创意平板折叠桌数学建模竞赛获奖.doc

创意平板折叠桌摘 要 本文围绕着平板折叠桌的最优加工参数问题，设计了不同的模型和算法。主要利用几何分析和空间向量运算，运用MATLAB软件，模拟了折叠桌的动态变化过程，求解出了给定条件下的加工参数，并给出了桌脚边缘线的数学描述。问题一，折叠桌的圆形桌面存在外截和内截两种不同的截法。经计算得到：圆形桌面的最外侧桌腿长度，因此排出外截法，并记录了内截法下桌面内各木条的长度。分析了桌腿木条开槽产生的机理（见图5），并由勾股定理求出了桌子在收纳和展开两种状态下，钢筋所处的位置（槽线纵坐标），得出了桌腿木条开槽长度等于两个状态下钢筋的位置之差。利用MATLAB软件求解出了桌腿长度、桌腿倾角、斜边等各加工参数（见表1）及桌腿末端点的空间坐标（见表2），模拟出了折叠桌的动态变化过程（见图7，程序见附录1）。问题二，从稳固性、加工方便、用材最少三个方面考虑。首先分析切割与和开槽的总费用，求出当其最小时，木条的最优宽度。然后对桌子受力分析得到：当桌腿水平方向总的合力为零时，折叠桌的稳固性最好。设比例系数为钢筋位于在最外侧桌腿处的长度与最外侧桌腿长度之比，求解与各加工参数的关系。根据木板长度与的关系，求出当时，木板长度最小，木板尺寸为，此时桌子的耗材最少。最后利用MATLAB软件模拟此桌子从平铺状态运动到稳定状态的变化过程。问题三，在空间坐标系中，首先根据用户要求，建立了最接近客户所期望形状的数学描述模型，求出了任意尺寸平板的桌腿木条长度与平板长度和钢筋到圆心距离的函数关系。根据空间三维向量的运算关系，推出了桌角边缘线与钢筋到桌面的距离和钢筋到桌腿末端距离的参数方程，并以该参数方程为桥梁，在满足客户的要求前提下，以产品的稳固性、加工方便、用材最少为目的，求出平板折叠桌的尺寸。在该模型下，本文设计出了心形的折叠桌，并给出了10张动态变化示意图。关键词：折叠桌 最优加工参数 动态变化 桌脚边缘线 开槽长度1、 问题重述某公司发明了一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。建立数学模型讨论以下问题：1. 假设给定长方形平板尺寸为120 cm 50 cm 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。试建立模型模拟此折叠桌的动态变化过程，并给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线的数学描述。2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。3. 建立数学模型，使得该模型可以根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。并根据所建立的模型设计几个创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，并画出至少8张动态变化过程的示意图。2、 问题分析2.1背景介绍折叠结构是近年来应用越来越广泛的一种可展开结构形式。折叠结构具有位形的不确定性，它可以由一种紧密的收缩状态逐步转变为完全展开的结构体系1。从结构特性上，折叠结构可以分为柔性折叠结构和刚性折叠结构。对柔性折叠结构的研究主要有程涵等人2，采用单元坐标空间转换方法建立了降落伞直接折叠模型。本题的研究对象创意平板折叠桌是刚性折叠结构。解文静等人3分析了在不同领域，按照不同标准可展结构的划分，如从概念上将其分为折叠结构（foldable structure）、充气结构及索膜结构(inflatable structure & cablemembrane structure)、张拉整体结构(tensegrity structure)及开合结构(retractable structure)四大类，而按展开机理又可以分为剪式单元结构，单元在弹簧或电机的驱动下伸长缩，可展材料在外力作用下展，及刚性板单元折叠重合在节点的作用下展开或者刚性板单元旋转展开（如可开合结构等）。折叠结构形形色色，种类繁多，但现阶段应用最广的是剪式结构，因此，对剪式可展结构的研究较多，如文献45，而对可开合结构等的研究较少。可开合结构中，Rising Side Table是Rising系列的最新作品6。经过之前的设计实践，这件作品更注重于表达木制品的优雅和设计师所想要强调的自动化与功能性。分析折叠桌的加工参数可以为设计师提供最优加工方案。2.2问题分析本题是分析创意平板折叠桌加工参数问题，问题一至问题三，是由特殊到一般的过程。问题一是针对给定长方形平板尺寸及桌子高度等信息情况下，模拟折叠桌的动态变化过程，并给出加工参数。首先，圆形桌面的截法分为外截和內截两种，不同的截法，得到的加工参数不同，因此，可以根据截取的约束条件，选出正确的桌面截取方案。桌子有两个极端状态，收纳状态（初始水平状态）和展开状态（稳定状态），桌腿木条开槽长度应为两个状态下钢筋的位置之差。然后，根据各桌腿长度与倾角可以求出桌腿末端点的空间坐标。利用MATLAB软件求解出桌腿长度、桌腿倾角、斜边等各加工参数，并可以模拟出桌子的动态变化过程。问题二是对任意给定的折叠桌高度和圆形桌面的直径，分析最优设计加工参数。可以从桌子的稳固性和加工费用两方面考虑。由于加工费用主要由切割费用和开槽费用组成，因此，先将总加工成本分解为切割费用与开槽费用之和，再分析取得最低成本情况；对桌子受力分析，可以得到最优稳定状态条件。在最低成本和最优稳定状态基础之上，得到的加工参数即为最优加工参数。问题三是建立模型，可以根据顾客要求确定加工参数。在空间坐标系中，由转动中心的坐标可以表示桌腿木条的长度。通过空间三维的向量运算关系可以推出桌角边缘线的参数方程。根据参数方程，对客户任意设定的折叠桌高度、桌脚边缘线的形状等要求，可以求解出最优加工参数。3、 模型假设1.假设平板折叠桌都是用木制的，除了钢筋之外；2.假设木制各处都是均匀的；3.假设加工完美，使得各个桌腿木条都是直线，不存在弯曲的情况；4.假设钢筋的韧性良好；5.在计算最优木条宽度时，假设木条的最佳宽度为：6.假设木条之间的接缝很小，相对于木板的宽度可以忽略，且加工过程中木条宽度也不减小；7.假设木条间、木条与钢筋间、木条与桌面之间接触面光滑，或摩擦力可以忽略不计，使木条能自由移动。4、 模型建立与求解折叠结构是近年来应用越来越广泛的一种可展开结构形式。折叠结构具有位形的不确定性，它可以由一种紧密的收缩状态逐步转变为完全展开的结构体系1。为了合理使用材料，增大有效使用面积，有必要对折叠桌的加工参数进行分析，并对其变化过程进行计算机仿真模拟，建立数学模型，以便更好地进行折叠桌设计，从而为创意平板折叠桌设计提供更好的办法。4.1问题一的模型建立4.1.1模型准备1.桌面的两种截法平板折叠桌的圆形桌面是从矩形木板上截取而得的，据分析可知，圆形桌面有外截和内截两种不同的截法，如下图1和图2所示。图1：圆形桌面外截示意图（） （）图2：圆形桌面内截示意图将木条按由左到右的顺序，从1到20进行编号，该编号也是桌腿的编号（一组桌腿），图1和图2中的点O是圆形桌面的圆心。如上图1所示，外截法的圆形桌面与木条1和20是相切的。左边：设桌面与木条2的两个交点分别为、C，分别过、C点作木条1的垂线，则该垂线即为1号木条的截痕，即桌面与桌腿1铰链的位置，依次过桌面与木条3的交点作木条2的垂线，直至第10号木板，各个垂线即为木条的截痕。右边从20号木条依次向左直至10号木条，即分别从左右两边进行。图2中，2(b)是2(a)中圆形桌面与矩形相交处的放大图。内截法的圆形桌面与木条同样有两个不同交点、，分别过、两点作木条的垂线，该垂线就是1号木条的截痕，即为内截法的桌面与桌腿1铰链的位置，同理，分别过木条2与桌面的两个交点作木条3的垂线，该垂线即为桌面与桌腿2铰链的位置，依次截到第10号木条为止。同理，20号木条向左截，直至10号木条为止。 2.方案选取为了判断两种不同圆桌面截法的正确性，本文根据已知条件，设定了桌面截取的约束条件：已知折叠后桌子的高度为53cm，长方形平板的厚度为3cm。因此，长方形平板完全展开成折叠桌后的实际高度应为，而最外侧的桌腿即1号（或20号）桌腿的长度应满足不等式条件：。（1）外截法（图1）：圆桌面的半径等于长方形宽的一半，即，圆心O到第一根木条的距离等于圆半径减去木条的宽，即，则在直角三角形中，由勾股定理得：则大小为长方形平板长的一半减去的值，即这说明，外截法中最外侧桌腿即桌腿1（或桌腿20）的长度比折叠桌的高度小，不满足圆形桌面截法的约束条件。因此，外截法不合理，不予考虑。（2）内截法（如图2所示）：由于桌面圆心到矩形各边的距离（如）相等，且等于矩形宽的一半（25cm），即；与相等等于圆桌面的半径（设为），即。则在直角三角形中：则，同时的值即为一根木条的宽，即可得出。因此，内截法中桌腿1的长度是长方形平板长度的一半减去木条1在圆形桌面内长度的一半（即AB的长），即。可得出，内截法满足圆形桌面截法的约束条件，即该方法是合理的。同时，我们记录了内截法下，圆形桌面内各木条的长度，如下图3所示：图3：桌面木条长度示意图在直角三角形中，由勾股定理得：即圆形桌面的半径为。可推出，与对称，计算公式相同，同理可得到另一组的值。则由勾股定理可得圆形桌面木条的长度计算公式：4.1.2桌腿木条开槽的长度1.桌腿开槽产生机理由文献4可知，进行折叠桌分析时一般需要考虑两个方面的因素：首先应分析折叠桌从收纳到展开的全过程，另一方面就是要研究折叠桌在展开后承受荷载时的受力情况。本题先研究折叠桌从收纳状态（水平状态）到展开的全过程，该过程是一个动态变化过程。长方形平板展开成折叠桌的动态变化过程中，各个桌腿是以桌腿与桌面铰链处为转动中心旋转的，如下图4所示：图4：桌腿转动中心示意图在图4中，红色线部分即为各桌腿与桌面铰链的位置，点A、点B即为桌腿1（20）和桌腿2（19）的转动中心,点D是钢筋所在位置。桌腿在转动的过程中要求桌腿木条有空槽，以保证钢筋滑动的自由度，原理如图5所示。图5：桌腿木条开槽产生机理示意图上图是折叠桌在某转动时刻，最外侧比邻的两根木条（即1、2号木条或20、19号木条）空间状态投影到木条1所在平面的平面图（侧面）。其中：是桌腿1（20）的转动轴，是桌腿2（19）从钢筋位置到其转动中心的距离在该平面（桌腿1所在平面）的投影，为的运动轨迹。当（桌腿1或20）转动到位置时，（桌腿2或19）运动到位置，则桌腿2（19）的点变化到点。在此变化过程中，钢筋在桌腿2（19）上的位置由点转移到点。要保证桌腿1（20）和桌腿2（19）能同时从点转动到点，则必须要使桌腿2（19）上的开槽长度至少为。2.桌腿木条开槽长度长方形平板处于在水平面（即桌子处于收纳状态），钢筋位于最外侧木条（即1（20）号木条）的中点位置，同时也应位于所有木条的中点位置。当桌腿开始移动时，钢筋在桌腿空槽范围内移动。图6是折叠桌处于展开（稳定）状态的平面投影图，取水平面为平面直角坐标系，以最外侧木条（即1号/20号木条）在圆形桌面内的中点为原点O（以1（20）号和2（19）号桌腿为例）。图6：开槽位置求解示意图在图中：是原点O到桌面边缘上1（20）号木条（最外侧木条）的距离，即圆形桌面内木条1（20）长度的一半，即；是原点O到桌面边缘上2（19）号木条的距离，即圆形桌面内木条2（19）长度的一半，即，点是钢筋所在位置。则，是钢筋到水平面的距离，等于桌子高度的一半，即；是最外侧桌腿（1号/20号桌腿）上钢筋距离其转动中心的长度，等于1（20）号桌腿长度的一半，即。由于钢筋固定在最外侧木条的点D处，因此，桌子处于收纳状态时，钢筋的位置（槽线始端纵坐标）为：，桌子处于展开状态（图6）时，钢筋的位置（槽线末端纵坐标）为：在直角三角形中，由勾股定理得：同理，在直角三角形中，由勾股定理得：因此，钢筋可移动范围（即滑动的自由度），就是钢筋展开状态时的位置与收纳状态的位置之差，即桌腿木条开槽长度应为：。其他桌腿木条的开槽长度同理可得。然后根据各桌腿长度与倾角可以求出桌腿末端点的空间坐标。本文采用MATLAB软件进行求解，同时模拟出了折叠桌的动态变化过程如下图7所示（程序见附录1），加工参数结果见下表1。(a)：运动中 (b)：稳定后图7：折叠桌动态变化过程示意图上图中，7（a）是折叠桌在运动中的形状，7(b)是折叠桌稳定后的形状，红色弧线所在平面时折叠桌在水平方向的投影。表1：加工参数表木条编号123456789101/2桌面木条长度/cm2.50 11.18 15.21 18.03 20.16 21.79 23.05 23.98 24.62 25.00 桌腿长度/cm57.50 48.82 44.79 41.97 39.84 38.21 36.95 36.02 35.38 35.00 桌腿倾角/rad1.05 1.35 1.51 1.62 1.71 1.77 1.82 1.85 1.88 1.89 斜边/cm28.75 25.60 25.04 25.04 25.24 25.51 25.79 26.04 26.23 26.34 槽线始端纵坐标/cm31.25 31.25 31.25 31.25 31.25 31.25 31.25 31.25 31.25 31.25 槽线末端纵坐标/cm31.25 36.78 40.25 43.06 45.39 47.31 48.84 50.02 50.85 51.34 开槽长度/cm0.00 5.53 9.00 11.81 14.14 16.06 17.59 18.77 19.60 20.09 其中，斜边是展开状态下，桌腿上钢筋位置到其转动中心的距离。上表1是左（右）半边木板的加工参数，右（左）半边的加工参数由对称性质可得。3.桌腿边缘线在用MATLAB软件求解加工参数，并模拟的过程中，我们记录了基于各桌腿长度与倾角求出的桌腿末端点的空间坐标，1到10号桌腿空间坐标结果如下表2所示（详见附录2）。表2：1到10号桌腿边缘线的坐标描述桌腿编号12345678910X轴坐标-25-22.5-20-17.5-15-12.5-10-7.5-5-2.5Y轴坐标30.89 21.70 17.87 15.80 14.70 14.16 13.95 13.91 13.93 13.97 Z轴坐标50.00 47.67 44.71 41.91 39.47 37.44 35.81 34.58 33.72 33.22 4.2问题二的模型建立4.2.1折叠桌设计方案的成本分析设长方形平板的尺寸为（单位：cm），其中。图8：长方形平板示意图假设平板被切割成根木条（即有根桌腿）。则需要切割次，切割的总长度为，每根木条的宽为。设每切割的费用为。随着逐渐增大，开槽的成本也在逐渐增大，且增加的速度很快。因此，设开槽的总费用为：，其中为任意常数。则折叠桌加工的总成本为：其中：为常数，为自变量，是因变量。即随变动而变动。等式两边同时对求导得到，取其为0，即得到，由导数性质可知此时的加工总成本最低。则每根木条的宽为：，即每根木条的宽为常数。假设最合适的木条宽度为。因此，对于任意给定圆形桌面直径，和最合适的木条宽度，按照问题一中的内截法切割桌腿，可以唯一确定桌腿切割的长度。4.2.2折叠桌设计方案的受力分析据分析，要使折叠桌的稳固性好，则必须要使桌腿水平方向总的合力为零。若水平方向桌腿总的合力向外，则折叠桌会外滑；若水平方向桌腿总的合力向内，则桌腿的荷载过大，导致桌腿断裂。因此，水平方向桌腿总的合力向外是最优状态。设最外侧桌腿的长度为（单位：cm），钢筋在最外侧桌腿固定处到该桌腿转动中心的长度为（单位：cm），如图9所示，定义。图9：桌腿在平面的投影示意图图9是桌子处于展开状态，桌腿水平方向总的合力为零时各桌腿在最外侧桌腿平面的投影侧视图。桌子实际高度，为钢筋到水平面的距离，设，为最外侧桌腿的倾角。为第根木条的横坐标（以圆形桌面圆心为原点）。设点的横坐标为。由桌腿水平方向总的合力为零可得：利用MATLAB软件进行求解得到任意值对应的值，如下图10所示（程序详见附录3）。图10：值与值的关系曲线图4.2.3加工参数确定由于任意一个均可对应唯一的值，根据问题一的模型，可以得到任意一个对应的加工参数。利用MATLAB软件求解得到以下两组关系（见图11）（程序详见附录3）：. 任意一个对应的长方形平板长度的一半；. 任意一个对应的处于正中间位置桌腿槽线末端的纵坐标。图11：与和的关系示意图其中：横坐标为，是长方形平板长度的一半，是正中间位置桌腿槽线末端的纵坐标。由于，因此，即的取值范围为：。当时，折叠桌的稳固性最好、加工最方便同时用材最少，且此状态下，桌子的动态变化如图12所示（详见附录3），最优加工参数见表3。 (a) (b)图12：最优状态桌子的动态示意图上图是折叠桌的稳固性最好、加工最方便同时用材最少最优状态下，桌子的动态变化过程，(a)在先，(b)在后。此时木板的尺寸为：。表3：时的加工参数编号12345678桌面木板半长度2.50 14.14 19.53 23.45 26.58 29.15 31.32 33.17 开槽线始端55.67 55.67 55.67 55.67 55.67 55.67 55.67 55.67 开槽线末端55.67 61.41 64.82 67.67 70.17 72.40 74.39 76.17 开槽线长度0.00 5.74 9.16 12.01 14.51 16.74 18.73 20.50 编号910111213141516桌面木板半长度34.73 36.06 37.17 38.08 38.81 39.37 39.76 40.00 开槽线始端55.67 55.67 55.67 55.67 55.67 55.67 55.67 55.67 开槽线末端77.74 79.12 80.30 81.29 82.11 82.73 83.18 83.45 开槽线长度22.08 23.45 24.63 25.63 26.44 27.07 27.52 27.78 4.3问题三的模型建立4.3.1坐标系的建立建立一个三维坐标系，如下图13所示。图13：空间三维坐标图4.3.2桌腿木条的长度设长方形平板的的尺寸的（单位：cm），设折叠桌的桌面的边缘线对应的函数为：。则第根桌腿的转动中心的坐标表示为：其中代表桌腿木条的条数，则，代表地第条桌腿，是桌面圆的半径，单位：cm，是木条的宽度单位：cm。则第根桌腿木条的长度为：例如当满足时，其中。则第根桌腿的转动中心的坐标为：则第根桌腿木条的长度为：4.3.3 桌角边缘线的参数方程表示图14：某转动时刻最外侧桌腿侧视图假设钢筋固定在最外侧桌腿（1（20）号桌腿）的位置是图14所示的点，其中是桌腿木条与桌子边缘的交点，即桌腿的转动中心，是桌腿的另外一个端点，是钢筋在最外侧桌腿（1（20）号桌腿）位置到转动中心的距离。由于钢筋是固定在1号（20号）桌腿上的，因此，在转动过程中，是一个常数。设，当1（20）号桌腿长度确定以后，该比列就是恒定的。当桌子处于展开状态时，桌面高度为，减去桌子的厚度后才为桌子的实际高度（）。作最外侧桌腿木条与实际桌高构成几何图形（见图15）。图15：展开状态下最外侧桌腿木条示意图设钢筋旋转全过程（桌子由收纳状态到展开状态）的角度为，则的旋转角度范围为：。 转动过程中外侧比邻桌腿木条投影在1号（20号）桌腿所在平面的状态如图16所示。图16：外侧桌腿木条投影在1号桌腿平面的侧视图可知，当钢筋的轴线旋转角度大小时，钢筋的空间曲线可以表示为：图中各个点之间的距离为：图中向量之间的关系表示为：且有：再者：则可得到：因此得出：进而可得到桌角边缘线的参数方程为：其中：为第根桌腿木条的长度，且4.3.4图形的设计以上述参数方程为桥梁，在问题一模型基础上，可以根据客户的要求求出最优加工参数，流程图如下。图17：图形设计流程图在该模型下，本文设计出了心形平板折叠桌，并模拟出它的动态变化示意图（以view(-9,32)视角观察，以视角view(145,16)观察的图详见附录），如图18所示（程序见附录4）。 图18：心形折叠桌的动态变化示意图5、 模型评价1.分析了桌腿开槽产生机理和折叠桌的圆形桌面存在的外截和内截两种不同截法，并选取了最优方案；2.解出了桌角边缘线的参数方程，定量地描述了桌角边缘线；3.得出了稳固性、加工方便、用材最少时，木板尺寸大小，以及常数的变化范围；4. 建立了最接近客户所期望形状的数学描述模型；5. 在满足客户的要求前提下，以产品的稳固性、加工方便、用材最少为目的，求出平板折叠桌的尺寸。6. 模型缺点是，使用范围需要有良好的几何外观（如，对称、比列关系）。参考文献1 赵洪斌,吴知丰,谢礼立等.SVD方法在折叠结构分析中的应用J.工程力学,2006,23(3):11-16.DOI:10.3969/j.issn.1000-4750.2006.03.003.2 程涵,余莉,张鑫华等.基于IMM修正的降落伞折叠建模方法J.计算机辅助设计与图形学学报,2013,25(5):751-757.DOI:10.3969/j.issn.1003-9775.2013.05.021.3 解文静,陆帅,邢巍巍等.空间可展剪式铰结构综述J.江苏建筑,2013,(4):17-20.DOI:10.3969/j.issn.1005-6270.2013.04.005.4钱志伟,程万海,刘锡良. 折叠结构的受力分析J. 建筑结构学报,1996,02:48-57.5陈向阳,关富玲,陈务军. 折叠结构的主从自由度分析J. 工程力学,1999,05:83-88. 6韩佳成,Robert Van Embricqs. 平板折叠边桌J. 设计,2012,08:24.附 录附录一clc,clear,x=50;y=120;ku=2.5;% 画圆r=sqrt(x/2)2+2.52);jiao=0:0.01:2*pi;zx=r*sin(jiao);zy=r*cos(jiao);plot(zx,zy)hold on% 计算小木棍长度d=;for i=1:10 D=sqrt(r2-(2.5*i)2); d=d,D;end % 画小木棍xx=0:2.5:25;X=xx(1:10);xx(2:11);Y=d;d;X=X,X;Y=Y,-Y;X=X,-X;Y=Y,Y;plot(X,Y,b)axis(-60 60 -60 60 -60 30)view(61,25)% 画长木条xx=-25:2.5:25;yy=60*ones(1,21);xx=xx;xx;yy=yy;-yy;plot(xx,yy,b)d=d(10:-1:1);%长度J=;for h=1:25l=(y-2*d(1)/2/2;L=sqrt(l2-h2);jiao1=asin(h/l);%第一个角度jiao=jiao1; %记录角度xieb=l; %记录短腿的长度for i=1:9 cz=d(i+1)-d(1); xie=sqrt(h2+(L-cz)2); xieb=xieb,xie; %记录桌角到钢条的距离 jo=acos(L-cz)/xie); if jojiao(length(jiao) jo=pi-jo;%因为角度一直增大到大于90，arcsin小于90故为其余角 end jiao=jiao,jo;endhuxian=xieb+d;%开槽线末端% 开槽线plot(-25,-25;25,25,31.25,-31.25;31.25,-31.25,r)xx=-25:2.5:0;yy=huxian;xx=xx(1:10);xx(2:11);yy=yy;yy;xx=xx,xx;yy=yy,-yy;xx=xx,-xx;yy=yy,yy;plot(xx,yy,r)% 画桌腿tui=y/2-d;xbian=-25:2.5:-2.5;ybian=d;zbian=xbian*0;xtui=xbian;ytui=ybian+tui.*cos(jiao);ztui=tui.*sin(jiao);% figureX=xtui;xbian;Y=ytui;ybian;Z=ztui;zbian;X=X,X;Y=Y,-Y;Z=Z,Z;X=X,-X;Y=Y,Y;Z=Z,Z;h=plot3(X,Y,-Z);pause(0.01)delete(h)J=J,sum(cos(jiao);endh=plot3(X,Y,-Z);figureplot(1:length(J),J)附录二、桌脚边缘线空间坐标X坐标：-25.0 -22.5 -20.0 -17.5 -15.0 -12.5 -10.0 -7.5 -5.0 -2.5 -25.0 -22.5 -20.0 -17.5 -15.0 -12.5 -10.0 -7.5 -5.0 -2.5 25.0 22.5 20.0 17.5 15.0 12.5 10.0 7.5 5.0 2.5 25.0 22.5 20.0 17.5 15.0 12.5 10.0 7.5 5.0 2.5 Y30.9 21.7 17.9 15.8 14.7 14.2 13.9 13.9 13.9 14.0 -30.9 -21.7 -17.9 -15.8 -14.7 -14.2 -13.9 -13.9 -13.9 -14.0 30.9 21.7 17.9 15.8 14.7 14.2 13.9 13.9 13.9 14.0 -30.9 -21.7 -17.9 -15.8 -14.7 -14.2 -13.9 -13.9 -13.9 -14.0 Z50.00 47.67 44.71 41.91 39.47 37.44 35.81 34.58 33.72 33.22 50.00 47.67 44.71 41.91 39.47 37.44 35.81 34.58 33.72 33.22 50.00 47.67 44.71 41.91 39.47 37.44 35.81 34.58 33.72 33.22 50.00 47.67 44.71 41.91 39.47 37.44 35.81 34.58 33.72 33.22 附录三、用材最少桌子动态变化示意图及程序实现clc,clear,H=70;H=H-3;kuan=80;n=kuan/2.5/2;r=sqrt(kuan/2)2+2.52);% 计算小木棍长度d=;for i=1:n D=sqrt(r2-(2.5*i)2); d=d,D;end%d=d(length(d):-1:1);x0=d;Y=;X=;K=;M=0.1;for k=0:0.05:1 h=H*k; xx=;yy=;kk=; for x=x0(1):0.05:x0(length(x0) y=0; for i=1:length(x0) y=y+(x-x0(i)*h/(h2+(x-x0(i)2);%sinO*cosO end if y-M yy=yy,y; xx=xx,x; kk=kk,k; end xx=min(abs(xx);yy=min(abs(yy);kk=min(abs(kk); end X=X,xx;Y=Y,yy;K=K,kk;end%ZH=;CH=;CH3=;CH4=;for i=1:length(K) h=K(i)*H; zhou=sqrt(X(i)-2.5)2+h2);% chang=zhou/K(i)+2.5; CH2=; for j=1:n chang2=d(j)+sqrt(h2+(d(j)-X(i)2); CH2=CH2,chang2;%每个木棍截线最大值 end CH4=CH4,CH2(n);%最中间板截线最大值 ZH=ZH,zhou;%最外面木棍（第一根）轴的长度 CH=CH,chang;%桌腿受力最小时长方形长的一半 CH3=CH3,sum(CH2)-CH2(1)*n;%每个k对应的总截线长endplot(K,CH);%桌腿受力最小时长方形长的一半hold onaxis(0 1,0,400)plot(K,ZH,g)%最外面木棍（第一根）轴的长度 plot(K,CH3,r);%每个k对应的总截线长plot(K,CH4,k);%最中间板截线最大值% K的范围 bibi=0,K(find(CH4-CH=min(abs(CH4-CH);% 画当k=0.65的图k=bi(2);CH=CH(k/0.05);X=X(k/0.05);% 画圆figurejiao=0:0.01:2*pi;zx=r*sin(jiao);zy=r*cos(jiao);plot(zx,zy)view(58,20)hold onaxis(-CH CH -CH CH -CH CH)% 画小木棍xx=0:2.5:kuan/2;X=xx(1:n);xx(2:n+1);Y=d(length(d):-1:1);d(length(d):-1:1);X=X,X;Y=Y,-Y;X=X,-X;Y=Y,Y;plot(X,Y,b)% 画长木条xx=-kuan/2:2.5:kuan/2;yy=CH*ones(1,n*2+1);xx=xx;xx;yy=yy;-yy;plot(xx,yy,b)% 求参数for h=1:H*kl=(CH-d(1)*k;L=sqrt(l2-h2);jiao1=asin(h/l);%第一个角度jiao=jiao1; %记录角度xieb=l; %记录短腿的长度for i=1:n-1 cz=d(i+1)-d(1); xie=sqrt(h2+(L-cz)2); xieb=xieb,xie; %记录桌角到钢条的距离 jo=acos(L-cz)/xie); if jojiao(length(jiao) jo=pi-jo;%因为角度一直增大到大于90，arcsin小于90故为其余角 end jiao=jiao,jo;endhuxian=xieb+d;%开槽线末端% 开槽线plot(-kuan/2,-kuan/2;kuan/2,kuan/2,huxian(1),-huxian(1);huxian(1),-huxian(1),r)xx=-kuan/2:2.5:0;yy=huxian;xx=xx(1:n);xx(2:n+1);yy=yy;yy;xx=xx,xx;yy=yy,-yy;xx=xx,-xx;yy=yy,yy;plot(xx,yy,r)% 画桌腿tui=CH-d;xbian=-kuan/2:2.5