2017年高考全国二卷理科数学试卷.doc

2017.6
2017年普通高等学校招生全国统一考试（II卷）
理科数学
一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
1.
A. 1 + 2i B. 1 - 2i C. 2 + i D. 2 - i
2. 设集合
A. {1,-3} B. {1,0} C. {1,3} D. {1,5}
3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问 尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔 的顶层共有灯
A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏
4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体
由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
A. B.
C. D.
5. 设x、y满足约束条件则z = 2x + y的最小值是
A. -15 B. -9 C. 1 D. 9
6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有
A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种
7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中
有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲
的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则
A. 乙可以知道四人的成绩 B. 丁可以知道四人的成绩
C. 乙、丁可以知道对方的成绩 D. 乙、丁可以知道自己的成绩
8. 执行右面的程序框图，如果输入的a = -1，则输出的S =
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
9. 若双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的
弦长为2，则C得离心率为
A. 2 B. C. D.
10. 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC = 120°，AB = 2，BC = CC1= 1，则异面直线
AB1与BC1所成角的余弦值为
A. B. C. D.
11. 若x = -2是函数的极值点，则f (x)的极小值为
A. -1 B. -2e-3 C. 5e-3 D. 1
12. 已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是
A. -2 B. C. D. -1
二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数， 则DX =___________。
14. 函数的最大值是__________。
15. 等差数列{an}的前n项和为Sn，a3 = 3，S4 = 10，则__________。
16. 已知F是抛物线C：y2 = 8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M为FN的中点，则
| FN | =___________。
三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17. （12分）
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知。
（1） 求cosB；
（2） 若a + c = 6，△ABC的面积为2，求b。

18. （12分）
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：

（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不 低于50kg”，估计A的概率；
（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量< 50kg
箱产量≥ 50kg
旧养殖法

新养殖法

（3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）。
附：

0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
。

M
E
D
C
B
A
P
19. （12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，
AB = BC =AD，∠BAD = ∠ABC = 90°，E是PD的中点。
（1） 证明：直线CE // 平面PAB；
（2） 点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角
M-AB-D的余弦值。

20. （12分）
设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足。
（1） 求点P的轨迹方程；
（2）设点Q在直线，证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。

21. （12分）
已知函数。
（1） 求a；
（2） 证明：f (x)存在唯一的极大值点x0，且。

（二） 选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分。
22. [选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为。
（1） M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足| OM |·| OP | = 16，求点P的轨迹C2的直角坐标方 程；
（2） 设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值。

23. [选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知a > 0，b > 0，a3 + b3 = 2。证明：
（1） (a + b)(a5 +b5) ≥ 4；
（2） a + b ≤ 2。

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