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第十八讲中学数学基本能力的培养
教学目的：通过学习，使学生掌握在教学中如何培养三种能力,即如何培养学生的运算能力，思维能力和空间想象能力，并在此基础上如何进一步培养一般能力，如观察能力，理解能力，记忆能力和运用能力等。
教学内容：1、运算能力的培养.2、空间想象能力的培养。3、分析和解决实际问题的能力培养。4、逻辑思维能力的培养。
教学重、难点:三种能力的培养既是重点又是难点。
教学方法:讲授法
教学过程：

一、 运算能力的培养
18．1.1 什么是运算能力
运算的意义不仅局限于通常的加、减、乘、除、乘方开方等代数运算,还包括初等函数的运算和求值，各种几何量的测量和计算，求数列与函数极限以及微分、积分等分析运算,还有概率、统计的初步计算等．特别要指出的是几何的平移、旋转、对称、伸缩等“变换"也可称为“几何运算”．在一些高中数学教材和中等专业技术学校使用的数学课本中，还简单介绍了逻辑代数知识，“与”，“或"、“非"这是“逻辑运算”．对于集合求其交集、并集及全集，是进行集合运算．如果对于运算作上述广义的理解，那么我们就不会再片面地说运算只是算术和代数的事了．因此,培养学生正确和迅速的运算能力是整个中学数学教学中的任务．
18.1.2 培养学生运算能力的基本途径
怎样才能使学生具有正确迅速的运算能力呢？在小学、初中与高中这几个阶段中，都必须有计划有步骤地进行培养，由算术运算到代数运算；由代数运算到分析运算、几何运算、集合运算、逻辑运算,由口算、笔算到表算、工具算等都要切实抓好。总之，一要学习,即学习与运算有关的知识；二要训练,即精心选择一部分习题,让学生独立完成．下面谈一谈培养学生运算能力的基本途径．
1、牢固掌握基础知识，弄通算理、法则
要使运算正确而又迅速就要牢固地掌握与运算有关的概念、公式法则以及变形化简等思维方法．同时要多练习,常反复，形成熟练的技能技巧．但也不能“死练”，在练之前，要使得学生懂得“算理”使其懂得“怎样算”，“为什么这样算”．只有“计有据”，才能“算有准"．如果教师只教给学生“怎样算”，而学生并不明白“为什么这样算”,“为什么这样算就正确”，那么学生的运算能力就不会始终保持其正确性,也形成不了什么运算能力．
例1 讲异分母分数的加减时，如果只教给学生要先通分，变成同分母的分数之后，再按同分母的分数进行加减运算，而不讲清为什么要这样算,有的学生对运算的方法是记不牢的,时间一长，往往会遗忘，甚至会出现之类的笑话．
因此,教师必须在学生学习通分算法之初，就教学生“算理”,让学生清楚地懂得:如果两个分数分母不同，分数的单位就不同，每份的大小也就不同，而单位不同的分数是不能直接相加减的．只有经过通分之后，它们的分母相同了，即分数的单位相同了，每份的大小是一样的，从而就可以直接进行加减运算了．
例2 如化简，则需要灵活运用和角三角函数公式来进行推理，计算如下：
原式

这里，三角函数公式的应用，恒等变形的使用都给培养正确的、迅速的运算能力提供了前提．
例3 如解方程，首先应该知道方程的解域是，再进行同解变形得

从而有（x—1）2＝100，解此方程得x＝11或x= -9
但要注意，如果把原方程变为：

由于未知数取值范围缩小为x＞1，于是产生减根．显见这种解法是错的．
在例2和例3的运算过程中，每步推导都是依理进行的．事实上，在培养运算能力的过程中，逻辑思维能力的培养也在其中了．
例4 实系数方程的三根在复平面上构成正三角形的三个顶点，则m的值的是：
（A)－1； （B）0； (C)1; （D）2． 答案（ ）
解 因为三点不可能都在实数轴上,所以方程至少有一个虚根，又因为实系数为一元三次方程，故必有一个实根．
设三根为α，a+bi，a—bi（α、a、b∈R，α≠0）它们的对应点分别为A(α,0）,B（a,b），C(a,-b），其中A在实轴上．
由韦达定理，可得
α+（a+bi）(a—bi）＝0
所以：α＝-2a
故A与B、C位于y轴两侧．
设B、C连线交x轴于D点，则有
｜OD｜=｜a｜
|OA|＝|—2a|＝2|a｜
所以O为ΔABC的中心．
｜OB｜＝2｜a｜，a2+b2＝4a2 ∴b＝±a
所以三根为—2|a|,a(1+i）,a（1—i）
又因为（-2a)a（1+i）a(1-i）＝—1
解得a=，则α＝—2a＝—1
将α＝-1代入原方程，得（-1）3＋m（—1)＋1＝0,故m=0,故选择(B)．
本题推理丝丝入扣，逻辑严谨．各步判断有根有据，然而各步判断均和计算结果直接相关．由此可见运算能力的培养有助于推理判断能力的培养．除此，运算能力的培养在运算型的证明题中也能得到较好的体现．总而言之，在运算过程中，“言之有据”是应该遵循的重要原则之一．下面再举一例,以说明在逻辑运算中，也必须弄通算理，才能使运算达到正确迅速．
例5 某年级先后举行数、理、化三种竞赛，学生中至少参加一科的：数学201人，物理177人，化学163人；参加两科的：数学、物理141人，数学、化学114人，物理、化学95人;三科都参加的87人．问参加竞赛的学生总数是多少？
A∩C
A∩B
B∩C
A∩B∩C
B
A
C
图18-1
解 这是一道涉及到逻辑运算的运算题．如学生弄不通算理,如学生弄不通算理，不懂逻辑运算法则，还照以往代数中的运算一样去运算，即将各类竞赛者一加求和了事，那就出现错误了．所以说，一些与运算相关的新的数学概念、法则、公式的引入都需要加以格外留意，以免在运算过程中，因算理不通，铸成谬误．对本题可作如下解答：
设A、B、C分别表示参加数学、物理化学每一科竞赛学生的集合（如图5—1),并且以n(S）表示有限集合S的元素个数．则有
n（A∪B∪C）=n（A）+n（B)+n（C）—n（A∩B）
—n(A∩C）—n（B∩C)+n（A∩B∩C)
=201+177+163-141-114—95+87
=278
2、提高记忆能力，加强运算基本功训练
培养学生运算能力，还要提高学生的记忆能力，牢固掌握一些常用的数据、常用的公式和法则．尤其要加强运算基本功训练，籍以形成熟练的技能技巧．
(1)在小学阶段，作为运算的基本功主要是：i）熟练掌握整数、小数、分数的四则运算;ii)20以内的口算加减法与表内乘法、相应的除法，要达到“直呼"的程度：熟悉分数、小数互化运算，熟悉一些分数互化的数值．例如：、、、等等．
(2）在初中阶段，作为运算的基本功主要是：
i）熟练掌握有理数的四则运算和有理指数、常用对数、锐角三角函数的运算，特别还要加强整式、分式与根式的运算训练．
ii）要熟记一些重要数据，讲究记忆方法和规律，最好能达到“直呼"的程度:
a、多位数与一位数相乘，直接得积；
b、1－20的平方数，1－10的立方数．
c、将被开方数化为质因数乘积求方根；
d、特殊角的三角函数值;角度制与弧度制互换．
e、乘法公式．
(3)在高中阶段，要通过复习以巩固上述初等运算的能力．要学习一些初等函数的恒等变形;学习行列式和复数的运算；学习极限与微积分运算;还要学会集合的运算、逻辑运算．这阶段的运算基本功主要是：
i）熟练掌握指数、对数式与三角函数式的恒等变形，初步掌握极限与微积分运算．
ii）熟记基本公式、重要的极限等、以提高计算速度．
例如：，，(且）；
;
;；
微积分基本公式等．
为了使学生练习基本功,一要理解运算所依据的道理；二要记住常用的公式、法则；三要通过练习才能落实到学生身上．下面选一组指数、对数的基础练习和一组心算练习题,供参考．
i）化简计算：
①；
②；
③；
④．
ii）比较大小
①,； ②，；
③,； ④,；
⑤，； ⑥，．
iii）求函数的定义域；
①； ②；
③； ④．
iv）求值：
①已知lgx＝6，lgy＝3,求的值．
②已知lg2＝0。3010，lg3＝0。4771,求的值．
③已知ΔABC中，∠C＝90°,三边长a、b、c，求．
v)解方程：
①； ②．
心算练习题：
①a为实数，a2永远为正数,对吗?
②代数式2+x2的值，最小可能是几？
③代数式1－y2的值，最大可能是几？
④的值能否大于1？为什么?
⑤下列哪些式子相等，哪些不相等；
a、62·64与68; b、（24）3与212；
c、（2·3·5)2与22·32·52； d、(—7·14）4与—74·144．
⑥“a加b平方”与“a与b和的平方”意思一样吗？分别写出表达式来．
⑦若3x〈x，x的值会怎样？
⑧想出一个数c，使c2＞c而2c<c．
⑨方程与是否同解？
⑩为什么方程组无解？
练好运算的基本功,并使运算具有一定的速度,是培养学生正确迅速的运算能力不可缺少的．
3、加强运算练习,培养学生的运算能力
我们知道任何能力都是可以有计划、有目的地训练出来的,提高学生运算能力必须加强练习，严格训练．加强练习就要按规律进行多练、巧练、反复练．题目由浅到深，基本题、引伸题、创新题依次出现，这样不但可训练学生的运算技能技巧,而且可培养学生的运算能力．严格训练就要做到高质量、高效率,即学生练习要做到正确、迅速、合理．从某种意义上讲，运算能力的培养实际上就是对合理进行计算的能力培养．而这种合理性的发现，“简捷算法”的寻得，首先就需要有很好的观察力和对基础知识的良好掌握．例如计算
．
有观察习惯的人绝不一见题就用乘法分配律展开，而是对、都含有具有“好奇心”，并接着会想从第一个因式中提取公因式，从第二个因式中提取公因式，看它们会变成什么样子？即
原式＝
至此，就容易进一步想到用乘法公式作进一步的化简了．
由于每个人在观察时，抓住问题的特点不同，或者运用的知识不同，对同一个问题可能得到几种不同的解法，这就是“一题多解”，“多解"之中一般总有较为简捷的解法．
经常引导学生重视“简捷算法”与“一题多解"的训练,可以培养学生思维的敏捷性和灵活性．只有思想上“迅速”了,行动上才能“迅速”起来；只有解法上“合理”了，即在应有的水平上达到了“最佳选择”，才能获得最快的速度．
当然“简捷算法”与“一题多解”的训练必须紧密结合教学内容进行；必须从小学到中学，一贯重视这种能力的培养，循序渐进地提高要求,才能使学生学到运算技能和技巧,得到系统的巩固和提高，从而形成一种运算能力,进而去探索未知领域，获得新知识．当然这种未知领域对于学生来说是先前未曾感知过的，而对教师来说是可能感知过的．
在低年级,一般宜进行“简捷运算”的训练．因为学生年龄尚小，所学知识也不多，他们往往会为获得一种“简捷运算"而欢欣鼓舞，可以说简捷运算容易引起学生的学习兴趣．当然在高年级也要寻求“简捷算法"，即使搞“一题多解”训练，最后也要比较,看哪种解法最为简捷．
例6 化简．
分析 这是一道根指数，分数指数的综合运算题，首先要确定统一成哪种指数形式进行运算较为简捷．
原式＝．
例7 已知直角三角形两直角边的长分别为5cm和12cm,求斜边上的高．
解 若用射影定理计算高就繁了．所以先求斜边长，得，再由面积相等求出斜边上的高为．
例8 已知,求的值．
分析 若用直接代入求值就太繁了．所以，我们改变一个角度，由得，所以，，所以，把它代入原式，则问题就解决了．
解 由，得，所以,，所以
原式
．
以上三例都显示了简捷运算的优点．但这种简捷运算的获得，是经过认真分析，进行选择的结果,这个过程，一题多解的思想已包含在其中了．
采用多样化方法解题，不但可以发展学生的思维能力与运算能力，而且还可以提高学生的学习积极性,培养创造精神．
为了提倡“一题多解”,在教学中教师要经常进行“一题多解”的典型示范,同时引导学生判断哪种方法较简捷，从而进行选择，加强解题的预见性，做到解题时思维敏捷，避繁就简，达到正确迅速的要求．
对于学生有创见的解法，也要善于引导,爱护他们独立思考的积极性，同时帮助他们分析具体错误的症结．
例9 计算．
解①原式＝；
②原式＝；
③原式＝；
④原式＝
．
显然解法①是最简捷的,但解法③也很巧妙．
例5 已知ax4+bx3+1能被（x—1）2整除，求a、b之值．
解法一
用竖式除法,即得余式为 （3b+4a)x+（1-2b-3a)＝0
解得 a=3，b=-4
解法二
用比较系数法．令

将等号右边展开，两边比较系数，解方程组得：
a=3,b＝—4，p＝3,q＝2，r＝1，
例4、例5 在完成运算之后可知有较简捷算法存在，而例1、例2、例3是在未完成运算之前就作出合理选择，从而采用了简捷算法，实质上，前3例也进行了“一题多解”的思维过程,只不过表述成文字的是一种简捷的算法．
运算能力形成的重要性，不仅仅在于它能够从事一系列的运算，甚至具有一定的技能技巧，而更重要地在于它能帮助人们去开拓新知识领域．
例10 计算 1＋2＋3＋……＋100
这是历史上很有名的一道题．据说高斯在六岁的时候，就以老师不敢相信的速度得出了正确的答案5050．高斯是如何进行运算的呢？我们可以推测，他可能是观察之后，发现了1＋100＝2＋99＝……＝50＋51,然后利用加法的交换律、结合律及乘法的定义进行运算的，即
1＋2＋3＋……＋100
＝（1＋100）+（2＋99）+……+（50＋51）
＝101＋101＋……＋101
＝101×50＝5050
所用知识是有限的，是人所共知的,然而他将这些知识选择，组合的方法是别有洞天的．再朝前走一步，自然数列求和公式不就应运而生了吗？
例11 求自然数倒数平方的级数和：
……
解 这是数学家伯努利（Bernoulli，1654－1705)的一个级数求和难题，伯努利是17世纪杰出的数学家，他是古典概率论的创始人，对古典微积分学以及级数求和等问题都有贡献，但是他却没有办法算出自然数倒数平方的级数和．于是他公开征解，可惜直到他逝世时还未见到有人解出此难题．这个难题过了数十年之后才由欧拉解答出来．在这里欧拉巧妙地利用了类比推理完成了一项非常有趣的发现，给出了伯努利所未能找到的级数和．
首先,对于只含偶数次项的2n次代数方程
……，()
假设有2n个互不相同的根：……．
则得……
……
把乘积展开出来，易见x2项的系数为:

以上所述为一般代数方程式论中的初等知识．
欧拉又考虑了三角方程：
……
他把它看成是只含有偶次项的无穷次代数方程．由于此方程含有相异根,，……于是欧拉采用了类比法,即仿照上述2n次多项式分解成乘积的形式,把这里出现的所谓无限次多项式也照样分解成因式乘积形式:
……
这便是著名的“欧拉乘积公式”．这样一来，再把右边的乘积展开，便发现x2项的系数是:
……
即
……．
奇迹出现了．
在数学中经常给学生出一些创新题去运算,对学生的运算能力培养是十分有益的．当然这些创新题应是学生力所能及的,那种一提“创造"就认为是让学生解答数学家所未能解答的问题的态度，显然是不可取的．
二、 空间想象能力的培养
18．2．1、 什么是空间想象能力
想象是一种特殊的思维活动，即在头脑中表象出某种未曾感知的东西，或者创造某种未曾感知过的物体和现象的形象,或者专门产生某些新事物的概念．空间想象不应只局限于三维空间．如果我们认为空间想象乃是全部数学中的形象思维，它就和逻辑思维相辅相成了．通过逻辑思维，由具体到抽象，又通过空间想象,由抽象到具体，波浪式地发展着．实际上，在平面几何中，特别是在平面解析几何中,时常要想象图象的运动．在代数和三角中，空间想象也扮演着重要的角色．例如由函数的图像，便易于掌握函数的性质．代数和分析中的许多概念，如果明确了它们的几何解释，就能使本来很抽象的概念变得生动、直观、形象起来，例如导数和定积分概念就是这样，特别是复数的几何意义的获得，对复数的研究更起了重大的作用．总之，培养学生的空间想象能力应是整个中学数学教学的任务．其中立体几何教学在培养学生的空间想象能力方面所起到的特殊作用是明显的．
空间想象能力的培养应当包括哪些要求？一般认为大体上包括下列三个方面的要求:
1、对于客观存在的空间形式,能在头脑中反映出正确的形象来，即形成空间概念．
2、能将空间形式,按照统一规定，绘成平面图形，反之，能从已知的平面图形想象出它所表达的空间形式．
3、不但能进行逻辑思维，而且能进行形象思维，也就是说能运用图形的几何直觉去研究某些问题．
18。2.2 培养学生空间想象能力的基本途径
如同培养学生的运算能力一样，培养学生的空间想象能力也需要认真学习，牢固掌握基础知识，要会绘图会看图，还要进行一系列的关于加强空间想象能力的训练．具体地说，培养学生空间想象能力的基本途径可有以下几条：
1、学好有关空间形式的基础知识
想象是客观现实在人脑中的一种反映，所以学生学好有关空间形式的数学知识是提高学生空间想象能力的根本．
中学数学中有关空间形式的知识不仅是几何的知识，还有数形结合的内容．如数轴、坐标法、函数图象、三角函数的几何意义、方程与曲线，几何量的度量与计算等内容都可以通过数量分析的方法对几何图形加强理解，掌握这些有利于培养学生的空间想象能力．
从研究数量之间的关系，到研究图形之间的关系，数形之间的关系，这是一个很大的变化，虽然在小学里学生已接触过一些几何图形,数形结合的知识，但是学生的空间概念还是很薄弱的，要使学生熟悉图形之间的关系、数形间的关系，还是较为困难的问题，需要有一个逐步培养的过程．
对于某一图形所反映的空间形式,怎样使学生形成关于它的空间概念呢?一般认为,大致需要经过如下过程．
(1)运用实物、模型等进行直观教学，使学生在头脑中形成空间概念的整体形象．
（2）通过教师和学生绘制草图和示意图,使头脑中形成的空间概念的形象“具体化"．
（3)研究图形的组成元素及其性质，深入了解空间形式的内部结构和特性．
（4）根据给定条件，运用画图工具作图，切实掌握空间形式的常用表达方法．
总之，空间概念的形成必须经过由画图到看图的一系列训练．
例如：在“直线和平面”这一章的教学中，为了有步骤地培养学生的空间想象能力,首先要着重向学生指出现在研究的图形是在空间里，是空间图形，它和平面几何中学习的图形有着本质的区别．其次在教学中,应尽可能多地利用模型实物的直观性，并结合模型绘制草图；往后则逐渐有意识地减弱模型的作用，增强图形的作用;再后则完全不要模型,只利用图形，以培养学生通过图形来想象实际各种元素在空间的位置关系．最后，再进一步既不用模型，也不用图形，而能解决一些比较简单的问题（包括计算题、证明题和作图题），从而不断发展学生的空间想象能力．
2、从事数学实习活动
通过对实物的观察、解剖、分析或者制作模型、实地测量、作图等数学实习活动也是培养学生空间想象能力的重要途径．
人们以现实世界中客观事物为观察研究对象，通过抽象,通过抽象概括,舍弃了诸多的特性，保留了数量关系和空间形式，这种数量关系和空间形式在人们给出了相应的表达方式之后,使人们能够见数、形就能想象出客观事物．或者见到客观事物可抽象出数、形．人们经常从事这种数学实习活动，无疑会加强空间想象能力．
例如，在立体几何教学中，对物体或模型的直观分析，在机械制图的教学中通过活动影片来分析视图的性质，在解三角形的教学中测量不可及物体的“高深远近”,凡此种种,对培养学生的空间想象能力都会收到良好的效果．
3、加强空间想象能力的训练,不断发展空间想象能力
在中学数学课里，不仅要研究图形及其性质,还要研究作图方法，而且要研究图形之间的联系以及数、形之间的联系．这些研究不仅要在一维空间中进行，而且要在二维、三维或高维抽象空间中进行．因此对学生加强下面的训练，将可以发展学生的空间想象能力．
(1)研究同类图形之间的联系，丰富学生的空间想象能力
在平面几何课里，最重要的图形是三角形和圆，在立体几何里最重要的基本图形是直线和平面．在教学中，在同类图形之间，研究其线面位置和量的关系，会有助于培养学生的空间想象能力．事实上，对各种位置和量的关系理解得越清楚,空间想象能力就越强．现举例如下：
D
E
F
A
B
C
图18-2
例12 延长等边△ABC的各边BA、CB、AC到D、E、F,使AD＝CF＝BE．求证：△DEF也为等边三角形（如图5－2所示）
证 因为AB＝BC＝CA, AD＝BE＝CF，
所以AF＝BD＝CE， AD＝BE＝CF,
又因为∠DAF＝∠EBD
＝∠FCE＝180°－60°＝120°
所以△DAF≌△EBD≌△FCE （SAS)
所以DF＝ED＝EF,即△DEF为正三角形．
例13 已知两圆相切，求证连心线垂直于过切点的公切线．
已知：如图5－3，⊙O1和⊙O2外切于P点．AB为过P点的公切线．
O1
A
B
O2
P
图18-3
求证：O1O2⊥AB．
证 分别连O1P，O2P,因为P为切点，所以O1P⊥AB，O2P⊥AB,所以∠O1PA+ ∠O2PA=180°，故O1,P，O2共线,所以O1O2⊥AB
讨论：本题两圆相内切的情形，读者可以自己证明．
例14 多面体中，线面间的位置和量的关系．
解 ①正棱柱
a、上下底面是对应边互相平行的全等的正多边形．
b、侧面是全等的矩形．
c、侧棱互相平行且相等．
d、两底面中心连线垂直于底面．
②平行六面体
a、对面平行且平等．
b、对角线交于一点且在这点互相平分．
c、对角线的平方和等于各棱的平方和．
③长方体
a、对角线的平方等于长宽高的平方和．
b、体积等于长宽高之积．
④正棱锥
a、各侧棱相等．
b、侧面为全等的等腰三角形．
c、斜高都相等．
d、顶点和底面中心的连线段和底面垂直．
e、高上任一点到底面各顶点、到各侧面的距离分别相等．
f、相邻侧面所成二面角都相等．
g、侧面和底面所成二面角都相等．
h、侧棱、高、底面半径组成一个以侧棱为弦的直角三角形．
i、斜高、高、底面边心距组成一个以斜高为弦的直角三角形．
j、侧棱、斜高、底面边长之半组成一个以侧棱为弦的直角三角形．
⑤正棱台
a、上下底面是相似正多边形．
b、侧棱都相等．
c、侧面为全等的等腰梯形．
d、斜高都相等．
e、两个底面中心连接线段和两底面垂直．
f、侧棱、高、上下底面半径组成一个直角梯形．
g、斜高、高、上下底面边心距组成一个直角梯形．
h、侧棱、斜高、上下底面边长之半组成一个直角梯形．
（2）研究不同类图形之间的联系,发展学生的空间想象能力
圆和多边形的联系是平面几何中最主要的内容之一，大量的习题都与它们有关,在数学教学中应当引导学生重视这类问题的分析,并加以训练．
例 15 已知：如图5－4所示，四边形ABCD内接于⊙O．
A
D
C
B
E
图18-4
求证:AC·BD＝AB·CD＋AD·BC
证 如图,作∠DAE＝∠BAC，E在BD上．在△DAE和△CAB中,∠DAE＝∠CAB，又因为∠EDA＝∠BCA,所以△DAE∽△CAB，所以，即
AC·DE=AD·BC (1）
在△ABE和△ACD中，
∠ABE＝∠ACD，∠BAC＝∠DAE，
所以∠BAE＝∠CAD，所以△ABE∽△CAD，所以，即
AC·BE=AB·CD (2）
(1)＋（2）得
AC(DE＋BE）＝AB·CD＋AD·BC
所以 AC·BD＝AB·CD＋AD·BC
本题证明过程中，同弧上的圆周角相等这种关系的应用是十分重要的．
例16 直线a和平面内α内的直线b垂直，直线a和平面α的位置关系如何？画出图来．
α
b
a
（b）a⊥α
α
a
b
（d）a与α斜交
α
b
a
（a）a在α内
α
b
a
（c）a∥α
图18-5
解 位置有四种，如图5－5所示
分析和解答这类例题有利于巩固空间概念，培养分析问题的能力,不断发展空间想象能力，在教学中应当选编这类例题和练习题，加强对学生的训练．
例17 四个半径为1的等球，每一个与其余三个皆相切，三球在下，置一平面α上，求最上一个球的球心到平面的距离．
O
B
C
A
O¹
图18-6
D
解 由题意，可想象出四球的位置关系，四球连心线组成一个正四面体如图5－6所示,通过观察，可构出上球心O到下三球中心A、B、C所确定平面ABC的距离所在平面，于是运用勾股定理求得，由于平面ABC距平面α为1,所以OO¹加1即为所求．
OD＝OCsin60°＝＝
＝OD＝＝
∴＝＝＝＝
∴＋１＝＋１．
这类题目,由于空间想象能力和运算能力的有效结合，使得解题进展顺利，如缺乏空间想象能力和运算能力，是无法下手的．所以，在培养学生空间想象能力的过程中,宜和其它能力的培养结合起来，以求融会贯通．
（3）研究数形之间的联系，锻炼学生的空间想象能力
在中学阶段，数与形紧密联系起来学习的内容主要有两处:一是学习锐角三角函数与勾股定理；二是学习坐标法．学习这两部分内容时，要加强训练有目的地发展学生的空间想象能力，并进行唯物辩证法的教育．
例18 如图5－7，在ABC中，已知∠C＝90°，a＝9，∠A＝60°，
图18-7
C
B
A
b
c
a
求∠B及b、c的长．
解 ∠B＝90°－60°＝30°，
因为tanB=，所以
因为，所以．
例2 在任意△ABC中,AD⊥BC，求证：
（AC－AB）(AC＋AB）＝（DC－BD）（DC＋BD）
B
C
A
D
图18-8
证 如图5－7在直角△ABD中，AB2－BD2＝AD2
在直角△ACD中，
AC2－DC2＝AD2
所以AB2－BD2＝AC2－DC2，即
AC2－AB2＝DC2－BD2
所以 （AC－AB）（AC＋AB）
＝（DC－BD）(DC＋BD）
解直角三角形是解一般三角形的基础，因为任何一个三角形都可分成两个直角三角形．正是通过这种联系，我们可以得到一般三角形中边角关系的基本定理：正弦定理、余弦定理．
x
y
图18-9
这两个定理，在一定条件下定量地决定三角形中所有的边和角的大小．余弦定理可以看成是勾股定理在一般三角形中的推广；而在直角三角形中,正弦定理就转化为锐角正弦函数的定义了．
例19 在⊙O的内接正方形ABCD所在平面上任取一点P，连PA、PB、PC和PD．求证：PA2＋PC2＝PB2＋PD2
证 建立直角坐标系如图5－9所示，其中圆心O为原点，OD在X轴正半轴．
设⊙O的方程为x2+y2=r2
则点A、B、C、D四点的坐标分别为(0，r)、（—r，0）、（0，-r）、（r,0）．又该点P的坐标为P（x1，y1)，则有
PA2＋PC2＝x12+（y1-r）2＋x12+（y1+r）2＝2x12+2y12+2r2
PB2+PD2=(x1+r)2+y12+(x1-r)2+y12＝2x12+2y12+2r2
所以 PA2＋PC2＝PB2＋PD2
本题采用解析法，方法简捷，足见数形结合在培养学生的空间想象能力方面有独到之处．所以，加强这方面的训练是必不可少的．
（4）借助图形解决问题，增强学生的空间想象能力
数与形之间建立紧密联系之后,可以运用代数方法去解决几何问题;反过来，借助图形,也能帮助解决代数问题．我们知道,对空间想象能力高一级的要求，就是使学生“不但能进行逻辑思维，而且能进行形象思维，也就是说能运用图形的几何直觉去研究某些问题”．下面分三个方面略加讨论．
①借助图形,理解概念
在教学中，学习一个数学概念之后，往往要研究它的几何意义，这样做的目的是为了借助图形，利用其几何直观性加深对概念的理解，同时也便于记忆概念或进行几何应用．
在微积分课程中，更是随时指出所研究数学概念的几何意义．
需要指出的是，借助图形的几何直观性虽可加深对于概念的理解和记忆，但绝不可以利用图形的几何直观性代替证明,代替对于概念的深刻分析．
图18-10
C
B
D
F
A
E
例20 证明直角三角形中斜边的长度等于两直角边长度之和．
证 如图5－10，在直角△ABC中，
D为AB的中点，DE⊥BC,DF⊥AC，则
DE＝FC，DF＝EC，
故四段折线有
AFDEB＝AC＋BC
类似地对DBE和ADF作如图所示折线，则八段折线长也为AC＋BC，这个过程可无限地进行下去；把AB依次分为2、4、8……个相等的部分,并可依次得到锯齿形的折线，而它们的长度均为AC＋BC．
从几何直观可以看出，这个“锯齿形”折线的序列是以斜边AB为极限的,因此我们可推得“锯齿形”折线的长度AC＋BC＝AB，即斜边AB的长度就应当等于两直角边长度之和．这个命题显然是荒谬的．问题出在什么地方呢?分析之后我们会发现，原来是“极限”概念用得不正确，从几何直观就断定锯齿形折线的长度的极限等于斜边的长度是毫无道理的．
②借助图形，分析题意
培养学生良好的画图习惯,并依图去分析题意，从而可以达到解题的目的．也就是说，如果一个问题可以画图来分析题意，就应当画出图来帮助解题．
例21 求正方体二对角线的交角．
图18-11
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
O
θ
解 如图5－11，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，二对角线之交角为，连接．在△ODB中．
（1）
因为，，
，
代入（1）得：
所以，,即．
从本例的解题过程中可以看出，借助图形，有利分析题意，否则便会增加解题难度．
借助图形分析题意,要力求图画得精确一些，否则由于图形画得不正确、将会导出错误的结果．
例22 证明任意的三角形是等腰三角形．
证 如图5－12所示，△ABC的∠A平分线和对边BC的垂直平分线相交于O点，连接OB、OC，则OB＝OC,过O点作OE⊥AC，垂足为E，作OF⊥AB，垂足为F，则OE＝OF．
C
图18-12
D
B
F
E
A
O
在Rt△OBF和Rt△OCE中，因为OB＝OC，OE＝OF，所以，Rt△OBF≌Rt△OCE，所以，
FB＝EC （1)
在Rt△AFO和Rt△AEO中,OF＝OE,OA＝OA，所以Rt△AFO≌Rt△AEO,所以，
AF＝AE （2）
（1）＋（2）得 AF＋FB＝AE＋EC，即AB＝AC．
这就是说，任意的三角形是等腰三角形．
问题出在什么地方？原来角平分线AO和垂直平分线OD的交点不在△ABC内，而在△ABC的外部．所以画图万万不可草率从事．
③借助图形解决问题
图18-13
x
y
o
y=x3
y=sin x
图解法就是利用图形解决计算问题、作图问题和证明题．在中学数学教学中，它虽不是重点内容，但在生产实际中，却是一种重要的方法．
例23 用图象法解方程组：
解 ①在同一直角坐标系中，作与的图象，如图5－13．
②观察图象有三个交点，一个交点是（0，0），另二个交点分别近似地得到为（m，n），(—m，—n），其中0〈m<1，0<n<1
图解法在数学课的学习中是要遇到的，在实际中也有许多应用，所以在数学中有必要加以训练．
总之,为培养学生的空间想象能力，我们总结了一些行之有效的方法,寻求了一些基本途径，只要在教学实践中，联系实际情况，加在应用，一定会取得好的效果．
三、 逻辑思维能力的培养

18。3.1 什么是逻辑思维能力
所谓逻辑思维能力是指在一定的逻辑法则下进行思考活动的一种思维能力．逻辑思维在教学中常常表现为从已知条件中导出结论;从某些一般情况中找出个别例子;从理论上预示具体结果，并将所获得的结果进行推广等等．
在教学中，发展学生的逻辑思维是发展学生思维的中心环节和主要标志．
学生的逻辑思维常常表现在各种数学结论的推导、归纳、演绎,以及证明定理和证题的过程之中，在这个过程中学生的逻辑思维能力得到发展．

18。3.2 培养学生逻辑思维能力的基本途径
数学中的逻辑思维能力已如上所述，它是指根据正确的思维规律和形式对数学对象的属性进行综合分析，抽象概括，推理证明的能力．培养学生的逻辑思维能力有如下基本途径:
1、教师要作出示范
中学数学内容是通过逻辑论证来叙述的．数学中的运算、证明、作图都蕴含着逻辑推理的过程．数学中的概念的形成，命题的判断，都与逻辑思维紧密相连．所以，教师在传授数学知识的过程中要严格遵守逻辑规律，正确运用逻辑思维形式,作出示范，循序渐进，潜移默化地培养学生的逻辑思维能力．
数学论证都是在一定的逻辑系统中进行的，所以教师必须在给定的逻辑系统中向学生传授知识．
例24 已知实数、、,满足

求的值．
解 因为、、为实数，所以≥0，≥0， ≥0．又因为，所以
解得
所以 ．
本题是在实数范围内进行推演的，但是如果在复数范围内，这样推导出来的结果就不正确了．
例25 二次函数y＝x2的反函数是什么？
解 对于这个问题，首先必须清楚函数的概念，才可讨论反函数．有的中学数学课本采用集合的“单值对应”的观点来定义函数．即自变量的每一个值按一定对应规律对应因变量的唯一确定值．根据这种观点,二次函数y=x2在实数集中没有反函数，只有当把定义域缩小为≥0或≤0时，才有反函数．至于有的课本不是采用“单值对应”的观点来定义函数，那就自当别论了．
因此，在数学教学中进行逻辑论证时，必须使学生首先搞清楚这个问题是在哪个范围（即条件）内考虑的，然后再用正确思维规律和形式去进行推理论证．显然教师的示范作用会给学生带来潜移默化的作用．
教师对于思维规律的使用不能有半点差错，否则他（或她）的学生思维便会发生混乱．教师对思维形式的使用也应是规范的，不然学生无章可循，也会无所适从．
2、教会学生运用逻辑常识
培养学生逻辑思维能力的另一个途径是教会学生运用逻辑思维常识进行推理论证,并通过此过程提高他们抽象概括、分析综合、推理证明的能力．
众所周知，在中学数学教材中，运用了许多与逻辑知识有关的数学内容的推理证明方法．因此，应在数学教学过程中，结合具体数学内容通俗地讲授一些必要的逻辑常识，当然应该包括一些数理逻辑常识，使学生能运用它们来指导推理、证明．这样会有助于提高学生的逻辑思维能力．
图18-14
12
B
C
D
A
3
E
F
6
例如，在学生学习了概念的从属关系以及“属概念加种差"的定义方法之后，在根据某概念的定义进行推理时,就不会只单单考虑定义中的种差,而且同时也会考虑被定义概念还具有它的属概念的一切属性．这样，在推理证明中的思路就会畅通得多．
例26 如图18－14所示，延长矩形ABCD的边BA至E,连结CE，交AD于F,已知AE＝3，AB＝6,BC＝12，求FC之长．
解 如图5－14所示，因为ABCD是矩形,故∠、∠都是直角,所以

欲求EF，但AF是