sin)(cos2sin2(cos)sin(cos33iiiZ3sin3cos)sin2coscos2(sinii?iiiZsin3sincos3cos)sin)(cos3sin3(cos)sin(cos444sin4cos)sin3coscos3(sinii猜想ninZnsincos证明:(1)1n时公式成立(2)假设),1(Nkkkn时有kikZksincos则sinsincoscos)sin)(cossin(cos)sin(cos11kkikikiZkk)1sin()1cos()sincoscos(sinkikkki即1kn时也成立。由(1)(2)推知对一切n都有ninZnsin
8、cos成立普通高中课程标准实验教材(选修2-2)数学综合测试参考答案题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案A C B C D B C C 9 36 10 3-5i 11 演绎推理12 (-2,2)13 3 144115证明:假设abba11.这两个数都小于2,则abba114 但与baabbaba11114 矛盾,故假设不成立。即证16 解:(1),令0)(xf有axax;由函数的单调性可知,函数在x=3a 处取极小值,即133)3(2)3()3(22331baaaaaaf所以 b=1(2)3)(34)(22axaxaaxxxf,要使 f(x)在区间 1,2上是减函数,则导数在 1,2小于等
9、于0,所以132a17解:(1)由题意有023)(2baxxxf的两根为131xx和,则 a=-1,b=-1.1023)(312xbaxxxf则故函数的单调减区间为(1,31),单增区间为(31,)和(1,)(2)cxxxxf23)(x-1(-1,31)31(31,1)1(1,2)2 f(x)0 0 f(x)c-1 C+275c-1 C+2 函数的最大值是C+2,则只需C+22c则 c-1 或 c2 2sin2coscossin2sincos)sin(cos2222iiiZsin2sincos2cos)sin)(cos2sin2(cos)sin(cos33iiiZ3sin3cos)sin2co
10、scos2(sinii?iiiZsin3sincos3cos)sin)(cos3sin3(cos)sin(cos444sin4cos)sin3coscos3(sinii猜想ninZnsincos证明:(1)1n时公式成立(2)假设),1(Nkkkn时有kikZksincos则sinsincoscos)sin)(cossin(cos)sin(cos11kkikikiZkk)1sin()1cos()sincoscos(sinkikkki即1kn时也成立。由(1)(2)推知对一切n都有ninZnsincos成立试题说明:(1)试题可用于选修 2-2 授完后的知识检测,(2)导数及其应用;推理与证明;数系的扩充与复数的引入分值比为 6:2:1,(3)试题的难度分布:简单题中档题目难题目比约为5:3:2,(4)估计试题全市平均分在58-63之间