2-证明垂直平分线与角平分线.doc

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第二节 证明（二）
——垂直平分线与角平分线
【知识要点】
1．你知道线段的垂直平分线如何运用尺规作图吗?从做法上你得到什么启示?
2．你知道如何运用尺规作图做已知角的平分线吗?从做法上你得到什么启示?
3．你能说明为什么三角形的外心和内心相交于一点吗?
4．你能举出一些运用三角形外心和内心来解决实际生活问题的例子吗?

【典型例题】
A
D
E
B
C
# 例1 如图，AB=AC，DE垂直平分AB交AB于D，交AC
于E．若 的周长为28，BC=8，求的周长．

# 例2 如图，AB＞AC，的平分线与BC的
垂直平分线DM相交于D，自D作于E，
于F．求证：BE=CF

# 例3 如图，在中，，
AB=AC，．求证：BC=AC+CD

D A
DE
DF
DB
DD
DC

# 例4 如图，AB=AC，，的平分线AF
交DE于F．求证：AF为DE的垂直平分线．

C
G
A
E
B
D
P
例5 如图，P为的BC边的垂直平分线PG上
一点，且．BP，CP的延长线分别交
AC，AB于点D，E．求证：BE=CD

例6 如图，在中，，
，．求证：AC=AB+2BD

A
E
B
D
C
F

例7 如图，已知AD是中的平分线，DE//AC
交AB于E，DF//AB交AC于F．
求证：点E，F关于直线AD对称

* 例8 如图，在中，AB＞BC，，，
的平分线交于点G．（1）图中是否有相等的线段？若
有，请写出相等的线段，并证明．（2）图中线段AC是否等于
其他两条线段的和？若有，请写出等式，并证明；若无，请
说明理由．

* 例9 如图，是边长为1的正三角形，
是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一
个角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连接
MN，形成．求证：的周长等于2

* 例10 设的外心为O，在其边AB和BC上分别
取点M和点N，使得．
求证：的周长不小于边AC的长．

大展身手
姓名：
成绩：

# 1．如图，已知平分，点B，B′分别在边
AP，AQ上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB′，那么
该条件可以是（ ）
A．B B′⊥AC B．BC= B′C
C．= B′ D．=∠A B′C

# 2．M，N，A，B是同一平面上的四个点，如果MA=MB，NA=NB，
则点 、 在线段 的垂直平分线上．

# 3．设线段AB的垂直平分线MN交AB于点C，P是MN上不同
于点C的一点，那么是 三角形，PC是的
线、 线和 ．．

# 4．在中，E为BC中点，交AB于点D，
若，AD=CD，则，AD=CD，则 ，
= ．

# 5．在中，AB=AC，DE是AB边的中垂线，垂足为E，
交AC于D．若的周长为24，AB=14，则BC= ；
若，则= ．

# 6．在中，．PM为AB边的中垂线，
垂足为M，交BC于P；QN为AC边的中垂线，垂足为N，交BC
于Q，则= ，或BC=9cm，则的周长为
cm.

# 7．在中，，的平分线交于D点，已知
．则的度数为 ．

# 8．在中，，的平分线交于D点，过D作
EF∥BC，分别交AB，AC于E，F两点，若AB=6，AC=5，则
的周长为 ．

# 9．如图，在中，，BE平分
，交AC于E，DE是斜边AB的垂直平分线，
且DE=1cm，则AC= cm.

10．如图，P为正方形外一点，，
求证：为等边三角形．

11．在中，．求的度数．

12．如图，在中，的平分线与
的外角平分线相交于点D，过D作DE∥BC，分别交
AB，AC于E，F．求证：EF=BE-CF

13．如图，在中，AB=AC，，
，E为AB中点，ED、BC延长线交于点F．
求证：AB=CF

* 14．如图，中，，AB=2AC，DA=DB．
求证：AC⊥CD

A
B
F
E
G
C
D
H
* 15．如图，在中，，，
和的平分线AD，BE相交于点F．求证：EF=DF

* 16．A，B两港在大湖南岸，C港在大湖北岸．A，B，C三港
恰为一等边三角形的三个顶点．A港的甲船与B港的乙船同时出
发都沿直线向C港匀速行驶，当乙船行驶出40千米时，甲、乙
两船与C港位置恰是一个直角三角形的三个顶点；而当甲船行
驶达C港时，乙船尚距C港20千米．问：A，B两港之间的距
离是多少千米？

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