钻研教材精心设计让数学课堂回归自然.doc

编者按：2010年12月15日下午，川汇区教研室在周口市第五初级中学多媒体教室举行了八年级数学公开课活动，由五中赵保成老师作课，区教研员李世臣老师点评，活动取得圆满成功．
以下是公开课活动材料,以飨读者．

钻研教材 精心设计 让数学课堂回归自然
--关于人教版初中数学“平方差公式”一节课的思考
李世臣
（河南省周口市川汇区教体局教研室 466001）

一、对这节课的认识
综合评价：“平方差公式”在“乘法公式”中具有核心地位．该课基于学生已有的认知基础，引领学生经历公式的形成过程，即“观察——归纳—-猜想—-验证—-证明——符号化"的发现过程．利用多媒体辅助课堂教学，生动直观的展示教学的部分内容，以突出重点，突破难点．教学过程各环节过渡自然、详略得当、重点突出．使学生在探究、合作、交流中，自主获得平方差公式,理解其几何意义，掌握其结构特征，并达到灵活运用．学生经历了发现学习过程，增强了符号感、培养了合情推理和归纳能力．
几个亮点：
一是提供了探索与交流的空间．使学生经历了观察、实验、猜测、推理、交流、反思等活动，经历了从做数学到用数学的能力的形成与提升过程，学生的思维从感性到理性得到提升，让合作、交流、互动、生成真正落实在具体的知识探究行动之中．
二是注重了数学思想方法的培养．整个教学过程中渗透数学思想方法，比如一般与特殊、数形结合思想、转化思想、算两次思想等，学生体会到了数学思想方法在解决问题中的指导作用．
三是关注了学生的数学学习情感．通过创设问题情境，培养观察、发现、猜想、提出命题等基本能力，极大地调动了学生的学习兴趣，激活了学生的思维，激发了学生的创新热情．学生在获得知识技能、活动经验的同时也收获了自信与喜悦．
四是体现了数学的本质．乘法公式是初中数学的核心内容，公式的本质是“公式的结构不变性，字母可变性”，平方差公式是初中生开始系统学习的第一个数学公式，本节课能抓住数学公式的本质为核心进行设计是一个创新．
二、对教材的认识
（一）《数学课程标准》要求
会推导乘法公式:(a+b)（a−b)=a2−b2；（a+b）2=a2+2ab+b2,了解公式的几何背景，并能进行简单计算．
（二）“平方差公式”的教学内容、教学目标与教学诊断
1．内容解析
“平方差公式”是在学习了有理数运算、列代数式、一次方程及不等式、整式的加减及整式乘法等知识的基础上,在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例．
对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法．因此，平方差公式在初中阶段的教学中具有重要的地位．
“平方差公式"是学习“乘法公式"中的第一个公式．教学中,应让学生了解公式产生的背景，经历公式形成的过程．首先，让学生从已有认知出发，在一组多项式乘以多项式的乘法运算中，发现有特殊形式的多项式相乘,并且运算结果简单,从而诱发学生从中总结出这种特殊的多项式相乘的特征，初步感受平方差公式；其次，通过数形结合验证平方差公式的合理性，进而确立平方差公式的地位和作用,既为符合公式特征的整式乘法运算带来方便，又为后续学习用公式法分解因式奠定基础；最后,从公式的探究、推导活动中，让学生学会从“特殊”到“一般”或从“一般"到“特殊”的探究方法，为学生以后能主动探究完全平方公式，甚至是立方和、立方差等数学公式奠定良好的迁移基础．
要熟练而正确地应用公式解决问题,就必须对公式的结构特征进行剖析，在剖析中加深对公式特征和表达形式的理解与掌握，这就为学生学习、掌握其他数学公式提供了“模板”．因此，“平方差公式”在“乘法公式”中具有核心的地位．
本节课的教学重点是：经历探索平方差公式的全过程，理解乘法公式的结构特征及几何意义，并能灵活运用平方差公式进行运算．
2．目标解析
⑴了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义,掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题．
⑵经历平方差公式产生的过程，体验知识的产生与发展，感受利用归纳、数形结合等数学思想方法解决数学问题的策略，进一步发展学生的符号感,培养他们的归纳推理和合情推理的能力．
⑶在探索平方差公式和用平方差公式解决问题的过程中,积累数学活动的经验，学会与人合作交流，欣赏“平方差公式”的魅力，提高数学学习的兴趣，体验学习的成功与快乐．
3．问题诊断
但本节课是在学习了多项式乘法的基础上研究特殊形式的多项式相乘，主要体现在结构特征的特殊性上，而这种特殊形式又灵活多样,学生往往难以掌握用字母表示数的广泛含义，如字母可以表示负数、多项式等．
容易出现以下3种错误：
①符号的错误，如（−5a−3)（+5a−3)=25a2−9；
②系数不平方的错误,如（2a−1）(2a+1）=2a2−1；
③不能运用公式的却运用公式的错误，如(a+0。5b）（b−0。5a）=a2−0。25b2．
其原因是只了解平方差公式的表面形式，而未真正掌握平方差公式的本质特征．
(三）研究教材,揣摩教材的编写意图．
教材是编写者在认真学习《课标》，深刻领会新课程理念，透彻分析课程目标的基础上，运用教育学、心理学等原理精心编制的供教学使用的最重要的素材,并经全国中小学教材审定委员会严格审核通过的，具有一定的指导性和权威性．因此，教师必须深入挖掘教材，透彻理解教材，仔细揣摩教材的编写意图．
1．对课题导入的看法
“平方差公式”这部分内容人教版是这样编排的:先设置一个探究栏目,安排了3个具有特殊形式的两个多项式相乘的题目，让学生运用已经学习的知识计算多项式的积，并探索其中所蕴涵的规律．然后再计算（a+b)（a−b），进而得出平方差公式．然后又设置一个思考栏目，让学生利用算两次原理得出图形中的面积关系，通过图形直观说明平方差公式的合理性．在研究分析教材时，我提出了以下几个问题．
第一，为什么教材没有通过让学生直接计算（a+b）（a−b）导入，而是设计了一个探究栏目?
多项式乘以多项式法则和平方差公式是上下位关系,可以按照运算法则直接结算即可实现自然轻松地过度，为什么不让直接推理，经过分析我觉得其目的是，让学生在已有的认知基础上经历一次从发现公式到导出公式的全过程，即利用已经掌握的多项式乘以多项式法则得出三个算式的结果，在此基础上让学生经历观察(每个算式及其结果的特点）、比较(不同算式及其结果间的异同）、归纳(不同算式及其结果的共同特征）、猜想（可能具有的规律)、推理（论证猜想的结果)的过程．这个过程可以充分体现学生对数学知识的认识过程，其中，从多项式乘法到3个特殊算式的运算，是从一般到特殊的认识过程；从3个特殊算式的运算再到平方差公式,是从特殊到一般的认识过程；而从多项式乘法到平方差公式,又是从一般到特殊的认识过程（如图）．整个过程经过多次“一般”与“特殊”的转换,能够充分体现学生参与数学活动的深度和广度，是一种真正意义上的数学学习，而不只是简单、机械地模仿与记忆．
特例
多项式×多项式
平方差公式

第二，为什么教材没有通过拼图计算发现公式直接引入？而是把拼图计算仅作公式的几何解释．
通过拼图计算导入，起点低、落点高,数学活动展示充分,既可以直观明了说明公式的几何特征,又可以体现数形结合思想，教材没有这样安排我认为有以下两个原因：一是《数学课程标准》对“平方差公式”的目标要求是“了解公式的几何背景”，只要知道此公式可以通过几何图形的面积加以说明即可，并不要求达到“理解”或“掌握”的程度．因此，通过拼图计算说明平方差公式不是本节课的重点,而数形结合思想也不是本节课的核心思想；二是学习公式的关键是理解公式的结构特征,而公式的结构特征仅从几何图形的面积关系是无法充分体现出来的，因为几何图形仅局限在正数范围内,由此得出的公式要扩大其外延还要回到计算推理上来，这样看来图形导入有点多此一举．而目前教材的编写计算发现法导入可以避免其不足，要得出规律，需要对几个题目进行反复观察、比较、归纳、猜想,使得对公式的结构特征有更深刻的认识．
第三，为什么教材没有从现实情境出发引入课题?
培养学生应用意识是新课程强调的重要目标之一,主要表现在:认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息、数学在现实世界中有着广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值．课程标准还要求数学教学要采用“问题情境—-建立模型-—解释、应用与拓展”的模式展开．这样使部分教师理解上出现偏差,好像每一节课都必须与实际应用建立联系，挖空心思的寻找或者“创造"应用背景，致使一些应用题的设置或者毫无实际意义，或者超出学生的阅历．我们知道，并不是所有的数学内容都需要从现实情境引入的，这要依据教学内容的特点和学生的学习规律而定．“平方差公式”是一种特殊形式,这节内容相对于学生已有认知结构中的多项式乘以多项式的知识来说，处于下位关系．而在下位学习中，新内容和原有认知结构的作用方式是同化，平方差公式可以直接和原数学认知结构中的多项式乘以多项式的知识相联系，直接纳入原有的认知结构之中,因此，本节课可以直接从数学问题本身引入课题，不需要从现实情境出发引入课题．
以上仅是对“平方差公式”三种基本导入的思考，另外还有故事导入、游戏导入、操作导入等林林总总，考虑到数学课程目标的要求、考虑到学生的认知结构、考虑到数学教育的培养方向，比较起来要数教材安排的最为合适．平方差公式是多项式乘以多项式的特殊形式，属于下位学习，发现导入法可以顺利实现新知识向旧知识的同化，让学生经历一次探究发现的活动过程,可以进一步丰富学生的数学活动经验,提高学生的思维能力．

下面是几个不同导入的案例，体会一下它们的差异？
案例一：故事导入
（一）创设情境，快乐启航
从前，有一个狡猾的庄园主,把一块边长为a米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说:“我把这块地的一边减少5米，相邻的另一边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？"张老汉一听，觉得好像没有吃亏，就答应道:“好吧．”回到家中,他把这事和邻居们一讲,大家都说:“张老汉，你吃亏了！"张老汉非常吃惊．你知道张老汉是否吃亏了吗？学习了本节课的知识,你将能轻松地解决．
（二）自主探索，获取新知
问题1：利用多项式的乘法法则，计算下面各题．再观察、分析这组题目左边的算式和右边的结果，你能从中发现什么规律？（让学生进行小组讨论）
⑴（a+b)（m+n）=
⑵（x+3）（x+4）=
⑶（y+3）（y−2）=
⑷（a+5）（a−5）=
⑸（p+q）（p−q）=
⑹（2x+1）（2x−1）=
问题2：通过这些题目的计算，你发现了什么?
案例二：游戏导入
（一）创设情境，诱发主动
教师出示幻灯片：①写出你最喜欢的个位数；②计算100与这个数的和乘以100与这个数的差的积．
师：同学们计算得很投入,你们只要告诉我你写出的个位数,我就能马上说出计算结果，你们信吗?
生:我最喜欢的个位数字是4．
师:你算出的答案是9984，（100+4）（100−4）=9984．
生：我最喜欢的数字是8．
师：你算的答案是9936，（100+8）（100-8）=9936．
师：神奇吗？想学这招吗？学完这节课．你肯定会明白其中的奥妙所在．
（二）动手操作
（1）现有两个数，不知其大小,请你随意用两个字母来表示这两个数;
（2）请把这两个数的和与差分别表示出来．这两个式子是多项式还是单项式？
（3）请将所得的和与差相乘并化简;
(4）请思考:两个数的和与这两个数的差的乘积等于什么?（让学生用自己的语言描述出来)
案例三：实例导入
一、创设情境，导入新课
小明去商店买了单价是9。8元/千克的糖果10。2千克．售货员刚拿起计算器．小明就说出应付99.96元．这与售货员计算出的结果一样．售货员很惊讶地说:“你真是个神童，怎么算得这么快？”小明说：“过奖了，我用了刚学过的一个数学公式．"
你想知道小明用的是一个什么样的公式吗？下面我们一起来学习研究．
二、自主探究，归纳发现
师：我们已经学过了多项式的乘法，2个二项式相乘．在合并同类项前有几项?
生：4项．
师：合并同类项后，积可能会是3项吗?积可能是2项吗？
生：可能．
教师出示下列习题：
⑴（x+1）(x−1）=
⑵(m+2)(m−2)=
⑶（2x+1)（2x−1）=
⑷（x+5y）(x−5y）=
案例四、操作导入
一、创设情境，引出课题
问题1：你能计算下面图形（如图1）的面积吗?你能用图示法展示上述计算过程吗?
（101×99=1002−12)
问题2：将长为（a+b）、宽为（a−b）的长方形，剪下宽为b的长方形条，拼成有空缺的正方形（如图2），并请用等式表示你拼成图形的面积关系．
（（a+b)（a−b)=a2−b2)
问题3：此等式中的a、b应满足什么条件？对于任意的a、b，此等式成立吗？
（①a>b>O；②此式可作为公式，计算过程可省）

2．提供足够数量、可供归纳的素材，并具有一定的“原生态"的特征，让学生经历自然的筛选、归纳过程．
只有提供足够数量、目标明确的素材，学生才容易发现规律，产生归纳的心理需求，自发地进行归纳．人教版数学课本仅提供三个题目，素材明显不足,而且仅有正例没有反例，缺乏“衬托”，有失自然，需要增加反例重新布局．探究栏目可修改如下:
计算下列多项式的积,你能发现什么规律?
⑴(a+b）（m+n）
⑵(x+p)(x+q）
⑶(a+b）(a+b）
⑷（x+1）（x−1）
⑸（m+2）（m−2）
⑹（2x+1）（2x−1）
⑺（a+3b）（a−3b）
⑻（3x+2y）（3x−2y）
问题⑴是基本格式，以复习多项式乘法法则；问题⑵是一个重要的典型结构，映射后续的一元二次方程和一元二次函数；问题⑶一来与平方差公式作陪衬，二来为完全平方公式打基础，通过计算繁简比较,⑷到⑻这5个正例特征足以从前三个反例中显现出来．由于可供归纳的素材较多，学生很容易归纳出平方差公式，并自觉验证、运用平方差公式．学生先经过“繁杂”的计算，后享受“发现"的乐趣，经历了一个拟真的“观察比较——归纳概括--猜想验证——推理应用”的“再创造”过程．
数学在某种程度上可以说是研究“特殊”的科学，即从众多研究对象中分辨出特殊对象中存在的共性规律，在课堂教学设计中，问题情境中的素材设置应关注数学知识赖以产生的“原生态”．数学教材编写的简约性原则要求阐述的数学知识是简洁、严谨、抽象、纯粹的,不得不过多的关注陈述性知识，而略去或简化过程性知识和策略性知识．而我们教学时，要营造知识产生的“原生态”，再现知识的发现、发展过程．比如本节课所提供的素材既包括待归纳规律的特殊对象,也应包括少量的其它对象,模拟数学知识当初被发现时的情境,从而让学生经历比较自然的发现过程．
追求问题情境的“原生态”应遵循科学性原则，要设置适度，现在学生不可能完全重现知识的“原发现”过程．有老师在讲授乘法公式时，把“平方差公式”与“完全平方公式"合并在同一课时，认为这样更具“原生态"，符合平方差公式的素材和符合完全平方公式的素材，既是待归纳的主要对象，又互为背景、相互烘托，能促使教学效益的提高．但是这样对教师的课堂驾驭能力和学生的接受能力要求明显增强，课堂教学效果并不理想．

3．以课本为抓手，向课外延伸，扩展学习，开拓学生自主探究、合作学习的空间．
《数学课程标准》指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动．” 教材上呈现的素材都是专家经过仔细推敲、严格筛选后，经过实验改进和最后审定通过的，具有典型性和代表性，我们教师可以以此为抓手，对其源与流进行研究，获得拓展与延伸，向学生提供充分的从事数学活动的机会，充分激发学生的学习积极性，帮助他们在动手实践、自主探索与合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验．
人教版数学教材中“思考”栏目可以做一下改动，充分挖掘其潜在教育价值．
（1）关于平方差公式的图形解释．
通过公式的结构特征引导学生联想，代数数量关系转化为几何图形关系，构造不同形式的图形，获得更广泛的几何解释，拓展学生的思维空间．
图1

图2

图3

图4
？
？

（2)算两次原则-—一种很有价值的数学方法．
在以上的几何说理过程中用到了一个重要方法-—算两次,“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学方法．其实质是从不同角度看问题,将同一个量从两个不同的角度计算两次，利用“殊途同归”的等量关系达到“出奇制胜”的目的．
“算两次”不仅体现了从两个方面去计算的解题方法，更重要的是蕴涵着换一个角度看问题的转换思想．它是数学家创造发明的法宝，也是引领学生进行再发现、再创造活动的探索方式．著名数学家波利亚对此十分推崇，他曾形象地将其比喻为“抛两个锚安全系数更大"．
“算两次"的解题形式，一般分为三步曲：“一方面……,另一方面……，综合这两个方面，可以得到……"．
在数学中应用广泛，比如列方程解应用题．列方程解应用题中寻找等量关系的方法很多，包括:①数量关系法;②线段图示法；③列表法;④图示法等.这几种方法都是列方程解应用题中寻找等量关系的好方法，但是找等量关系列方程的实质就是抓住一个量，挖掘已知条件从两种角度表示同一个量，进行两次演算。
又比如几何上等积法解题，前面的多项式乘以多项式和本节的图示验证都是使用了面积相等,有代表性的题目是等边三角形内一点到三边的距离之和是定值．
这些可以开发为专题作为课外读物,开阔学生视野．推荐一本单墫教授编写的小册子《算两次》很有阅读价值．
（3）两道计算题的公式支撑．
在这节课中涉及到两道计算题:计算102×98＝和计算20102-2009×2011＝，在计算题的背后有一个重要公式作支撑，就是4ab=（a+b)2−（a−b）2，或者写成（a+b)2−4ab=（a−b）2．这个公式也有非常美妙的图形解释（如图）．这是一个重要的恒等式，在以后的学习中经常用到，特别是容易和一元二次方程根与系数的关系、二次函数曲线截横坐标轴的长、基本不等式的证明、图形的周长与面积等问题建立联系．
三、几点建议
课标是我们的立教之本、教材是我们的立课之本，学习是我们的立身之本．因此，我们要研究课标，领会精髓；深钻教材，突出本质；不断学习，提升素质．只有这样，才能更好地把握教学内容，使课堂充满生命的活力．
（一）《课标》的教学建议
数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程．
数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境,引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维,学会学习,促使学生在教师指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习．
在教学活动中,教师应发扬教学民主，成为学生数学活动的组织者、引导者、合作者;要善于激发学生的学习潜能，鼓励学生大胆创新与实践；要创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材;要关注学生的个体差异，有效地实施有差异的教学，使每个学生都得到充分的发展；要重视现代教育技术在教学中的应用，有条件的地区，要尽可能合理、有效地使用计算机和有关软件,提高教学效益．
（二）主导教学三条线
1．知识技能线：育知，自主建构知识结构-—真
2．过程方法线:育智，自主建构认知结构-—善
3．情感价值线：育情，自主建构观念结构——美
(三）以学论教
以学生的发展需要论我们教什么,以学生的发展质量论我们教的怎样．
（四）加强自修促进专业成长
1．上位学习；2．专题研究．