人教版高中数学必修五专题余弦定理习题(含答案).doc

　余弦定理
一、选择题
1．(2016·天津高考)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
2．在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则角A为(　　)
A. B.
C. D.或
3．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为(　　)
A. B．8－4
C．1 D.
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B为(　　)
A. B.
C.或 D.或
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝1，c＝4，B＝45°，则sinC等于(　　)
A. B.
C. D.
二、填空题
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，c＝，则B＝________.
7．在△ABC中，已知a，b是方程x2－5x＋2＝0的两根，C＝120°，则边c＝________.
8．(2015·重庆高考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC＝－，3sinA＝2sinB，则c＝________.

三、解答题
9．(2016·北京高考)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.
(1)求∠B的大小；

(2)求cosA＋cosC的最大值．

10．已知A，B，C是△ABC的三个内角，且满足(sinA－sinB)(sinA＋sinB)＝sinC(sinA－sinC)．
(1)求角B；

(2)若sinA＝，求cosC的值．

答案与解析
1．A　在△ABC中，由余弦定理得AB2＝BC2＋AC2－2×BC×AC×cosC，即13＝9＋AC2－2×3AC×，∴AC2＋3AC－4＝0，∴AC＝1或AC＝－4(舍去)．
2．C　由已知得b2＋c2－a2＝－bc，
∴cosA＝＝－，
又∵0<A<π，∴A＝.
3．A　∵(a＋b)2－c2＝4，∴a2＋b2－c2＝4－2a B.
由余弦定理得cosC＝＝cos60°＝，
∴4－2ab＝ab，∴ab＝.
4．D　∵(a2＋c2－b2)tanB＝ac，
∴tanB＝，
即cosBtanB＝，∴sinB＝，
∴B＝或.
5．B　由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝
12＋(4)2－2×1×4×＝25.
∴b＝5.∴cosC＝＝－，
sinC＝＝.
6.
解析：由余弦定理得cosB＝＝＝－，又0<B<π，∴B＝.
7.
解析：由题意得a＋b＝5，ab＝2.∵(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab，∴25＝a2＋b2＋4，即a2＋b2＝21.∴c2＝a2＋b2－2abcos120°＝21－2×2×＝23，∴c＝.
8．4
解析：∵3sinA＝2sinB，∴由正弦定理得3a＝2 B.
∵a＝2，∴b＝3.
由余弦定理cosC＝，
得－＝，
即c2＝16.又c>0，
∴c＝4.
9．解：(1)由余弦定理及题设得cosB＝＝＝，又∵0<B<π，∴B＝.
(2)由(1)得A＋C＝，
∴cosA＋cosC
＝cosA＋cos
＝cosA－cosA＋sinA
＝cosA＋sinA
＝cos.
∵0<A<，∴当A＝时，cosA＋cosC取最大值1.
10．解：(1)由已知得sin2A－sin2B＝sinAsinC－sin2C，
由正弦定理得a2－b2＝ac－c2，即
a2＋c2－b2＝ac.
由余弦定理得cosB＝＝＝，
又0<B<π，∴B＝.
(2)∵B＝，sinA＝<，
∴A<B，∴A为锐角．
∴cosA＝.
∴cosC＝cos
＝coscosA＋sinsinA
＝－×＋×＝－.
5