资源描述
平面向量易错题解析
赵玉苗整理
1、你熟悉平面向量的运算（和、差、实数与向量的积、数量积）、运算性质和运算的几何意义吗？
2、你通常是如何处理有关向量的模（长度）的问题？（利用；）
3、你知道解决向量问题有哪两种途径？（①向量运算；②向量的坐标运算）
4、你弄清“”与“”了吗？
[问题]：两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？
（1） 在实数中：若，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若，且，不能推出.
（2） 已知实数，且，则a=c,但在向量的数量积中没有.
（3） 在实数中有，但是在向量的数量积中，这是因为左边是与共线的向量，而右边是与共线的向量.
5、向量的平移公式、函数图象的平移公式你掌握了吗？
6、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗？三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特点？
1、向量有关概念：
（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2），B（4,2），则把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；
（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；
（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有)；④三点共线共线；
（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。
如下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的是_______（答：（4）（5））
2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1＋e2。如（1）若
，则______（答：）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. B. C. D.（答：B）；（3）已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_____（答：）；（4）已知中，点在边上，且，，则的值是___（答：0）
4、实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当>0时，的方向与的方向相同，当<0时，的方向与的方向相反，当＝0时，，注意：≠0。
5、平面向量的数量积：
（1）两个向量的夹角：对于非零向量，，作，
称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直。
（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即＝。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如
（1）△ABC中，，，，则_________（答：－9）；
（2）已知，与的夹角为，则等于____（答：1）；
（3）已知，则等于____（答：）；（4）已知是两个非零向量，且，则的夹角为____（答：）
（3）在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。如已知，，且，则向量在向量上的投影为______（答：）
（4）的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。
（5）向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则：
①；
②当，同向时，＝，特别地，；当与反向时，＝－；当为锐角时，＞0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，＜0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；
③非零向量，夹角的计算公式：；④。如（1）已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是______（答：或且）；（2）已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围是_________（答：）；（3）已知与之间有关系式，①用表示；②求的最小值，并求此时与的夹角的大小（答：①；②最小值为，）
6、向量的运算：
（1）几何运算：
①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向量叫做与的和，即；
②向量的减法：用“三角形法则”：设，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如（1）化简：①___；②____；③_____（答：①；②；③）；（2）若正方形的边长为1，，则＝_____（答：）；（3）若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为____（答：直角三角形）；（4）若为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为___（答：2）；（5）若点是的外心，且，则的内角为____（答：）；
（2）坐标运算：设，则：
①向量的加减法运算：，。如（1）已知点，，若，则当＝____时，点P在第一、三象限的角平分线上（答：）；（2）已知，，则（答：或）；（3）已知作用在点的三个力，则合力的终点坐标是（答：（9,1））
②实数与向量的积：。
③若，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如设，且，，则C、D的坐标分别是__________（答：）；
④平面向量数量积：。如已知向量＝（sinx，cosx）, ＝（sinx，sinx）, ＝（－1，0）。（1）若x＝，求向量、的夹角；（2）若x∈，函数的最大值为，求的值（答：或）；
⑤向量的模：。如已知均为单位向量，它们的夹角为，那么＝_____（答：）；
⑥两点间的距离：若，则。如如图，在平面斜坐标系中，，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若，其中分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为。（1）若点P的斜坐标为（2，－2），求P到O的距离｜PO｜；（2）求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系中的方程。（答：（1）2；（2））；
7、向量的运算律：（1）交换律：，，；(2)结合律：，；（3）分配律：，。如下列命题中：①；②；③
；④ 若，则或；⑤若则；⑥；⑦；⑧；⑨。其中正确的是______（答：①⑥⑨）
提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么？
8、向量平行(共线)的充要条件：＝0。如(1)若向量，当＝_____时与共线且方向相同（答：2）；（2）已知，，，且，则x＝______（答：4）；（3）设，则k＝_____时，A,B,C共线（答：－2或11）
9、向量垂直的充要条件：.特别地。如(1)已知，若，则（答：）；（2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，，则点B的坐标是________ （答：(1,3)或（3，－1））；（3）已知向量，且，则的坐标是________ （答：）
10.线段的定比分点：
（1）定比分点的概念：设点P是直线PP上异于P、P的任意一点，若存在一个实数 ，使，则叫做点P分有向线段所成的比，P点叫做有向线段的以定比为的定比分点；
（2）的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段 PP上时>0；当P点在线段 PP的延长线上时<－1；当P点在线段PP的延长线上时；若点P分有向线段所成的比为，则点P分有向线段所成的比为。如若点分所成的比为，则分所成的比为_______（答：）
（3）线段的定比分点公式：设、，分有向线段所成的比为，则，特别地，当＝1时，就得到线段PP的中点公式。在使用定比分点的坐标公式时，应明确，、的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比。如（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且，则点P的坐标为_______（答：）；（2）已知，直线与线段交于，且，则等于_______（答：２或－４）
11.平移公式：如果点按向量平移至，则；曲线按向量平移得曲线.注意：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！如（1）按向量把平移到，则按向量把点平移到点______（答：（－８，３））；（2）函数的图象按向量平移后，所得函数的解析式是，则＝________（答：）
12、向量中一些常用的结论：
（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；
（2），特别地，当同向或有
；当反向或有；当不共线(这些和实数比较类似).
（3）在中，①若，则其重心的坐标为。如若⊿ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、 （-1，-1），则⊿ABC的重心的坐标为_______（答：）；
②为的重心，特别地为的重心；
③为的垂心；
④向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；
⑤的内心；
（3）若P分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则，特别地为的中点；
（4）向量中三终点共线存在实数使得且.如平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,,若点满足,其中且,则点的轨迹是_______（答：直线AB）
例题1 已知向量,且求
(1) 及;
(2)若的最小值是,求实数的值.
错误分析:(1)求出=后,而不知进一步化为,人为增加难度;
(2)化为关于的二次函数在的最值问题,不知对对称轴方程讨论.
答案: (1)易求, = ;
(2) ==
=
从而:当时,与题意矛盾,不合题意;
当时,;
当时,解得,不满足;综合可得:实数的值为.
例题2 在中,已知,且的一个内角为直角,求实数的值.
错误分析:是自以为是,凭直觉认为某个角度是直角,而忽视对诸情况的讨论.
答案: (1)若即 故,从而解得;
(2)若即,也就是,而故,解得;
(3)若即,也就是而,故,解得 综合上面讨论可知,或或
例题4 已知向量m=(1,1)，向量与向量夹角为，且·=-1，
(1)求向量；
(2)若向量与向量=(1,0)的夹角为，向量=(cosA,2cos2)，其中A、C为DABC的内角，且A、B、C依次成等差数列，试求|+|的取值范围。
解：(1)设=(x,y)
则由<,>=得：cos<,>==① 由·=-1得x+y=-1 ②
联立①②两式得或∴=(0,-1)或(-1,0)
(2)∵<,>=得·=0若=(1,0)则·=-1¹0故¹(-1,0)∴=(0,-1)
∵2B=A+C，A+B+C=pÞB=∴C=+=(cosA,2cos2) =(cosA,cosC)
∴|+|====
= = =
∵0<A<∴0<2A<∴-1<cos(2A+)<∴|+|Î()
例题5 已知函数f(x)=m|x-1|(mÎR且m¹0)设向量)，，，，当qÎ(0，)时，比较f()与f()的大小。
解：=2+cos2q，=2sin2q+1=2-cos2q
f()=m|1+cos2q|=2mcos2q， f()=m|1-cos2q|=2msin2q
于是有f()-f()=2m(cos2q-sin2q)=2mcos2q∵qÎ(0,) ∴2qÎ(0, ) ∴cos2q>0
∴当m>0时，2mcos2q>0，即f()>f() 当m<0时，2mcos2q<0，即f()<f()
例题6 已知ÐA、ÐB、ÐC为DABC的内角，且f(A、B)=sin22A+cos22B-sin2A-cos2B+2
(1)当f(A、B)取最小值时，求ÐC
(2)当A+B=时，将函数f(A、B)按向量平移后得到函数f(A)=2cos2A求
解：(1) f(A、B)=(sin22A-sin2A+)+(cos22B-cos2B+)+1
=(sin2A-)2+(sin2B-)2+1当sin2A=,sin2B=时取得最小值，
∴A=30°或60°，2B=60°或120°C=180°-B-A=120°或90°
(2) f(A、B)=sin22A+cos22()-
= ==
例题7 已知向量（m为常数），且,不共线，若向量,的夹角落<,>为锐角，求实数x的取值范围.
解：要满足<>为锐角 只须>0且（）
= = = 即 x (mx-1) >0
1°当 m > 0时x<0 或2°m<0时，x ( -mx+1) <0 ，3°m=0时 只要x<0
综上所述：x > 0时，x = 0时，x < 0时，
例题8 已知a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ），a与b之间有关系|ka+b|=|a－kb|，其中k>0，
（1）用k表示a·b;（2）求a·b的最小值，并求此时a·b的夹角的大小。
解 （1）要求用k表示a·b,而已知|ka+b|=|a－kb|，故采用两边平方，得|ka+b|2=(|a－kb|)2
k2a2+b2+2ka·b=3(a2+k2b2－2ka·b)∴8k·a·b=(3－k2)a2+(3k2－1)b2
a·b =∵a=(cosα，sinα),b=(cosβ,sinβ)，∴a2=1, b2=1,
∴a·b ==
（2）∵k2+1≥2k，即≥=，∴a·b的最小值为，
又∵a·b =| a|·|b|·cos，|a|=|b|=1 ∴=1×1×cos。∴=60°,此时a与b的夹角为60°。
错误原因：向量运算不够熟练。实际上与代数运算相同，有时可以在含有向量的式子左右两边平方，且有|a+b|2=|(a+b)2|=a2+b2+2a·b或|a|2+|b|2+2a·b。
例题9 已知向量，，．
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，且，求的值．
解（Ⅰ）,.
, ,
即 . .
（Ⅱ）
，
，
.
例题10 已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为（-1，0）、（1，0），动点A、M、N满足（），，，．
（Ⅰ）求点M的轨迹W的方程；
（Ⅱ）点在轨迹W上，直线PF交轨迹W于点Q，且，若，求实数的范围．
解：（Ⅰ）∵，，
∴ MN垂直平分AF．
又，∴ 点M在AE上，
∴，，
∴，
∴ 点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆，且半长轴，半焦距，
∴．
∴ 点M的轨迹W的方程为（）．
（Ⅱ）设
∵，，
∴∴
由点P、Q均在椭圆W上，
∴消去并整理，得，
由及，解得．
基础练习题
1、设平面向量=(－2，1)，=(λ，－1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：A
点评：易误选C，错因：忽视与反向的情况。
2、O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足
,则P的轨迹一定通过△ABC的( )
(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心
正确答案：B。
错误原因：对理解不够。不清楚
与∠BAC的角平分线有关。
3、若向量=(cosa,sina) ， =， 与不共线，则与一定满足（ ）
A．与的夹角等于a-b B．∥
C．(+)^(-) D．⊥
正确答案：C 错因：学生不能把、的终点看成是上单位圆上的点，用四边形法则来处理问题。
4、已知O、A、B三点的坐标分别为O(0,0)，A(3，0)，B(0，3)，是P线段AB上且=t (0≤t≤1)则·的最大值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
正确答案：C错因：学生不能借助数形结合直观得到当|OP|cosa最大时，·即为最大。
5、在中,,则的值为 ( )
A 20 B C D
错误分析:错误认为,从而出错.
答案: B
略解: 由题意可知,
故=.
6、已知向量=(2cosj，2sinj)，jÎ()，=（0,-1)，则与的夹角为( )
A．-j B．+j C．j- D．j
正确答案：A 错因：学生忽略考虑与夹角的取值范围在[0，p]。
7、如果，那么 （ ）
A． B． C． D．在方向上的投影相等
正确答案：D。
错误原因：对向量数量积的性质理解不够。
8、已知向量则向量的夹角范围是（ ）
A、[π/12，5π/12] B、[0，π/4] C、[π/4，5π/12] D、[5π/12，π/2]
正确答案：A
错因：不注意数形结合在解题中的应用。
9、设=(x1，y1)，=(x2，y2)，则下列与共线的充要条件的有（ ）
①存在一个实数λ，使=λ或=λ； ②|·|=|| ||；
③； ④(+)//(－)
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
答案：C
点评：①②④正确，易错选D。
10、以原点O及点A（5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB，使，则的坐标为（ ）。
A、（2，-5） B、（-2，5）或（2，-5）
C、（-2，5） D、（7，-3）或（3，7）
正解：B
设，则由①
而又由得②
由①②联立得。
误解：公式记忆不清，或未考虑到联立方程组解。
11、设向量，则是的（ ）条件。
A、充要 B、必要不充分
C、充分不必要 D、既不充分也不必要
正解：C
若则，若，有可能或为0，故选C。
误解：，此式是否成立，未考虑，选A。
12、在OAB中，，若，
则=（ ）
A、 B、 C、 D、
正解：D。
∵∴（LV为与的夹角）
∴∴∴
误解：C。将面积公式记错，误记为
13、设平面向量，若与的夹角为钝角，则的取值范围是 （A）
A、 B、（2，+ C、（— D、（-
错解：C
错因：忽视使用时，其中包含了两向量反向的情况
正解：A
14、设是任意的非零平面向量且互不共线，以下四个命题：
①②
③④若不平行
其中正确命题的个数是
（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
正确答案：(B)
错误原因：本题所述问题不能全部搞清。
15、若向量=，=，且，的夹角为钝角，则的取值范围是______________.
错误分析：只由的夹角为钝角得到而忽视了不是夹角为钝角的充要条件,因为的夹角为时也有从而扩大的范围,导致错误.
正确解法:，的夹角为钝角,
解得或 (1)
又由共线且反向可得 (2)
由(1),(2)得的范围是
答案: .
16、已知平面上三点A、B、C满足的值等于 （ C ）
A．25 B．24 C．－25 D．－24
17、已知AB是抛物线的任一弦，F为抛物线的焦点，l为准线.m是过点A且以向量为方向向量的直线.
（1）若过点A的抛物线的切线与y轴相交于点C，求证：|AF|=|CF|；
（2）若异于原点），直线OB与m相交于点P，求点P的轨迹方程；
（3）若AB过焦点F，分别过A，B的抛物线两切线相交于点T，求证：且T在直线l上.
解：（1）设A（，因为导数，
则直线AC的方程：
由抛物线定义知，|AF|=+，又|CF|=－（－）=+，故|AF|=|CF|.
（2）设
由
得. ①
直线OB方程：②
直线m的方程:， ③
由①②③得y=－p，故点P的轨迹方程为y=－p（x≠0）.
（3）设则
因为AB是焦点弦，设AB的方程为：
得
由（1）知直线AT方程：
同理直线BT方程：
所以直线AB方程：，
又因为AB过焦点，，故T在准线上.
18、如图，已知直线l与半径为1的⊙D相切于点C，动点P到直线l的距离为d，若
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若轨迹上的点P与同一平面上的点G、M分别满足
，
求以P、G、D为项点的三角形的面积.
解：（Ⅰ）
∴点P的轨迹是D为焦点，l为相应准线的椭圆.
由
以CD所在直线为x轴，以CD与⊙D的另一个交点O为坐标原点建立直角坐标系.
∴所求点P的轨迹方程为
（Ⅱ）G为椭圆的左焦点.
又
由题意，（否则P、G、M、D四点共线与已经矛盾）
又∵点P在椭圆上，
又
19、已知O是△ABC所在平面内的一定点，动点P满足
,，则动点P的轨迹一定通过△ABC的 （D）
A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心
20、已知向量是两个不共线的非零向量, 向量满足.则向量用向量一定可以表示为 （C）
A.且.
B.
C.
D., 或
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