【答案】燕博园2019届高三年级综合能力测试(CAT)(二)文科数学.docx

【答案】燕博园2019届高三年级综合能力测试(CAT)(二)文科数学
【答案】燕博园2019届高三年级综合能力测试(CAT)(二)文科数学

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燕博园2019届高三年级综合能力测试(CAT)(二)
文科数学（全国卷）参考答案
1．答案:B
解析：．
2．答案：D
解析:选项A,D为偶函数,选项B为奇函数，选项C的定义域为，是非奇非偶函数．
选项A，，当时,取得最小值1,
选项D,因为，所以,即存在最大值1，故选D．
3．答案：C
解析:函数的周期，则其相邻的一个对称中心和一个对称轴的距离是．
4．答案：B
解析：,则,
，所以原方程的根所在的一个区间为．
5．答案：A
解析:由及正弦定理可得，又因为，所以
所以，由余弦定理得:．
6．答案：B
解析:因为直线与正方体的所有面所成的角都相等，所以直线沿着正方体体对角线的方向，不妨设为,则为平面的中心，连接，，易证得：平面，所以即为与平面所成的角，
．

7．答案:A
解析：该三棱锥的直观图如图所示,可将其还原成一个棱长为2的正方体，三棱锥的外接球即为正方体的外接球,外接球的直径即为正方体的体对角线，所以，外接球的表面积
8．答案：C
解析：的标准方程为，圆心为，半径,过点所作的的两条切线互相垂直，所以点与圆心的距离为，因为点在直线上，所以可设，所以
，所以，故点的坐标是．
9．答案：D
解析：第二产业在2017年的增加值占国内生产总值的比重比2015年的增加值占国内生产总值的比重低。
10．答案：B
解析：，,即，设,则，
当时，则恒成立，所以在上单调递增，所以恒成立,满足题意；当，令，得，当时,单调递减，当时，单调递增，所以当时，取得最小值，由题意可得，解得，即,综上可知，的取值范围是．
11．答案:A
解析：三角形数，当时,,当时，，所以所求概率为．
12．答案：D
解析:在中,由正弦定理可得，所以，
因为,所以当点为双曲线的左顶点时，取得最小值,取得最大值，所以，整理得，
解得，又因为，所以．
13．答案：
解析:，所以,
所以．
14．答案：
解析：作可行域为如图所示的，
其中，则，
所以．
15．答案：
解析：,
，又因为,所以，
所以．
16．答案：
解析:解法1：取中点,中点， 则，所以，当点为的中点时,取得最小值，故
的最小值是．
以为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，设,则，
，设，则
,当，即时,取得最小值．

17．（12分）解： （Ⅰ）因为 ,,所以 .…………2分
所以，或（舍). ……………………………………………………………4分
（Ⅱ）因为 ,所以 ．
所以 ． …………………………………………………………………6分
因为 ，所以 ．所以 ．………………8分
所以 , ……………………………9分
当时，上式也成立．
所以 ．……………………………………………………………11分
当时，上式也成立，所以 ． …………………………………………………12分

18．(12分）（Ⅰ)证明：因为，为棱的中点，
所以，且，所以,……………………2分
又因为平面平面,平面平面，
所以平面，……………………………………4分
又因为平面, 所以平面平面； …………………………5分
(Ⅱ））经过点作交于点，连接，
因为平面平面，平面平面，所以，
因为，，,
所以平面 .因为，……………………………………6分
所以平面.因为平面，所以.……………………7分
又因为， ，所以平面,因为平面。
所以. ………………………………………………………………9分
由（Ⅰ）知，平面，又因为平面，所以。
又因为，，所以平面。………………………………………11分
又因为平面,所以.…………………………………………………………12分

19．(12分）
解：（Ⅰ），，…………………………2分

…………………………………………………………………………………………………4分
，…………………………………………………………5分
所以，
则关于的回归直线方程是;…………………………………………………7分
(Ⅱ)因为，
所以2012-2018年全国高校毕业生人数逐年增加，平均每年大约增加24万人，…………………10分
将2023年的年份代号代入回归方程得，
可预测2023年全国高校毕业生人数大约是942万人.………………………………………………12分
20．解:（Ⅰ）点 在抛物线上，
所以，所以抛物线的方程为；………………………………………………………2分
所以抛物线的焦点坐标为； ………………………………………………………………4分
（Ⅱ）由题意可知直线不与轴垂直，设直线为，
直线为，．设直线为，．
将代入方程,得可得，
，,……………………………………………………6分
所以线段的中点，代入直线的方程，
得，……………………………………………………………………………………7分
将代入方程，得可得,可得。
可得点的纵坐标代入方程,可得,
因为直线经过线段的中点，将点代入直线的方程，
得①，因为，…………………………………………………………9分
①可化为可得，所以直线为。………………………………11分
所以直线经过定点。………………………………………………………………………………12分
21．(Ⅰ）解： …………………………………………2分
,所以函数在点处的切线方程为；……………………4分
(Ⅱ)设，则，设，则，
所以在上单调递增．又因为，所以在上，,即，
所以在上单调递增．…………………………………………………………………………6分
当时，，所以在上，,即，
所以函数在上是单调增函数．
又是奇函数，所以函数在上单调递增，无极值点；…………………………………7分
当时，,

又因为函数在上单调递增，所以函数在上有且只有一个零点

0

↘
极小值
↗
可知是的唯一极小值点，且…………………………………………………………9分
又是奇函数，所以函数 必存在唯一极大值点，记为，且，……………………11分
所以，所以成立．…………………………12分
22．[选修4―4：坐标系与参数方程］（10分）
解:（1）点的极坐标及曲线的直角坐标方程分别是和.…………………………………4分
（2）设点，则。
所以.…………………………………………………6分
令得：.
所以 当，即时，取得最大值. …………………………………………8分
所以当取得最大值时,的外接圆的参数方程是 (为参数）或
(为参数）。 …………………………………………………………10分
23．[选修4-5：不等式选讲］（10分)
解:（1）当时，,所以，或.………2分
解得：或．所以不等式的解集是。…………………4分
(2）当时,取，则.此时,，不合题意； ……5分
当时，。此时,不合题意；………………………6分
当时，取,则。此时,，不合题意；………7分
当时， .此时，,符合题意。 ……………………9分
所以的值是。……………………………………………………………………………………10分