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2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编——7.导数及其应用
2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编——7.导数及其应用

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2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编
7．导数及其应用
一、选择题
（2014·11）若函数f (x） = kx-lnx在区间(1，+)单调递增，则k的取值范围是( ）
A． B． C． D．
（2013·11）已知函数,下列结论中错误的是（ )
A．，
B．函数的图象是中心对称图形
C．若是的极小值点，则在区间单调递减
D．若是的极值点,则
(2013·12）若存在正数使成立，则的取值范围是( )
A． B． C． D．

二、填空题
（2015·16)已知曲线在点（1， 1）处的切线与曲线相切,则 。
（2012·13）曲线在点（1， 1）处的切线方程为 。
三、解答题
(2017·21）设函数f (x) = (1—x2)ex.
（1）讨论f （x)的单调性；
(2）当x0时,f (x)ax+1,求a的取值范围。

(2016·20）已知函数。
(Ⅰ）当a=4时，求曲线y=f（x)在(1,f(1)）处的切线方程；
（Ⅱ）若当x∈(1，+∞)时,f（x）>0，求的取值范围.

（2015·21）已知函数f （x） = ln x +a(1— x）。
(Ⅰ)讨论f （x)的单调性;
（Ⅱ）当f （x）有最大值，且最大值大于2a -2时,求a的取值范围.

(2014·21）已知函数f (x) = x3—3x2+ax+2，曲线y = f （x)在点(0，2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2．
(Ⅰ）求a；
(Ⅱ）证明：当k<1时,曲线y = f （x)与直线y = kx-2只有一个交点．

（2013·21）已知函数.
（Ⅰ）求的极小值和极大值;
（Ⅱ）当曲线的切线的斜率为负数时,求在轴上截距的取值范围。

（2012·21）设函数f (x） = ex—ax-2
（Ⅰ）求f (x）的单调区间
（Ⅱ）若a=1,k为整数，且当x〉0时，（x—k） f ´(x)+x+1>0,求k的最大值

(2011·21)已知函数，曲线在点处的切线方程为。
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）证明:当，且时,.

2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编
7．函数与导数
一、选择题
（2014·11）D解析：∵函数在区间（1，+∞）单调递增，∴当x＞1时，恒成立，，∴，故选D.
（2013·11）C解析：若则有，所以A正确。 由得,因为函数的对称中心为（0，0），所以的对称中心为，所以B正确。 由三次函数的图象可知，若是f (x)的极小值点，则极大值点在的左侧，所以函数在区间(—∞， ）单调递减是错误的，D正确。 故选C。
（2013·12)D解析：因为，所以由得，在坐标系中，作出函数的图象，当时，,所以如果存在,使，则有，即，故选D.

二、填空题
（2015·16）8解析：曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线斜率为2，故切线方程为y=2x-1，与y= ax2+(a+2)x+1联立得ax2+ax+2=0，显然a≠0，所以由△=a2—8a=0，得a=8 。
（2012·13）解析：∵，∴切线斜率为4，则切线方程为：.

三、解答题
（2017·21）设函数f （x) = （1-x2）ex.
（1)讨论f （x)的单调性；
（2）当x0时，f （x)ax+1，求a的取值范围。
（2017·21) 解析:∵，令得，,当时，；当时，；当时，；所以f (x)在，上单调递减，在上单调递增.
(2）∵，当a≥1时，设函数，，因此在单调递减，而,故，所以 ；当0<a<1时,设函数，,所以在在单调递增,而,故。 当0<x<1时，，，取，则，，故；当a≤0时，取,；综上所述，a的取值范围是.

（2016·20）已知函数。
（Ⅰ）当a=4时,求曲线y=f（x)在（1，f（1)）处的切线方程；
(Ⅱ)若当x∈（1，+∞)时,f(x）>0,求的取值范围.
（2016·20)（I）的定义域为。当时, ，，曲线在处的切线方程为
（II）当时，等价于令,则，
（i）当，时，，故在上单调递增，因此；
（ii）当时，令得，由和得，故当时，，在单调递减,因此.
综上，的取值范围是

（2015·21)已知函数f （x) = ln x +a（1- x）。
（Ⅰ）讨论f （x)的单调性；
（Ⅱ）当f (x）有最大值，且最大值大于2a —2时，求a的取值范围。
（2015·21）解析：(Ⅰ）的定义域为,若则所以单调递增. 若，则当时，当时，所以在单调递增，在单调递减。
（Ⅱ)由（Ⅰ)知，当时，无最大值；当时，在取得最大值，最大值为. 因此 等价于. 令,则在单调递增，.于是，当时;当时，，因此，的取值范围是。

（2014·21）已知函数f (x) = x3-3x2+ax+2,曲线y = f (x）在点（0,2）处的切线与x轴交点的横坐标为—2．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）证明：当k<1时，曲线y = f (x)与直线y = kx—2只有一个交点．
（2014·21）解析：（Ⅰ）∵f （x)=x3—3x2+ax+2，∴f ′(x)=3x2-6x+a,f ′(0)=a，则f (x)在点(0,2)处的切线方程为y=ax+2，∵切线与x轴交点的横坐标为—2，∴f （—2）=-2a+2=0，解得a=1．
（Ⅱ）当a=1时,f （x）=x3—3x2+x+2，设g（x）=f （x） -kx+2=x3—3x2+(1—k)x+4，由题设知1—k〉0，当x≤0时，g′(x)=3x2-6x+1—k〉0,g(x）单调递增，g（-1)=k—1，g（0)=4，则g(x)=0在（—∞，0］有唯一实根．当x〉0时，令h（x）=x3—3x2+4，则g(x）=h(x）+(1—k)x>h（x）．则h′（x)=3x2—6x=3x（x—2）单调递增，g(-1）=k—1，g(0）=4，则g(x)=0在(—∞，0]有唯一实根．∴g（x）〉h(x)≥h（2）=0,∴g（x)=0在（0，+∞)上没有实根．综上当k〈1时，曲线y=f (x)与直线y=kx—2只有一个交点.

（2013·21）已知函数.
（Ⅰ)求的极小值和极大值；
（Ⅱ）当曲线的切线的斜率为负数时，求在轴上截距的取值范围。
（2013·21）解析:（Ⅰ）函数f (x)的定义域为（-∞，+∞)，f ′(x）=-e-xx（x—2）. 当x∈(-∞，0）或x∈(2，+∞)时,f ′(x)＜0；当x∈(0,2）时，f ′(x）＞0.所以f （x)在(-∞，0)，(2，+∞）单调递减，在(0,2）单调递增．故当x=0时，f (x)取得极小值，极小值为f（0）=0；当x=2时，f（x）取得极大值，极大值为f（2)=4e -2。
(Ⅱ）设切点为(t，f（t）),则l的方程为y＝f ′(t）（x-t）+f(t)．所以l在x轴上的截距为m(t)=。由已知和①得t∈（—∞，0)∪（2，+∞)．令h（x）=(x≠0），则当x∈(0，+∞）时,h(x）的取值范围为[，+∞）；当x∈（-∞，-2)时,h（x)的取值范围是（—∞，—3）．所以当t∈(—∞，0)∪（2，+∞)时,m（t）的取值范围是(-∞，0）∪[，+∞）．
综上,l在x轴上的截距的取值范围是（－∞，0）∪［，＋∞)．

（2012·21）设函数f （x) = ex-ax-2
（Ⅰ）求f （x）的单调区间
（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x〉0时，(x-k) f ´(x）+x+1>0，求k的最大值
(2012·21)解析：（Ⅰ）的定义域为，,若，则，所以在单调递增。 若，则当时，；当时，，所以在单调递减,在单调递增。
（Ⅱ）由于，所以. 故当时，等价于. 令，则。
由（Ⅰ)知,函数在单调递增，而，，所以，在存在唯一的零，故在存在唯一的零点. 设此零点为,则. 当时，；当时,. 所以在的最小值为. 又由，可得，所以. 由于①式等价于，故整数的最大值为2。

（2011·21)已知函数,曲线在点处的切线方程为.
(Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）证明:当,且时,.
（2011·21）解析：(Ⅰ），由于直线的斜率为,且过点，故即解得，.
（Ⅱ）由（Ⅰ)知f(x)=，所以，考虑函数，则，所以x≠1时h′(x)＜0，而h（1)=0故时，h（x)〉0可得，时，h（x）<0可得，从而当，且时，.