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2014年全国卷2理科数学试题及答案
2014年全国卷2理科数学试题及答案

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2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷二Ⅱ）
第Ⅰ卷
一。选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合M={0，1,2}，N=，则=（ )
A。 ｛1｝
B. ｛2｝
C. ｛0，1}
D。 ｛1,2｝
【答案】D
【解析】
把M=｛0,1,2｝中的数，代入不等式经检验x=1，2满足。所以选D.

2。设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（ ）
A. - 5
B。 5
C. - 4+ i
D。 — 4 — i
【答案】B
【解析】

3.设向量a，b满足｜a+b｜=，｜a-b|=,则ab = ( )
A。 1
B. 2
C. 3
D. 5
【答案】A
【解析】

4。钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC= ，则AC=（ )
A。 5
B。
C. 2
D。 1
【答案】B
【解】

5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0。6，已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）
A。 0.8 B。 0。75 C。 0.6 D. 0。45

【答案】 A
【解析】

6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）
A. B. C. D。
【答案】 C
【解析】

7.执行右图程序框图,如果输入的x，t均为2，则输出的S= （ ）
A。 4 B。 5 C。 6 D。 7
【答案】 C
【解析】

8。设曲线y=ax—ln(x+1）在点(0，0）处的切线方程为y=2x，则a=
A. 0 B。 1 C. 2 D. 3
【答案】 D
【解析】

9.设x,y满足约束条件，则的最大值为（ ）
A。 10 B. 8 C. 3 D. 2
【答案】 B
【解析】

10。设F为抛物线C：的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）
A。 B。 C。 D。
【答案】 D
【解析】

11。直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA=90°,M，N分别是A1B1,A1C1的中点，BC=CA=CC1,
则BM与AN所成的角的余弦值为（ ）
A。 B。 C。 D.
【答案】 C
【解析】

12。设函数.若存在的极值点满足，则m的取值范围是（ ）
A。 B. C。 D.
【答案】 C
【解析】

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生必须做答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答.
二.填空题
13.的展开式中，的系数为15，则a=________。(用数字填写答案)
【答案】
【解析】

14.函数的最大值为_________.
【答案】 1
【解析】

15。已知偶函数在单调递减，。若,则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】

16。设点M（，1），若在圆O：上存在点N,使得∠OMN=45°,则的取值范围是________。
【答案】
【解析】

三。解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分)
已知数列满足=1,。
（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；
(Ⅱ）证明：。

【答案】 （1） 无 （2) 无
【解析】
（1）

(2）

18. （本小题满分12分）
如图,四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC;
（Ⅱ）设二面角D—AE—C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E—ACD的体积。

【答案】 (1) 无 （2) 无
【解析】
(1)
设AC的中点为G, 连接EG。在三角形PBD中，中位线EG//PB,且EG在平面AEC上,所以PB//平面AEC.

（2）设CD=m, 分别以AD,AB,AP为X,Y，Z轴建立坐标系，则

19。 （本小题满分12分）
某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3。6
4。4
4.8
5。2
5。9

（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
，

【答案】 (1) (2） 约6800元
【解析】
（1）

20. （本小题满分12分）
设,分别是椭圆的左右焦点,M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N.
（Ⅰ）若直线MN的斜率为，求C的离心率；
（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b.

【答案】 (1) （2)
【解析】
（1）

(2)

21。 （本小题满分12分）
已知函数=
（Ⅰ)讨论的单调性；
（Ⅱ）设,当时，,求的最大值；
（Ⅲ）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001)
【答案】 (1) （2） 2
【解析】
(1）

（2）

（3）

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第一题计分，做答时请写清题号。

22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲
如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C,PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明：
（Ⅰ）BE=EC;
(Ⅱ）ADDE=2

【答案】 （1) 无 （2）无
【解析】
(1)

（2）

23。 (本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为，
.
（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程,确定D的坐标。

所以D点坐标为或.

24。 （本小题满分10）选修4—5：不等式选讲
设函数=
（Ⅰ）证明:2；
(Ⅱ）若,求的取值范围。