2019-2020年高考数学二轮复习专题7概率与统计第3讲概率随机变量及其分布列课后强化训练理.doc

2019-2020年高考数学二轮复习专题7概率与统计第3讲概率随机变量及其分布列课后强化训练理

A组
1．(xx·全国卷Ⅲ，5)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 (　C　)
A．　　　 B．　　　
C．　　　 D．
[解析]　根据题意可以知道，所输入密码所有可能发生的情况如下：M1，M2，M3，M4，M5，I1，I2，I3，I4，I5，N1，N2，N3，N4，N5共15种情况，而正确的情况只有其中一种，所以输入一次密码能够成功开机的概率是．
2．(xx·临沂模拟)在区间[－，]上随机取一个数x，则sin x＋cos x∈[1，]的概率为 (　D　)
A． B．
C． D．
[解析]　sin x＋cos x＝sin(x＋)，由1≤sin(x＋)≤，得≤sin(x＋)≤1，结合x∈[－，]得0≤x≤，所以所求概率为＝．
3．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩洒．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 (　C　)
A． B．
C． D．
[解析]　如图所示，设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x，y，x，y相互独立，由题意可知所以两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|x－y|≤2)＝＝＝＝．

4．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 (　A　)
A．0.8 B．0.75
C．0.6 D．0.45
[解析]　本题考查条件概率的求法．
设A＝“某一天的空气质量为优良”，B＝“随后一天的空气质量为优良”，则
P(B|A)＝＝＝0.8，故选A．
5．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝______.
[解析]　设P(ξ＝1)＝p，则P(ξ＝2)＝－p，从而由E(ξ)＝0×＋1×p＋2×(－p)＝1，得p＝.故D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝．
6．(xx·贵州七校联考)在我校xx届高三11月月考中理科数学成绩ξ～N(90，σ2)(σ>0)，统计结果显示P(60≤ξ≤120)＝0.8，假设我校参加此次考试有780人，那么试估计此次考试中，我校成绩高于120分的有__78__人.
[解析]　因为成绩ξ～N(90，σ2)，所以其正态曲线关于直线x＝90对称．又P(60≤ξ≤120)＝0.8，由对称性知成绩在120分以上的人数约为总人数的(1－0.8)＝0.1，所以估计成绩高于120分的有0.1×780＝78人．
7．(xx·北京卷，17)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者.

(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
(2)从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)；
(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．(只需写出结论)
[解析]　(1)由题图知，在服药的50名患者中，指标y的人小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率为＝0.3．
(2)由题图可知，A，B，C，D四人中，指标x的值大于1.7的有2人：A和C．
所以ξ的所有可能取值为0,1,2．
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝．
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P

故ξ的期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1．
(3)在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差．
8．(xx·山东卷，19)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；
(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望EX．
[解析]　(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，
记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，
记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”．
由题意，E＝ABCD＋BCD＋ACD＋ABD＋ABC．
由事件的独立性与互斥性，得
P(E)＝P(ABCD)＋P(BCD)＋P(ACD)＋P(ABD)＋P(ABC)
＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P()P(B)P(C)P(D)＋P(A)P()P(C)P(D)＋P(A)P(B)P()P(D)＋P(A)P(B)P(C)P()
＝×××＋2×(×××＋×××)
＝．
所以“星队”至少猜对2个成语的概率为．
(Ⅱ)由题意，随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6．
由事件的独立性与互斥性，得
P(X＝0)＝×××＝，
P(X＝1)＝2×(×××＋×××)＝＝，
P(X＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＝，
P(X＝3)＝×××＋×××＝＝，
P(X＝4)＝2×(×××＋×××)＝＝，
P(X＝6)＝×××＝＝．
可得随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
6
P

所以数学期望EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝．
B组
1．为了了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质，学校对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为123，其中第2小组的频数为12.

(1)求该校报考飞行员的总人数；
(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中(人数很多)任选3人，设X表示体重超过60kg的学生人数，求X的分布列和数学期望．
[解析]　(1)设报考飞行员的人数为n，前3个小组的频率分别为p1，p2，p3，则由条件可得：

解得p1＝0.125，p2＝0.25，p3＝0.375．
又因为p2＝0.25＝，故n＝48．
(2)由(1)可得，一个报考学生体重超过60kg的概率为
P＝p3＋(0.037＋0.013)×5＝，
由题意知X服从二项分布B(3，)，
P(x＝k)＝C()k()3－k(k＝0,1,2,3)，
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P

E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．
2．(xx·天津卷，16)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.
(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；
(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
[解析]　(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3．
P(X＝0)＝(1－)×(1－)×(1－)＝，
P(X＝1)＝×(1－)×(1－)＋(1－)××(1－)＋(1－)×(1－)×＝，
P(X＝2)＝(1－)××＋×(1－)×＋××(1－)＝，
P(X＝3)＝××＝．
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P

随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．
(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为
P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)
＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)
＝×＋×＝．
所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为．
3．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)．
[解析]　(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A．
P(A)＝＝．
(2)X的可能取值为200,300,400．
P(X＝200)＝＝．
P(X＝300)＝＝．
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝．
故X的分布列为
X
200
300
400
P

EX＝200×＋300×＋400×＝350．
4．(xx·沈阳质检)某中学根据xx～xx年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”“棋类”“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.xx年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”“棋类”“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m>n.
(1)求m与n的值；
(2)该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社团的同学增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社团的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社团的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列及期望．
[解析]　(1)依题，
解得
(2)令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为随机变量X，则X的值可以为0,1,2,3,4,5,6．
而P(X＝0)＝××＝；
P(X＝1)＝××＝；
P(X＝2)＝××＝；
P(X＝3)＝××＋××＝；
P(X＝4)＝××＝；
P(X＝5)＝××＝；
P(X＝6)＝××＝．
X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
5
6
P

于是，E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝．