辽宁省大连二十四中2020届高三数学第一次模拟测试试题-理.doc

辽宁省大连二十四中2020届高三数学第一次模拟测试试题 理

辽宁省大连二十四中2020届高三数学第一次模拟测试试题 理

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- 22 -

辽宁省大连二十四中2020届高三数学第一次模拟测试试题 理（含解析）
一、选择题（共12小题）.
1.若集合M＝{1，3}，N＝{1，3，5}，则满足M∪X＝N的集合X的个数为(　　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
可以是共4个，选D.
2.复数为纯虚数，则( )
A. i B. ﹣2i C. 2i D. ﹣i
【答案】B
【解析】
【分析】
复数为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，求出，即得.
【详解】∵为纯虚数，
∴，解得.
.
故选：.
【点睛】本题考查复数的分类，属于基础题.
3.下列四个结论中正确的个数是
（1）对于命题使得，则都有；
（2）已知，则
（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为；
（4）“”是“”的充分不必要条件.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定．
【详解】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题使得，则都有，是错误的；
（2）中，已知，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为，所以 是正确的；
（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为是正确；
（4）中，当时，可得成立，当时，只需满足，所以“”是“”成立的充分不必要条件．
【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
4.公差不为零的等差数列{an}中，a1+a2+a5=13，且a1、a2、a5成等比数列，则数列{an}的公差等于( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
设数列的公差为.由，成等比数列，列关于的方程组，即求公差.
【详解】设数列的公差为，
①.
成等比数列，②，
解①②可得.
故选：.
【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.
5.从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为，已知，则　　
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意知，，由，知，由此能求出．
【详解】由题意知，，
，解得，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．
6.如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意，可根据向量运算法则得到（1﹣m），从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值.
【详解】由题意及图，，
又，，所以，∴（1﹣m），
又t，所以，解得m，t，
故选C．
【点睛】本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题.
7.已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用二倍角公式与辅助角公式将函数的解析式化简，然后利用图象变换规律得出函数的解析式为，可得函数的值域为，结合条件，可得出、均为函数的最大值，于是得出为函数最小正周期的整数倍，由此可得出正确选项.
【详解】函数，
将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得的图象；
再把所得图象向上平移个单位，得函数的图象，易知函数的值域为.
若，则且，均为函数的最大值，
由，解得；
其中、是三角函数最高点的横坐标，
的值为函数的最小正周期的整数倍，且．故选C．
【点睛】本题考查三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题，解题的关键在于确定、均为函数的最大值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
8.数列{an}，满足对任意的n∈N+，均有an+an+1+an+2为定值.若a7=2，a9=3，a98=4，则数列{an}的前100项的和S100=( )
A. 132 B. 299 C. 68 D. 99
【答案】B
【解析】
【分析】
由为定值，可得，则是以3为周期的数列，求出，即求.
【详解】对任意的，均有为定值，
，
故，
是以3为周期的数列，
故，

.
故选：.
【点睛】本题考查周期数列求和，属于中档题.
9.在直角坐标系中，已知A（1，0），B（4，0），若直线x+my﹣1=0上存在点P，使得|PA|=2|PB|，则正实数m的最小值是( )
A. B. 3 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设点，由，得关于的方程.由题意，该方程有解，则，求出正实数m的取值范围，即求正实数m的最小值.
【详解】由题意，设点.
，
即，
整理得，
则，解得或.
.
故选：.
【点睛】本题考查直线与方程，考查平面内两点间距离公式，属于中档题.
10.三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设，，，根据向量线性运算法则可表示出和；分别求解出和，，根据向量夹角的求解方法求得，即可得所求角的余弦值.
【详解】设棱长为1，，，
由题意得：，，
，

又

即异面直线与所成角的余弦值为：
本题正确选项：
【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.
11.已知双曲线，过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支P，Q两点，以线段PQ为直径的圆过右焦点F，则双曲线离心率为　　
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求得直线的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得两点坐标的关系，根据列方程，化简后求得离心率.
【详解】设，依题意直线的方程为，代入双曲线方程并化简得，故 ，设焦点坐标为，由于以为直径的圆经过点，故，即，即，即，两边除以得，解得.故，故选B.
【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的交点，考查圆的直径有关的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.
12.已知函数在上都存在导函数，对于任意的实数都有，当时，，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果.
【详解】令，则当时，，
又，所以为偶函数，
从而等价于，
因此选B
【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.
二、填空题（共4小题）
13.已知函数f（x）=axlnx﹣bx（a，b∈R）在点（e，f（e））处的切线方程为y=3x﹣e，则a+b=_____.
【答案】0
【解析】
【分析】
由题意，列方程组可求，即求.
【详解】∵在点处的切线方程为，
，代入得①.
又②.
联立①②解得：
.
故答案为：0.
【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.
14.设Sn为数列{an}的前n项和，若an0，a1=1，且2Sn=an（an+t），n∈N*，则S10=_____.
【答案】55
【解析】
【分析】
由求出.由，可得，两式相减，可得数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即求.
【详解】由题意，当n=1时，，

当时，由，
可得，
两式相减，可得，
整理得，
，
即，
∴数列是以1为首项，1为公差等差数列，
.
故答案为：55.
【点睛】本题考查求数列的前项和，属于基础题.
15.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若∠NRF=60°，则|FR|等于_____.
【答案】2
【解析】
【分析】
由题意知：，，，.由∠NRF=60°，可得为等边三角形，MF⊥PQ，可得F为HR的中点，即求.
【详解】不妨设点P在第一象限，如图所示，连接MF，QF.

∵抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点
∴，.
∵M，N分别为PQ，PF的中点，
∴，
∵PQ垂直l于点Q，
∴PQ//OR，
∵，∠NRF=60°，
∴为等边三角形，
∴MF⊥PQ，
易知四边形和四边形都是平行四边形，
∴F为HR的中点，
∴，
故答案为：2.
【点睛】本题主要考查抛物线的定义，属于基础题.
16.已知一个四面体的每个顶点都在表面积为的球的表面上，且，，则__________．
【答案】
【解析】
由题意可得，该四面体的四个顶点位于一个长方体的四个顶点上，
设长方体的长宽高为，由题意可得：
，据此可得：，
则球的表面积：，
结合解得：.
点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.如图，在中，，的角平分线与交于点，.

（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求的面积.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）在中，由余弦定理得，由正弦定理得，可得解；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，进而得，在中，由正弦定理得，所以的面积即可得解.
试题解析：
（Ⅰ）在中，由余弦定理得
，
所以，由正弦定理得，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知.
在中， .
在中，由正弦定理得，所以.
所以的面积.
18.如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，为棱的中点，为棱上任意一点，且不与点、点重合．．

（1）求证：平面平面；
（2）是否存在点使得平面与平面所成的角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析 （2）存在，为中点
【解析】
【分析】
（1）证明面，即证明平面平面；（2）以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系．利用向量方法得，解得，所以为中点．
【详解】（1）由于为中点，．
又，故，
所以为直角三角形且，
即．
又因为面，面面，面面，
故面，
又面，所以面面．
（2）由（1）知面，又四边形为矩形，则两两垂直．
以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系．
则，设，
则，
设平面的法向量为，
则有，令，则，
则平面的一个法向量为，
同理可得平面的一个法向量为，
设平面与平面所成角为，
则由题意可得，解得，
所以点为中点．
【点睛】本题主要考查空间几何位置关系的证明，考查空间二面角的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
19.某超市在节日期间进行有奖促销，规定凡在该超市购物满400元的顾客，均可获得一次摸奖机会.摸奖规则如下：奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球（红、黄、黑、白）.顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则摸奖停止，否则就继续摸球.按规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励.
（1）求1名顾客摸球2次摸奖停止的概率；
（2）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）20.
【解析】
【分析】
（1）1名顾客摸球2次摸奖停止，说明第一次是从红球、黄球、白球中摸一球，第二次摸的是黑球，即求概率；
（2）的可能取值为：0，10，20，30，40．分别求出取各个值时的概率，即可求出分布列和数学期望.
【详解】（1）1名顾客摸球2次摸奖停止，说明第一次是从红球、黄球、白球中摸一球，第二次摸的是黑球，
所以1名顾客摸球2次摸奖停止的概率．
（2）的可能取值为：0，10，20，30，40．
,

∴随机变量X的分布列为：
X
0
10
20
30
40
P

数学期望.
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题.
20.已知椭圆，点，点满足（其中为坐标原点），点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的右焦点为，若不经过点的直线与椭圆交于两点.且与圆相切.的周长是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）（2）是，
【解析】
【分析】
（1）设,根据条件可求出的坐标，再利用在椭圆上，代入椭圆方程求出即可;
（2）设运用勾股定理和点满足椭圆方程，求出，,再利用焦半径公式表示出,进而求出周长为定值．
【详解】
(1)设,因为,
即则,即,
因为均在上,代入得,解得,所以椭圆的方程为;
(2)由(1)得,作出示意图,
设切点为,
则,
同理
即,所以,
又,
则的周长,
所以周长为定值.
【点睛】标准方程的求解,椭圆中的定值问题,考查焦半径公式的运用,考查逻辑推理能力和运算求解能力,难度较难.
21.已知函数.
（1）若对任意x0，f（x）0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2（x1x2），证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出，判断函数的单调性，求出函数的最大值，即求的范围；
（2）由（1）可知， .对分和两种情况讨论，构造函数，利用放缩法和基本不等式证明结论．
【详解】（1）由，得.
令.
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
.
对任意恒成立，.
（2）证明：由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，
.
若，则，
令

在上单调递增，，
.
又，在上单调递减，
.
若，则显然成立
综上，.
又
以上两式左右两端分别相加，得
，即，
所以.
【点睛】本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，利用导数证明不等式，属于难题.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
选修4-4：极坐标与参数方程
22.在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为；直线l的参数方程为（t为参数）.直线l与曲线C分别交于M，N两点.
（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）若点P的极坐标为，，求的值.
【答案】（1），；（2）2.
【解析】
【分析】
（1）由得，求出曲线的直角坐标方程.由直线的参数方程消去参数，即求直线的普通方程；
（2）将直线的参数方程化为标准式（为参数），代入曲线的直角坐标方程，韦达定理得，点在直线上，则，即可求出的值.
【详解】（1）由可得，
即，即，
曲线的直角坐标方程为，
由直线的参数方程（t为参数），消去得，
即直线的普通方程为.
（Ⅱ）点的直角坐标为，则点在直线上.
将直线的参数方程化为标准式（为参数），代入曲线的直角坐标方程，整理得，

直线与曲线交于两点，
，即.
设点所对应的参数分别为，
由韦达定理可得，
.
点在直线上，，
.
【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化及应用，属于中档题.
选修4-5：不等式证明选讲
23.已知.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时不等式成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
分析：(1)将代入函数解析式，求得，利用零点分段将解析式化为，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式的解集为；
(2)根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为时，分情况讨论即可求得结果.
详解：（1）当时，，即
故不等式解集为．
（2）当时成立等价于当时成立．
若，则当时；
若，的解集为，所以，故．
综上，的取值范围为．
点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.