基于复合泊松过程与时间序列模型的新疆森林火灾特征预测分析研究.pdf

2023 年 6 月伊犁师范大学学报（自然科学版）Jun.2023第 17 卷 第 2 期Journal of Yili Normal University（Natural Science Edition）Vol.17 No.2基于复合泊松过程与时间序列模型的新疆森林火灾特征预测分析研究王瑶1，卢芸潇1，刘淼1，2*（1.伊犁师范大学 数学与统计学院，新疆 伊宁835000；2.伊犁师范大学 应用数学研究所，新疆 伊宁835000）摘要：基于时间序列ARIMA模型对新疆20032019年期间森林火灾燃烧面积的相关数据进行实证预测分析，进一步提出运用复合泊松过程可以对新疆每年森林火灾燃烧次数发生概率模拟.预测结果显示：20202021年平均燃烧面积约为40 hm2，以及新疆年均森林火灾预期次数达到37次.可见，复合泊松模型可以作为新疆森林火灾燃烧总面积概率拟合的一个很好的工具.关键词：复合泊松过程模型；差分自回归移动平均模型；森林火灾中图分类号：O211.6文献标识码：A文章编号：2097-0552（2023）02-0016-090引言引言新疆位于我国西北边疆，是我国荒漠面积最大、生态环境较为脆弱的地区；同时也是我国森林资源较少的省区之一，并且林地面积小、结构不合理、分布不均匀.火灾干扰在新疆的生态系统中起着主导作用，改变了森林演替、生物地球化学循环和碳存储.寻找统计模型来描述这一地理区域火灾和燃烧面积的年数趋势是森林科学家非常感兴趣的问题.事实上，对这些模型的详细分析可能会揭示火灾发生模式的新方面，并就火灾机理提出重要的想法.有几种统计方法可以根据火灾数据揭示前兆地震活动.曼达拉兹和Ye发现了泊松概率模型，很好地描述了森林野火燃烧的过程1-2.本文提出简单的泊松模型，作为模拟野火发生的随机性的一种实用方法；还利用复合泊松模型对大火灾造成的损害进行了火灾的总烧毁面积的建模；并通过二重复合泊松过程对新疆森林火灾造成的经济损失进行描述，希望所得结果对相关部门今后掌握新疆森林火灾的变化规律提供一定的借鉴与参考.1时间序列分析时间序列分析1.1基本概念1.1.1时间序列时间序列是指某一现象的统计指标值按时间顺序所排列的数据，时间序列分析方法用于确定时间序列收稿日期：2021-08-10基金项目：新疆维吾尔自治区自然科学基金项目（2021D01C462）；伊犁师范大学“学实高层次人才岗位”项目（YSXSJS22006）.作者简介：王瑶（1997），女，河南南阳人，硕士，研究方向：数理统计；卢芸潇（1997），女，新疆伊宁人，硕士，研究方向：数理统计.*通信作者：刘淼（1976），男，山东郓城人，教授，研究方向：数理统计.王瑶等：基于复合泊松过程与时间序列模型的新疆森林火灾特征预测分析研究第2期的周期、趋势和概率结构.基于该结构建立的模型通常用于模拟隐含在时间序列中的过程，从而对未来进行预测，用于解决实际问题.1.1.2ARIMA模型简介ARIMA()p,d,q（简称ARIMA模型）全称为差分自回归移动平均模型（Autoregressive Integrated MovingAverage Model），是由博克斯（Box）和詹金斯（Jenkins）于20世纪70年代初提出的一种著名的时间序列预测方法，所以又称为Box-Jenkins模型、博克斯-詹金斯法.ARIMA模型是指将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，然后将因变量仅对它的滞后值，以及随机误差项的现值和滞后值进行回归所建立的模型3.ARIMA模型是自回归模型（AR模型）和移动平均模型（MA模型）的混合模型.其中，p为自回归项；q为移动平均项；d为时间序列变成平稳时间序列时所做的差分次数.本文所使用的是非季节性的ARIMA模型，即dxt=1dxt-1+2dxt-2+.+pdxt-p+et+1et-1+.+qet-q，（1）或简写为()B dxt=()B et.（2）其中，B为后移算子；d为向后差分算子；()B=1-1B-2B2-.-pBp为自回归算子；()B=1-1B-2B2-.-qBq为移动平均算子4.1.2新疆森林烧毁面积的ARIMA模型1.2.1新疆森林烧毁面积的数据初步判断本文就表 1 所示的 20032019 年新疆森林火灾年度烧毁面积5，建立新疆森林火灾烧毁面积的ARIMA()p,d,q模型.表 120032019新疆森林火灾数据年份200320042006200620072008烧毁面积/hm2370.00292.0042.33258.27137.09191.38年份200920102011201220132014烧毁面积/hm283.5865.95713.7219.1664.61118.08年份20152016201720182019烧毁面积/hm2143.698.8532.8223.5314.00利用SPSS软件对新疆20032019年的森林火灾烧毁面积的数据进行分析.图1为20032019年新疆森林火灾烧毁面积的时间序列图.17伊犁师范大学学报（自然科学版）2023年图 120032019年新疆森林火灾烧毁面积序列图从图1中可以看出，20032019年新疆森林火灾烧毁面积的序列图是一个非平稳时间序列.本文对数据作二阶差分后得到一个平稳的时间序列，见图2.由图2可以看出对原始序列作二阶差分能使该时间序列基本达到平稳状态.图 2二阶差分后的时间序列图1.2.2模型的识别与定阶利用ACF图、PACF图与贝叶斯信息准则（Bayesian Information Criterions，BIC）确定模型的阶数，采用最大似然估计或最小二乘的方法对识别阶段提供的模型进行参数估计，并假设检验，用以判断模型是否恰当6.利用统计软件绘制自相关图及偏相关图（见图3、图4），进行阶数的初步判断.图 3二阶差分后的自相关图18王瑶等：基于复合泊松过程与时间序列模型的新疆森林火灾特征预测分析研究第2期图 4二阶差分后的偏相关图对该时间序列取不同参数值来比较BIC值（BIC值越小越好），以及比较平稳的R2值和MAE值，反复拟合取()p,d,q=()2,2,0时，时间序列模型的BIC值达到最小值12.113，R2=0.611，模型拟合效果比较显著.1.2.3模型的参数估计取()p,d,q=()2,2,0时，模型的参数估计结果如表2所示.由表2可以看出，回归系数的p值都小于0.05，接近于0，于是得到结论：t检验效果显著.表 2参数估计值（森林燃烧面积）无转换常数AR差分滞后 1滞后 2估计6.165-.996-.5212SE34.665.237.236t.178-4.200-2.210Sig.862.001.0471.2.4模型的显著性检验模型的显著性检验是对序列的原始数据与拟合数据的误差序列进行相关检验，看其是否与实际相吻合，是否能够很好地反映实际，对时间序列模型的检验即就是看残差序列是否为白噪声序列7.本文检验是否为白噪声序列的方法选择观测残差序列的ACF图和PACF图进行检验，见图5.图 5ARIMA模型残差的相关函数图19伊犁师范大学学报（自然科学版）2023年由图5可知，残差的ACF和PACF都是平稳的，两者的数值都趋向于0，但都不等于0，并且残差序列数值之间没有相关性.因此残差序列近似为白噪声序列.于是得到的模型ARIMA()2,2,0能够较好地用来拟合新疆20032019年森林火灾烧毁面积的时间序列.1.2.5ARIMA()2,2,0模型的预测利用建立的模型预测新疆森林火灾烧毁面积，得到预测值与实际值的对比结果，如图6：图 6新疆森林火灾燃烧面积预测值与实际值对比图对比图6中的原始序列和实际序列，模型的预测是合适的.使用该模型对未来两年（20202021年）新疆森林火灾烧毁面积进行预测，结果如表3所示.由表3预测得到2020年新疆森林火灾烧毁的面积约为37.57 hm2；预测2021年新疆森林火灾所致的烧毁面积约为43.82 hm2.表 3新疆20202021年森林火灾烧毁面积预测值年份20202021预测值/hm237.5743.822复合泊松过程复合泊松过程2.1预备知识定义18称计数过程N()t,t 0，为具有参数 0的泊松过程，如果N()t,t 0满足下列条件：（1）N()0=0；（2）N()t是独立平稳增量过程；（3）PN()h=1=h+()h；（4）PN()h 2=()h.定义29设N()t,t 0是参数为的泊松过程，若Y()t=n=1N()tXn,t 0.其中Xn,n=1,2,.为独立同分布随机变量序列且与N()t,t 0独立，则称Y()t,t 0为复合泊松过程.定义310若Y()t,t 0是一复合泊松过程，n,n=1,2,.是独立同分布的非负整数值随机变量序列，且 n与Y()t相互独立.令Z()t=n=1Y()tn,t 0，则称Z()t,t 0为二重复合泊松过程.20王瑶等：基于复合泊松过程与时间序列模型的新疆森林火灾特征预测分析研究第2期2.2主要结论定理1若N()t,t 0是参数为的泊松过程，且E()X21，则复合泊松过程Y()t=n=1N()tXn,t 0的基本数字特征如下：（1）特征函数为gY()t()u=exptgX()u-1，其中gX()u是随机变量X1的特征函数，表示速率；（2）均值函数为EY()t=tE()X1；（3）方差函数为DY()t=tE()X12.证明：（1）gY()t()u=EeiuY()t=n=0EeiuY()tN()t=nPN()t=n=n=0Eexp()iuk=1nXkN()t=ne-t()tn!n，由于N()t 0,t 0与Xn,n=1,2,.，是相互独立的，则n=0Eexp()iuk=1nXkN()t=ne-t()tn!n=n=0E exp()iuk=1nXke-t()tn!n=n=0gX()une-t()tn!n=e-tn=0tgX()un!n=exptgX()u-1.（3）（2）根据特征函数与矩的关系得到数学期望为EY()t=-jdgY()udu|u=0=-jtdgX()uduetgX()u-1|u=0.（4）因为-jdgY()udu|u=0=EX1,gY()0=1，所以EY()t=tEX1.（3）均方值为EY2()t=-d2gY()udu2|u=0=-tdgX()udu2etgX()u-1+td2gX()udu2etgX()u-1|u=0=()t2E2X+tEX2.（5）故varY()t=E2Y()t+tEY2()t=tEX12.（6）性质1复合泊松过程的概率函数：若N()t,t 0是参数为的泊松过程，且E()X21 2时，利用上述同样的方法进行微分及代数运算，得到m 2的概率P()Y()t=3=e-t()1-p0()1t33!+()1t1()2t11!1!+()3t11!，（14）P()Y()t=4=e-t()1-p0()1t44!+()1t2()2t12!1!+()1t1()3t11!1!+()2t22!+()4t11!.（15）.通过归纳得pY()t()k=e-t()1-p0,k=0;e-t()1-p0i=0k2()1tk-2i()2ti()k-2i!i!,k=1,2,（16）22王瑶等：基于复合泊松过程与时间序列模型的新疆森林火灾特征预测分析研究第2期2.3实证分析2.3.1模型的建立从 新疆统计年鉴 中收集到20032019年有关新疆森林火灾的数据如图7.图 720032019年新疆森林火灾发生次数利用图7中的数据进行分析.令N()t,t 0为某一给定季节内新疆地区森林火灾发生次数的齐次泊松过程，则相应的森林火灾的烧毁面积Xn,n=1,2,.为独立同分布随机变量，且与N()t,t 0独立，则在0,t时间段内，新疆森林火灾烧毁的总面积可看作一个复合泊松过程Y()t=X1+X2+.+XN()t=n=1N()tX()n()t 0.当每次新疆地区森林火灾燃烧面积相互独立时，即可确定新疆森林火灾烧毁总面积的概率密度函数.在t时间段内新疆森林火灾造成的经济损失可看成一个二重复合泊松过程.当每一单位面积烧毁造成的经济损失相互独立时，便可得到新疆森林火灾造成总经济损失的数学模型.2.3.2模型检验本文利用Kolmogorov-Smirnov检验统计量()=0.095，得到N()t,t 0是一个齐次泊松过程，=36.88（年），这意味着每年新疆森林火灾预期达到36.88次.从图8和Kolmogorov-Smirnov检验中得到了新疆森林火灾燃烧面积的频率分布，随机变量Xn,n=1,2,.为对数正态分布.根据Spearman-检验（Spearman-=0.204；p=0.433），满足独立性假设条件.因此得到：Y()t=n=1N()tX()n是一个复合泊松过程.利用随机变量Xn与N()t的分布特性同样可得新疆森林火灾烧毁总面积的复合泊松过程的概率函数.图 8新疆森林年度燃烧面积图通过Kolmogorov-Smirnov检验得到随机变量n,n=1,2,.为一个正态分布.根据 Spearman-检验23伊犁师范大学学报（自然科学版）2023年（Spearman-=0.074；p=0.859），我们接受独立性假设.因此我们认为Z()t=n=1Y()tn,t 0是一个二重复合泊松过程.3结束语结束语本文首先介绍了一种时间序列模型，用于对新疆未来两年森林火灾的燃烧面积进行预测；同时提出了一种复合泊松模型，用于模拟给定季节内新疆森林火灾的年度燃烧面积和火灾次数的分布.利用新疆20032019年森林火灾的历史数据来拟合模型，最后得到新疆森林火灾燃烧总面积的复合泊松过程的数字模型和新疆森林火灾所造成经济损失的二重复合泊松过程的数学模型，从而说明建立复合泊松模型，可以很好地对新疆森林火灾燃烧总面积和燃烧次数进行概率拟合.本研究中得到的新疆森林火灾的分布规律对于未来相关部门防控和管理新疆森林火灾系统有一定的参考价值.参考文献：1 KNEESHAW D，MUNSON A，BURTON P.Canadian Journal of Forest Research Contents J.Canadian Journal of ForestResearch，2005，36（4）：vii-viii.2 王燕.应用时间序列分析 M.北京：中国人民大学出版社，2005.3 张晓峒.计量经济学基础 M.天津：南开大学出版社，2005.4 方颢.基于广义FGM模型下复合泊松过程的保费定价研究 D.芜湖：安徽工程大学，2014.5 新疆维吾尔自治区.新疆统计年鉴 M.乌鲁木齐：新疆维吾尔自治区统计局，2004-2019.6 方世祖，孙歆.一类广义复合Possion过程 J.纯粹数学与应用数学，2009，25（1）：34-38.7 高世泽.二重复合非齐次泊松过程 J.重庆师范大学学报（自然科学版），1993，10（4）：9-14.8 OEZEL G，INAL C.The probability function of the compound Poisson process and an application to aftershock sequence inTurkey J.Environmetrics，2008，19（1）：79-85.9 WANG Y，CHENG D，WANG K.The closure of a local subexponential distribution class under convolution roots，withapplications to the compound Poisson process J.Journal ofApplied Probability，2005，42（4）：1194-1203.10 张雅清，王艳玲，李晓虹.复合泊松过程在系统可靠性中的应用 J.河南师范大学学报（自然科学版），2007，35（1）：38-39.【责任编辑：张建国】Study on Prediction and Analysis of Forest Fire Characteristics in Xinjiang Based onCompound Poisson Process and Time Series ModelWang Yao1,Lu Yunxiao1,Liu Miao1,2*(1.College of Mathematics and Statistics,Yili Normal University,Yining,Xinjiang 835000,China;2.Institute of AppliedMathematics,Yili Normal University,Yining,Xinjiang 835000,China)Abstract:Based on the ARIMA model to predict the relevant data of forest fires in Xinjiang from 2003 to 2019,this paperfurther proposes that the compound Poisson process can simulate the annual combustion area and combustion frequency probabilityof forest fires in Xinjiang.The results predict that the average burning area from 2020 to 2021 is 40 hm2;and that the average annualexpected number of forest fires in Xinjiang is 36.88.Key words:Compound Poisson process;ARIMAmodel;the forest fire24