2023届新高考数学题型全归纳之排列组合专题03 排队问题含解析.pdf

2023届新高考数学题型全归纳之排列组合专题3排队问题例1.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同 的排法共有（）A.1440 种 B.960 种 C.720 种 D.480 种例2.12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的 相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（）A.C；B.C/：C.D.例3.10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数为（）A.CX B.C.C泡 D.例4.在数字1,2,3与符号+,-五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是（）A.6 B.12 C.24 D.18例5.计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须 连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有（）A.B.团团 C.D.44例6.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若女生甲不站两端，3位男生中有且只有两位男生相邻，则不同排法的种数是（）A.360 B.288 C.216 D.96例7.公因数只有1的两个数，叫做互质数.例如：2与7互质，1与4互质.在1,2,3,4,5,6,7的任一排列名%。4%。6%中，使相邻两数都互质的不同排列方式共有（）种A.576 B.720 C.864 D.1152例8.12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人 的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）A.168 B.20160 C.840 D.560例9.2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧.为了支援南方地 区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤.某铁路货运站对8列电煤货运列车进 行编组调度，决定将这8列列车编成两组，每组4歹!J,且甲、乙两列列车不在同一小组，甲列车 第一个开出，乙列车最后一个开出.如果甲所在小组4列列车先开出，那么这8列列车先后不同1的发车顺序共有（）A.36 种 B.108 种 C.216 种 D.720 种例10.有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有（）A.如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法B.如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法C.如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法D.如果二个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1440种不同排法例11.用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有一个.（用数字作答）例12.5男4女站成一排，分别指出满足下列条件的排法种数（1）甲站正中间的排法有 种，甲不站在正中间的排法有 种.（2）甲、乙相邻的排法有 种，甲乙丙三人在一起的排法有 种.（3）甲站在乙前的排法有 种，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有 种，丙在甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有 种.（4）甲乙不站两头的排法有 种，甲不站排头，乙不站排尾的排法种有 种.（5）5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有 种.（6）女生互不相邻的排法有 种，男女相间的排法有 种.（7）甲与乙、丙都不相邻的排法有 种.（8）甲乙之间有且只有4人的排法有 种.例13.古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火,火克金将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法 有一种（结果用数值表示）.例14.从集合P,Q,R,S与0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中各任取2个元素排成一排（字母和 数字均不能重复）、每排中字母。和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是.（用数字作答）、例15.从集合。，P,Q,R,S与0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中各任取2个元素排成一排（字 母和数字均不能重复）.每排中字母O,。和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是.（用数字作 答）.例16.两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本.将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是（结果用分数表示）.2例17.三个女生和五个男生排成一排.(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？(5)甲必须在乙的右边，可有多少种不同的排法？例18.二个女生和五个男生排成一排.(1)如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？(4)如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？(5)如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法?例19.三个女生和四个男生排成一排.(1)如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，有多少种不的排法？(3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？(4)如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？(5)如果最高的站中间，两边均按从高到低排列，有多少种不同的排法?(6)如果四个男同学按从高到低排列，有多少种不同的排法？例20.现有8个人(5男3女)站成一排.(1)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？(2)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？(3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？(4)其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？(5)其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？(6)其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？(7)男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？(8)第3和第6个排男生，有多少种不同排法？(9)甲乙不能排在前3位，有多少种不同排法？3(10)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？例21.已知有7名同学排队照相：(1)若排成两排照，前排4人，后排3人，有多少种不同的排法？(2)若排成两排照，前排4人，后排3人，甲必须在前排，乙丙必须在同一排，有多少种不同的排法?(3)若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端，有多少种不同的排法？(4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，男女相间，有多少种不同的排法？(5)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，如果两端不能都排男生，有多少种不同的排法？(6)若排成一圈，有多少种不同的排法？例22.甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排拍照.(1)甲必须排在中间，有多少种不同的排法？(2)丁不能排在中间，有多少种不同的排法？(3)丙、丁必须排在两端，有多少种不同的排法？(4)甲、乙两人都不能排在首末两个位置，有多少种不同的排法？(5)甲不能站排头，乙不能站排尾，有多少种不同的排法？例23.7位同学站一排.(1)站成两排(前3后4),共有多少种不同的排法？(2)其中甲站正中间的位置，共有多少种不同的排法？(3)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(4)甲不排头，乙不排尾的排法共有多少种？(5)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？(6)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？(7)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？(8)甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有少种？(9)甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种？(10)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？(11)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？例24.6位同学站在一排照相，按下列要求，各有多少种不同排法？甲、乙必须站在排头或排尾甲、乙.丙三人相邻4甲、乙、丙三人互不相邻 甲不在排头，乙不在排尾 若其中甲不站在左端，也不与乙相邻.例25.(1)一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻2人之间至少有2个空椅子，共有几种不同的坐法？(2)一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有多少种不同的坐法？例26.6个人坐在一排10个座位上，问(1)空位不相邻的坐法有多少种？(2)4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？(3)4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？专题3排队问题例1.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不 同的排法共有()A.1440 种 B.960 种 C.720 种 D.480 种【解析】可分3步.第一步，排两端，从5名志愿者中选2名有4=20种排法，第二步，位老人相邻，把2个老人看成整体，与剩下的3名志愿者全排列，有团=24种排法第三步，2名老人之间的排列，有团=2种排法最后，三步方法数相乘，共有20 x24x2=960种排法 故选：B.例2.12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的 相对顺序不变，则不同调整方法的总数是()A.C14 B.C；成 C.CM D.【解析】从后排8人中选2人共C；种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；余下的一人则要插入前排5人的空挡，有6种插法,5为故选：C.例3.10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数为（）A.C琵 B.C浦 C.C满 D.团【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，首先从后排的7人中选出2人，有C；种结果，再把两个人在5个位置中选2个位置进行排列有，不同的调整方法有C；7，故选：B.例4.在数字1,2,3与符号+,-五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是（）A.6 B.12 C.24 D.18【解析】在数字1,2,3与符号“+“-”五个元素的所有全排列中，先排列1,2,3,有a=6种排法，再将“+“一”两个符号插入，有用=2种方法，共有12种方法，故选：B.例5.计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有（）A.B.AlAAf C.D.444【解析】先把每种品种的画看成一个整体，而水彩画只能放在中间，则油画与国画放在两端有用种放法，再考虑4幅油画本身排放有力:种方法，65幅国画本身排放有耳种方法，故不同的陈列法有团团种，故选：D.例6.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若女生甲不站两端，3位男生中有且只有两位男生相邻，则不同排法的种数是（）A.360 B.288 C.216 D.96【解析】先考虑3位男生中有且只有两位相邻的排列共有。；用44；=432种，在3男生中有且仅有两位相邻且女生甲在两端的排列有团=144种，不同的排列方法共有432-144=288种故选：B.例7.公因数只有1的两个数，叫做互质数.例如：2与7互质，1与4互质.在1,2,3,4,5,6,7的任一排列中，使相邻两数都互质的不同排列方式共有（）种.A.576 B.720 C.864 D.1152【解析】根据题意，先排1、5、7,有W=6种情况，排好后有4个空位，对于2、4、6和3这四个数，分两种情况讨论：3不在2、4中间，可先将2、4、6排在4个空位中，有用=24种情况，3不能放在6的两边，有5种排法，则此时有24x5=120种不同的排法，3在2、4之间，将这三个数看成整体，有2种情况，与6 一起排在4个空位中，有m=12种情况，则此时有2x12=24种不同的排法，则2、4、6和3这四个数共有120+24=144种排法；则使相邻两数都互质的不同排列方式共有6 x 144=864种；故选：C.例8.12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）A.168 B.20160 C.840 D.5607【解析】从后排8人中选2人共种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；余下的一人则要插入前排5人的空挡，有6种插法，6x5则不同调整方法的种数是=840.故选：C.例9.2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧.为了支援南方地区抗灾 救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤.某铁路货运站对8列电煤货运列车进行编组调度，决 定将这8列列车编成两组，每组4歹!J,且甲、乙两列列车不在同一小组，甲列车第一个开出，乙列车最后 一个开出.如果甲所在小组4列列车先开出，那么这8列列车先后不同的发车顺序共有（）A.36 种 B.108 种 C.216 种 D.720 种【解析】由于甲、乙两列列车不在同一小组，因此，先将剩下的6人平均分组有C；C；,再将两组分别按要求排序，各有H种，因此，这8列列车先后不同的发车顺序共有C；C；用吊=720种.故选：Q.例10.有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有（）A.如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法B.如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法C.如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法D.如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1440种不同排法【解析】4中/：/：=576,B 中 44=720,C 中 4（4+3丑）=1440,Z）中团 W=1440.综上可得：CQ正确.8故选：CQ.例11.用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有576个.(用数字作答)【解析】首先把1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻当做三个元素进行排列有力；种结果，这三个元素形成四个空，把7和8在这四个位置排列有团种结果，三对相邻的元素内部各还有一个排列4,根据分步计数原理得到这种数字的总数有片/工片=576,故答案为:576.例12.5男4女站成一排，分别指出满足下列条件的排法种数(1)甲站正中间的排法有8!种,甲不站在正中间的排法有 种.(2)甲、乙相邻的排法有 种，甲乙丙三人在一起的排法有 种.(3)甲站在乙前的排法有 种，甲站在乙前，乙站在丙前(不要求一定相邻)的排法有 种，丙在甲乙之间(不要求一定相邻)的排法有 种.(4)甲乙不站两头的排法有 种，甲不站排头，乙不站排尾的排法种有 种.(5)5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有 种.(6)女生互不相邻的排法有 种，男女相间的排法有 种.(7)甲与乙、丙都不相邻的排法有 种.(8)甲乙之间有且只有4人的排法有 种.【解析】(1)甲站正中间的排法有8!,甲不站在正中间的排法有8x8!；(2)甲、乙相邻的排法有2x8!,甲乙丙三人在一起的排法有6x7!；(3)甲站在乙前的排法有!,甲站在乙前，乙站在丙前(不要求一定相邻)的排法有9!,丙在甲乙之 2 6间(不要求一定相邻)的排法有工9!；3(4)甲乙不站两头的排法有团团；甲不站排头，乙不站排尾的排法有9!-2x8!+7!；(5)5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有2x5!x4!；(6)女生互不相邻的排法有5!xM；男女相间的排法有5!x4!；(7)甲与乙、丙都不相邻的排法有9!-2x8!x2+2x7!；9(8)甲乙之间有且只有4人的排法，捆绑法.2xx4 1.故答案为：(1)8!,8x8!(2)2x8!,6x7!(3)-9!,-9!,-9!；2 6 3(4)禺4；9!-2x8!+7!；(5)2x5!x4!；(6)5!x4，5!x4!x2(7)9!-2x8!x2+2x7!;(8)2x4；x4!.例13.古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火,火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法 有10种(结果用数值表示).【解析】由题意，可看作五个位置排列五种事物，第一位置有五种排列方法，不妨假设排上的是金，则第二步只能从土与水两者中选一种排放，故有两种选择不妨假设排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故总的排列方法种数有5x2x1x1x1=10故答案为10例14.从集合P,Q,R,S与0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中各任取2个元素排成一排(字母和 数字均不能重复)、每排中字母0和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是5832.(用数字作答)、【解析】各任取2个元素排成一排(字母和数字 均不能重复)，共有。：品团；每排中字母。和数 字o都出现有符合题意不同排法种数是 团=5832.故答案为：5832例15.从集合O,P,Q,R,S与0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中各任取2个元素排成一排(字 母和数字均不能重复).每排中字母。，0和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是8424.(用数 字作答).【解析】由题意知每排中字母O,。和数字0至多只能出现一个，本题可以分类来解(1)这三个元素只选。，有C；C；4=3x36x24(2)这三个元素只选。同理有3x36x2410(3)这三个元素只选0有C；C；4：=3x9x24(4)这三个元素。0 0都不选 有工=3x36x24根据分类计数原理将(1)(2)(3)(4)加起来3x36x24+3x36x24+3x9x24+3x36x24=8424故答案为：8424例16.两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本.将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是(结果用分数表示).35【解析】由题意知本题是一个古典概型，总事件数是8本书全排列有吊种方法，而符合条件的事件数要分为二步完成：首先两套中任取一套，作全排列，有种方法；剩下的一套全排列，有团种方法；.概率为：。叫蜀履 35故答案为：.35例17.三个女生和五个男生排成一排.(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？(5)甲必须在乙的右边，可有多少种不同的排法？【解析】(1)因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共 有六个元素，排成一排有父种不同排法.对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有力；种不同的排 法，因此共有屋4；=4 320种不同的排法.(2)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位,加上两端两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位 置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻.由于五个男生排成一排有耳种不同的排法，对11于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有耳种方法，因此共有6年=14400种不同的排法.(3)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有4种排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有种排法，所以共有丁 染=14 400种不同的排法.(4)三个女生和五个男生排成一排有履种排法，从中扣去两端都是女生的排法团用种，就能得到两端不都是女生的排法种数，因此共有怎-用=36 000种不同的排法.(5)甲必须在乙的右边即为所有排列的)，因此共有4与=20 160种不同的排法.例18.三个女生和五个男生排成一排.(1)如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？(4)如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？(5)如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法?【解析】(1)女须全排在一起，把3个女生捆绑在一起看做一个复合元素，再和5个男生全排,故有4沾=4320种；(2)女生必须全分开，先排男生形成了 6个空中，插入3名女生，故有=14400种;(3)两端都不能排女生，从男生中选2人排在两端，其余的全排，故有用吊=14400种；(4)男生按固定顺序，从8个位置中，任意排3个女生，其余的5个位置男生按照固定顺序排列，故有吊=336种，(5)三个女生站在前排，五个男生站在后排，用/=720种例19.三个女生和四个男生排成一排.(1)如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，有多少种不的排法？(3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？(4)如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？12(5)如果最高的站中间，两边均按从高到低排列，有多少种不同的排法？(6)如果四个男同学按从高到低排列，有多少种不同的排法？【解析】(1)根据题意，用捆绑法，3名女生看为一个整体，考虑其顺序有耳种情况，再将其与4名男生进行全排列，有力；种情况，则共有&xZ；=720种排法；(2)用插空法，先将4名男生全排列，有用种情况，排好后，有5个空位，在其中任选3个，安排3名女生，有另种情况，则共有团W=1440种排法；(3)在4名男生中任取2人，安排在两端，有2C：种情况，再将剩余的5人安排在中间的5个位置，有用种情况，则共有2C：x=1440种排法；(4)用排除法，7人进行全排列，有用种排法，两端都站女生，即先在3名女生中任取2人，再将剩余的5人安排在其他5个位置，有彳6种站法,则共有H-年=4320种排法；(5)只需将最高的人放在中间，在剩余的6人中任取3人放在左边，其他的3人放在右边，由于顺序固定，则左右两边只有一种排法，则有点=20种排法；(6)先在7个位置中安排3名女生，有团种排法，剩余4个位置安排4名男生，有2种情况，则有2吊=420种排法.例20.现有8个人(5男3女)站成一排.(1)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法?(2)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？13(3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？(4)其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？(5)其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？(6)其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？(7)男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？(8)第3和第6个排男生，有多少种不同排法？(9)甲乙不能排在前3位，有多少种不同排法？(10)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？【解析】(1)根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有W种情况,将这个整体与5名男生全排列，有种情况，则女生必须排在一起的排法有44种；(2)根据题意，甲必须站在排头，有2种情况，将剩下的7人全排列，有4种情况，则甲必须站在排头有2居种排法；(3)根据题意，将甲乙两人安排在中间6个位置，有种情况，将剩下的6人全排列，有4种情况，则甲、乙两人不能排在两端有用种排法；(4)根据题意，先将出甲乙之外的6人全排列，有用种情况，排好后有7个空位，则7个空位中，任选2个，安排甲乙二人，有4；种情况，则甲、乙两人不相邻有吊用种排法；(5)根据题意，将8人全排列，有苗种情况，其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同，则甲在乙的左边有屋种不同的排法；2&(6)根据题意，先将出甲乙丙之外的5人全排列，有用种情况，排好后有6个空位,14则6个空位中，任选3个，安排甲乙丙三人，有4种情况,其中甲乙丙不能彼此相邻有种不同排法；(7)根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有W种情况，再将5名男生看成一个整体，考虑5人之间的顺序，有耳种情况，将男生、女生整体全排列，有团种情况，则男生在一起，女生也在一起，有种不同排法；(8)根据题意，在5个男生中任选2个，安排在第3和第6个位置，有种情况，将剩下的6人全排列，有苗种情况，则第3和第6个排男生，有屋种不同排法；(9)根据题意，将甲乙两人安排在后面的5个位置，有种情况，将剩下的6人全排列，有苗种情况，甲乙不能排在前3位，有用种不同排法？(10)根据题意，将5名男生全排列，有耳种情况，排好后除去2端有4个空位可选，在4个空位中任选3个，安排3名女生，有另种情况，则女生两旁必须有男生，有耳种不同排法.例21.已知有7名同学排队照相：(1)若排成两排照，前排4人，后排3人，有多少种不同的排法？(2)若排成两排照，前排4人，后排3人，甲必须在前排，乙丙必须在同一排，有多少种不同的排法?(3)若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端，有多少种不同的排法？(4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，男女相间，有多少种不同的排法？(5)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，如果两端不能都排男生，有多少种不同的排法？(6)若排成一圈，有多少种不同的排法？【解析】有7名同学排队照相：(1)若徘成两排照，前徘4人，后排3人，有团闻=5040种方法.15(2)若徘成两排照，前排4人，后排3人，甲必须在前排，乙丙必须在同一排，若乙、丙在前排，则从除了甲、乙、丙外的4人中再选一人放到前排，其余的在后排，方法有团闻=576种，若乙、丙在后排，从除了甲、乙、丙外的4人中再选一人放到后排，其余的人在前排，方法有/；WW=576种，故共有576+576=1152种方法.(3)若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端，则采用插空法，将其余的5人排好，5人中间有4个空，把甲乙当做一个整体插入，方法有8/；=960种.(4)若徘成一排照，7人中有4名男生，3名女生，男女相间，先排4名男生，4名男生中间有3个空,插入3名女生，有HH=144种的排法.(5)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，如果两端不能都排男生，若两端都是男生，方法有团&=1440种，而所有的方法有H=5040种，故两端不能都排男生的排法有5040-1440=3600种.(6)若排成一圈，即弯曲排成一排，有啰=720种不同的排法.7例22.甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排拍照.(1)甲必须排在中间，有多少种不同的排法？(2)丁不能排在中间，有多少种不同的排法？(3)丙、丁必须排在两端，有多少种不同的排法？(4)甲、乙两人都不能排在首末两个位置，有多少种不同的排法？(5)甲不能站排头，乙不能站排尾，有多少种不同的排法？【解析】(1)甲排中间，其他任意排列，有=24种；(2)丁不能排在中间，先排丁有C；=4种排法，然后其他任意排有父=24种，所以丁不能排在中间共有4x24=96种；(3)丙、丁必须排在两端：先排丙丁有耳=2,其他任意排列有种,16所以丙、丁必须排在两端共有2x6=12种;(4)甲、乙两人都不能排在首末两个位置有，先排甲乙有4；=6种，其他任意排列有H=6种,所以甲、乙两人都不能排在首末两个位置共有6 x 6=36种；(5)甲不能站排头，乙不能站排尾，分为两类，甲在排尾，其他任意排列有m=24种，甲不在排尾，甲有=3种，然后乙有=3种，其他任意排列有闻=6种，所以甲不能站排头，乙不能站排尾共有24+3x3x6=78种.例23.7位同学站一排.(1)站成两排(前3后4),共有多少种不同的排法？(2)其中甲站正中间的位置，共有多少种不同的排法？(3)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(4)甲不排头，乙不排尾的排法共有多少种？(5)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？(6)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？(7)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？(8)甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有少种？(9)甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种？(10)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？(11)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？【解析】7位同学站一排,17(1)站成两排(前3后4),共有多少种不同的排法，此没有限制条件是全排列问题，故排法种数是种；(2)其中甲站正中间的位置，共有多少种不同的排法，此问题是甲定位置的排法，相当于六个元素全排，故排法种数是屋种；(3)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种，此问题分两步解决，先排甲乙两人，再排其余五人，故排法 种数是用8种；(4)甲不排头，乙不排尾的排法共有多少种，可由乙在排头与不在排头两种情况解答，乙在排头时有种，乙不排头，先排乙，有5种排法，再排第一位，有5种排法，其他五人全排列，故总的排法种数是5x5x6；(5)甲、乙两同学必须相邻的排法，可先将甲乙两人绑定，共用种，将其看作一个元素与另五个元素全排 列，有屋种，故共有团建种；(6)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法计数，可先将甲乙两人绑定，共种，将 其看作一个元素与除丙外四个元素全排列，再将丙插入它们隔开的空档中，共有用力；种；(7)甲、乙两同学不能相邻的排法可先将甲乙两人之外的五人全排列，再将两人插入隔开的六个空中，共有Z；x4种；(8)甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法计数，可先将甲乙丙外的四个人进行全排列，再将三人分别插 入隔开的五个空档中，故共有种；(9)甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种，可通过排除法计数，从七人的全排列数中减去三人 相邻的排法种数，共有闻-4；8种；(10)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种的计数，可先将甲乙绑定，然后看作一个元素将之与丙分别 插入另外四个元素隔开的空档中，故共有团团7种？(11)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种的计数，可这样考虑，甲在乙左与甲在乙右种数是一样的，所以共有工种排法.2 7例24.6位同学站在一排照相，按下列要求，各有多少种不同排法?甲、乙必须站在排头或排尾18甲、乙.丙三人相邻甲、乙、丙三人互不相邻甲不在排头，乙不在排尾若其中甲不站在左端，也不与乙相邻.【解析】甲、乙必须站在排头或排尾，则有团耳=48种不同排法；甲、乙、丙三人相邻，则有/4；=144种不同排法；甲、乙、丙三人互不相邻，则有耳=144种不同排法；甲不在排头，乙不在排尾，则有屋-26+团=264种不同排法；6个人站成一排，有耳种，甲在左端的有种，甲和乙相邻的有种，甲既在左端也和乙相邻的有Z：，所以甲不在左端也不和乙相邻，则不同的排法共有父-用-&/+/：=384种.例25.（1）一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻2人之间至少有2个空椅子，共有几种不同的坐法？（2）一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有多少种不同的坐法？【解析】（1）先将3人（用x表示）与4张空椅子（用口表示）排列如图（xDLlxLlLlx）,这时共占据了 7张椅子，还有2张空椅子，第一种情况是分别插入两个空位，如图中箭头所示（义口 iClxL即从4个空当中选2个插入，有C；种插法；二是2张插入同一个空位，有。:种插法，再考虑3人可交换有4种方法，所以，共有4；（C：+C；）=60（种）.（2）可先让4人坐在4个位置上，有团种排法，再让2个“元素”（一个是“两个相邻空位”，另一个“单独的空位”）插入4个人形成的5个“空当”之间，有4种插法，所以所求的坐法数为团=480.例26.6个人坐在一排10个座位上，问19(1)空位不相邻的坐法有多少种？(2)4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？(3)4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？【解析】6个人排有种，6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位.(1)空位不相邻相当于将4个空位安插在上述个“间隔”中，有=35种插法，故空位不相邻的坐法有=25200种.(2)将相邻的3个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，往7个“间隔”里插 有团种插法，故4个空位中只有3个相邻的坐法有团=30240种.(3)4个空位至多有2个相邻的情况有三类：4个空位各不相邻有G种坐法；4个空位2个相邻，另有2个不相邻有种坐法；4个空位分两组，每组都有2个相邻，有种坐法.综合上述，应有耳(C；+C；C；+)=115920种坐法.20