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数学必修一复习详细资料及例题
第一章 集合 （注意空集、注意分类讨论、注意数形结合画数轴）
一.集合元素的特征： ⑴ 确定性 ⑵ 无序性 ⑶ 互异性。你理解确定性的意思吗？ 你能判断集合吗？（题略）集合题要特别注意求解之后检验元素的互异性。如：已知，求的值（答案：或）
二.集合的表示方法： ⑴ 列举法 ⑵ 描述法 ⑶ 图示法 ⑷ 区间法
列举法：尽量从小到大排列。描述法：注意格式，不等式中要写在左边。图示法：注意点是实心还是空心？区间法：左端点一定小于右端点，凡是都用小括号。
三.两种关系： 元素与集合是从属关系，用或。集合与集合是包含关系，用或或或或=，要用最恰当的一个。常用数集符号及记住了没有?N、、、Z、Q、R表示什么集？
①0____ ②0____ ③____ ④____ ⑤____R
⑥0____N ⑦-1____Z ⑧____R ⑨____ ⑩____
四.研究集合问题，一定要抓住集合中的代表元素，不要混淆数集和点集。如：与及表示三个不同的集合，也要注意、、、的区别。
已知，，求。
（答案：）
五.不含任何元素的集合叫空集，常见的形式有：
①方程无解，如：
②不等式无解，如，
③不符合事实，如
集合，，，满足 ，求实数的值。（答案：－2）
六.集合的三种运算：
①交集：，即取公共部分。当需满足多个条件时，列出不等式组（或方程组），结果则取交集。
②并集：，把元素合在一起，注意重复的元素只算一次。
当有多种情况时，需分类讨论，结果则取并集。
注：单调区间有多个时，不能用并，要用“和”或“，”。分段函数的定义域应取并集。
③补集：
运算往往会涉及一元二次方程、一元一次不等式、一元二次不等式的解法，除此之外，也可能有绝对值不等式、分式不等式、无理不等式、指数不等式、对数不等式（见后面补充）。看到不等式，在实数范围内不要只想到整数，还有分数、无理数、负数等等。看到不等式要画数轴，借助数轴解题，体现数形结合的思想。
已知，求
（答案： ）
七．运算性质：
①
②
③

④,
⑤
⑥ ，
八、子集、真子集、非空真子集的个数问题，你会数吗？
①空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
②若集合A含有n个元素，则集合A的所有子集的个数为，所有真子集的个数为所有； 所有非空真子集的个数为。
已知集合A满足，求集合A的个数. （答案：7）

第一章:集合大题：
1.集合相等：注意分类讨论和检验元素的互异性。
设集合，且A=B，求实数的值。（答案：）
2. ，注意空集问题、分类讨论、方程问题、结果交并问题。
已知，若，求的值
（答案：）
注意：方程不一定是一元一次方程，同理方程不一定是一元二次方程。
3. 数形结合，包含关系，端点值取等号问题、结果交并问题。
已知，
①若，求实数的取值范围。（答案：）
② 若，求实数的取值范围。（答案：）
思考：若，求实数的取值范围。（补集思想，答案：）
③若，求实数的取值范围。（答案：）
4.分类讨论空集复杂题，结果交并问题。
已知，
①若，求实数的取值范围。（答案：）
② 若，求实数的取值范围。（答案：）
③若，求实数的取值范围。（答案：）
5.补集思想：正难则反
⑴已知，其中至少有一个集合不是空集，求实数的取值范围。（答案：）
⑵已知至多有一个元素，求实数的取值范围。（答案：）
注意：方程方程不一定是一元二次方程，同理不一定是一元一次方程。
说明：取值范围，结果可以写成不等式，但是最好写成区间的形式，以免出错。

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第二章 函数 （简单的说：重点是图象与性质；不简单的说，全是重点！函数要优先考虑定义域，解题时你考虑到了吗？？？）
一.函数的定义：①是非空的数集②A中任意一个在B中有对应③B中对应的惟一。 你会判断函数吗？如：和。你知道函数的三要素吗？你会判断两个函数相等吗？（题略）你知道值域与B之间的关系吗？
二、求函数的解析式：
求函数解析式的方法：待定系数法、换元法、配凑法、方程组法、赋值法、区间转移法。
1.一次函数满足，求
（答案：或）
2.二次函数满足，求（答案：）
3.已知，求 （答案：）
4.已知，求 （答案：）
5.已知，求 （答案：）
6.已知函，求 （答案：）
7.设是R上的函数，且满足f(0)=1，并且对任意实数 都有,求的表达式。 （答案：）
8.已知函数対任意的实数,都有,且f(1)=1,若,试求的表达式。（答案：）
9.若函数是R上的奇函数，且当时, 。
求(1)当时,的解析式（答案：）
(2)当时,的解析式（答案：）
注意：函数要优先考虑定义域，求函数的解析式时，你带上定义域了吗？？？
三、求函数值，你真的学会了吗？
1.已知，
你会计算吗？
2.已知，则＿＿＿（答案：）
3.（答案：10）
4.（答案： ）
5.（答案： ）
6. （答案：6 ）
7.（答案：1）
8.（答案：1）
9.（答案：1）
10.（答案：2）
11.（答案：1）
12.（答案：3）
13.（答案：55）
14.（答案：24）
15.已知（1），试用表示；（答案： ）
（2），试用表示；（答案： ）
四、有关计算的运算公式：
1.整数指数幂的运算（也适用实数）
①同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
②幂的乘方，底数不变，指数相乘。
③积的乘方等于乘方的积。
2.分数指数幂的运算
①
②负分数指数幂等于正分数指数幂的倒数。
③推论：，即指数互为相反数，底数互为倒数。
1的任何次幂都等于1 （√）
0的任何次幂都等于0 （×）
3.对数的基本性质和运算性质
⑴指、对互化：
⑵对数恒等式：

⑶对数的基本性质：
⑷对数的运算性质：
①真数相乘，对数相加。
②真数相除，对数相减。
③幂的对数等于底数的对数的幂指数倍。
推论：
⑸对数的换底公式：
推论：①
推论：②
推论：③
推论：④
五、求函数的定义域（解不等式组）
(1)分式的分母不等于零
(2)偶次方根的被开方数大于或等于零
(3)对数式的真数必须大于零
(4)指数、对数的底数必须大于零且不等1.
(5)指数为零的底数不可以等于零，即无意义
注：若需满足多个条件，则列成不等式组，结果取交集。
求下列函数的定义域：
(1) （答案： ）
(2) （答案： ）
六、求函数的值域（或最值）
值域是函数 y=f(x)中y的取值范围构成的集合。常用的求值域的方法：
（1）直接法：从自变量x的范围出发，推出y的取值范围。适合一看就会的简单函数或一次函数。
1.求函数的值域（答案：）
2.求函数的值域（答案：）
3.求函数的值域（答案：）
4.求函数的值域（答案：）
（2）利用函数的有界性，如等。
1.求函数的值域（答案：）
2.求函数的值域（答案：）
（3）函数单调性法：适合单一单调性的函数。
1.求函数的值域（答案：）
2.求函数的值域（答案：）
3.求函数的值域（答案：）
（4）图象法（数形结合）：投影到y轴。适合熟悉的、学过的、掌握的函数。1.求分段函数在区间的值域（答案：）
2.求函数在区间的值域（答案：）
（5）配方法：用于一元二次函数。
1.求函数的值域（答案：）
2.求函数的值域（答案：）
3.求函数的值域（答案：）
（6）换元法 （把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，一般化为一元二次函数）
1.求函数的值域（答案：）
2.求函数的值域（答案：）
（7）分离常数法：用于分子、分母同次的分式。
1.求函数的值域（答案：）
2.求函数的值域（答案：）
七、函数奇偶性的证明和性质
1.⑴奇函数的性质：①定义域关于原点对称②满足f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，③图象关于原点对称④关于原点对称的区间上单调性一致⑤如果奇函数在x=0上有定义，那么必有f(0)=0。
⑵偶函数的性质：①定义域关于原点对称②满足f(-x)=f(x)=f(|x|)或f(-x)-f(x)=0，③图象关于于y轴对称④关于原点对称的区间上单调性相反。⑶如果一个函数既是奇函数又是偶函数，那么有f(x)=0，且定义域关于原点对称。
2.⑴判断函数奇偶性的方法：图像法。若函数象关于原点对称，则它是奇函数；若函数象关于y轴对称，则它是偶函数；此法只适合做选择、填空题。
⑵证明函数奇偶性的方法：定义法。做大题必须用此法。它的一般步骤是：
第一步：求函数定义域，若定义域不关于原点对称，直接就可以说函数为非奇非偶函数。若定义域关于原点对称，则进行第二步。
第二步：看f(-x)其与f(x)的关系。若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，则函数为奇函数；若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则函数为偶函数。
注意：函数要优先考虑定义域，解题时你还记得吗？？？
3.运算性质法.
奇±奇=奇； 偶±偶=偶； 奇±偶=非奇非偶；
奇×（÷）奇=偶； 偶×（÷）偶=偶；奇×（÷）偶=奇；
已知是偶函数，其定义域为，则＿＿，＿＿。
（答案：，）
八、函数单调性的证明和性质
1.⑴判断函数单调性的方法：图像法。根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。只适合做选择、填空题。
⑵证明函数单调性的方法：定义法。做大题必须用此法。它的一般步骤是：①取值，设 且 ；②作差，求 ；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）向有利于判断差值符号的方向变形；④定号，判断符号， 当符号不确定时，应分类讨论； ⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
⑶注意：①单调性一定要指明在哪个单调区间②有多个相同的单调区间时，中间不能用“”，只能用“和”或“，”。
2.运算性质法. ①在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数， 增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． （增+增=增； 减+减=减；增-减=增，减-增=减）
3. 复合函数的单调性：同增异减。（步骤：①求函数的定义域；②分解复合函数；③判断内、外层函数 的单调性；④根据复合函数的单调性“同增异减”来确定函数的单调性。

函数 的递增区间是＿＿＿，递减区间是＿＿＿。
（答案：递增区间是，递减区间是。）
函数 的递增区间是＿＿＿，递减区间是＿＿＿。
（答案：递增区间是 ，递减区间是。）
注意：符合函数的单调性要特别注意优先考虑定义域，解题时你还记得吗？？？
（1） 整式型：
1.证明 在区间上是减函数。
2.证明 在区间上是减函数。
（2）分式型：
1.证明 在区间上是增函数。
2.证明 在区间上是增函数。
（3）根式型：
1.证明 在区间上是增函数。
2.证明 在区间上是增函数。
九、比较大小的几种常用方法：数轴法、作差法、作商法、中介值法、单调性法（包括绝对值法、平方法等）
(1)数轴法:在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
(2)作差法:设a，b是实数，

(3)作商法:

(4)中介值:
(5)单调性法：

(6)绝对值法:设a，b是两负实数，

(7)平方法:设a、b是两负实数，则

①＿＿②＿＿1③＿＿④＿＿（答案：<,<,<,<）⑤＿＿⑥＿＿⑦＿＿（答案：>,>,>）
⑧＿＿（答案：≤）
十、定点问题:,
1.指数型函数经过定点＿＿＿＿。（答案： ）
指数型函数经过定点＿＿＿＿。（答案： ）
2.对数型函数经过定点＿＿＿＿。（答案： ）
对数型函数经过定点＿＿＿＿。（答案： ）
十一、图象平移与翻折变换知识
1.图象的平移知识：
(1)水平平移:x在变化。简记:左加右减。
要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x+a)的图象，只要将f(x)的图象向左平移a个单位。要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x-a)的图象，只要将f(x)的图象向右平移a个单位。(这里的a>0)
(2)上下平移:y在变化。简记:上加下减。
要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x)+a的图象，只要将f(x)的图象向上平移a个单位。要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x)-a 的图象，  只要将f(x)的图象向下平移a个单位。(这里的a>0)
如何由的图象得到的图象？
如何由的图象得到的图象？
2. 图象的换翻折变：
(1)翻折变换
如何由y=f(x)的图象得到的图象?先画出函数y=f(x)的图象,再将x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方。(简记: 上不动，下上翻)
(2) 对称变换
如何由y=f(x)的图象得到y=f()的图象?先画出函数y=f(x)在y轴右侧的图象，再作出关于y轴对称的图形。
(简记:右不动，左对称)
1.如何由的图象得到和的图象？
2.如何由的图象得到和的图象？
十二、画熟悉函数的图象（重点画一元二次函数和分段函数的图象）
熟悉函数指课本专门介绍学习了的反比例、正比例、一次函数、一元二次函数、指数函数、对数函数、幂函数。其中初高衔接的一元二次函数的图象尤其重要，应重点掌握。二次函数图象的画法：
（1）确定开口方向：当时，开口向上，当时，开口向下；
（2）确定对称轴：对称轴方程为；
（3）确定图象与x轴的交点情况，①若△>0则与x轴有两个交点，可由方程求出②若△=0则与x轴有一个交点，可由方程求出③若△<0则与x轴有无交点。
（4）确定图象与y轴的交点,令x=0得出y=c，所以交点坐标为（0，c）
（5）由以上各要素作出草图。（一定要光滑，可多次修改定稿）
5.练习：作出以下二次函数的草图
（1） (2) (3)
另：二次函数的三种表示形式：
①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
②顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)=．
③交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标，即方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两个根。
十三、画不熟悉函数的图象（课本以指数、对数、幂函数为例）
1.把不熟悉的函数转化为熟悉的函数，再根据图象平移与翻折变换知识得到该函数图象。例如： ，它的图象可由的图象得到。
2.一般方法：列表——取值——描点——连线——成图。由于函数的图象与性质相辅相成，画函数的图象往往结合函数的奇偶性、单调性、最值等性质，这样更有助于画图。
十四、根据函数的图象研究函数的性质。（课本以指数、对数、幂函数为例）
（1）定义域（2）值域（3）最值（4）奇偶性（5）单调性（6）特殊点
几个经典的函数：
1. （模型：） 2. （模型：）
3. （模型：）
十五、各类简单的不等式的解法。
1.解一元一次不等式：
⑴16-3(x+1)＞24+2(x-3) ⑵
解：16-3(x+1)＞24+2(x-3) 解：
16-3x-3＞24+2x-6 7(2x+1)-9x≤18
-3x-2x＞24-6-16+3 14x+7-9x≤18
-5x＞5 5x≤11
∴x＜-1 ∴
小结：一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法在一般步骤上有相同之处，可分为①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤将未知数的系数化为1；不同的是第⑤步，系数是正数，不等式不改变方向；系数是负数，不等式改变方向．
2.解一元二次不等式：（分解因式法、图像法）
（1） （2）
解： 解：

∴
∴
利用一元二次函数的图像解下列一元二次不等式：
⑶ ⑷
⑸ ⑹
小结：
1. 一元二次不等式或，当且时，可用分解因式法。不等式大于号,两根之外；不等式小于号,两根之间。若，不等式两边同时乘以-1可转化，但要注意不等式改变方向。
2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式
Δ＝b2－4ac

Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0

二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象

一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根

有两相异实根
x1，x2(x1＜x2)

有两相等实根

没有实数根
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集

R
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集

∅

∅

3.解一元分式不等式：
(1) (2)
(3) (4)
小结：分式不等式的四种等价变形：(除法化乘法，分式化整式)
① ②
③ ④
4.解绝对值不等式：（平方法、分类讨论法）
(1) (2)
(3) (4)
解(3)原不等式等价于不等式组 解(4)原不等式等价于不等式组

∴原不等式的解集为 ∴原不等式的解集为
小结：①
②
解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，通过平方法、分类讨论法，把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解．
5. 解无理不等式：（平方法）
(1) (2)
(3) (4)
小结：无理不等式通过两边平方法，转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下：
① ②
③④
6.解指数不等式
⑴ ⑵
⑶
小结：解指数不等式要根据函数的单调性把底数去掉，具体如下：

7.解对数不等式
⑴ ⑵
⑶ ⑷
⑸
小结：解对数不等式要根据函数的单调性把对数符号去掉，但要注意函数的定义域，具体如下：
1.
2.

不等式解法练习
一、一元二次不等式的解法：
① ②
③ ④
⑤ ⑥
二、分式不等式：
① ②
③ ④
三、 根式不等式：
① ②
③ ④
⑤ ⑥
四、高次不等式
① ②
③ ④
五、指数、对数不等式
① （答案：）
② （答案：）
③ （答案：）
④ （答案：）
⑤（答案：）
⑥ （答案：）

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